高三数学对称问题

1、07-03 对称问题点一点明确目标理解中心对称与轴对称的意义，会用坐标来表示对称现象，并依此解决简单的对称问题.做一做热身适应1. 点M (a, b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点 Q与点P关于直线x+y=0对称，那么点 Q的坐标为 .解析：N (a，- b), P (- a, b),那么 Q (b, a).答案：(b, a)2. 点A (4, 5)关于直线I的对称点为B ( 2, 7),那么I的方程为 .解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线答案：3x y+3=03. 设直线x+4y 5=0的倾斜角为 0 ,那么它关于直线y 3=0对称的直线的倾斜角是解析：数形结合.答案

2、：n 04. (2004年浙江，理4)曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y2=8 4xB.y2=4x 8C.y2=16 4xD .y2=4x16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为 C,在曲线C上任取一点P (x , y),那么P (x , y)关于直线x=2的对称点为Q (4 x, y).因为Q (4 x , y)在曲线y2=4x上,所以 y2=4 (4 x),即 y2=16 4x.答案：C5. 直线li： x+ my+5=0和直线l2： x+ny+p=0,贝U li、I2关于y轴对称的充要条件是5 pA. =B.p= 5m n1 1C.m= n 且 p= 5D.=

3、且 p= 5mn解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为( x) +my+5=0 ,即x my 5=0 ,与l2比拟， m= n 且 p= 5.反之亦验证成立 .答案：C理一理一一疑难要点1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P (X0 , y0),对称中心为 A (a , b),那么P关于A的对称点为P'( 2a X0 , 2b y。).2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线.利用“垂直 “平分这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P (X0 ,

4、 y。)关于直线y=kx+b的对称点为P'( x' , y'),那么有广yyxXoyyoI2从中解出Xo、yo, k= 1,可求出X Xo=k+b,2特殊地，点P (Xo, yo)关于直线x=a的对称点为P'( 2a xo, yo);点P (xo, yo)关于 直线y=b的对称点为P'( xo, 2b yo).3. 曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化)一般结论如下：(1) 曲线f (x, y) =o关于点A (a, b)的对称曲线的方程是f (2a x, 2b y) =o.

5、(2) 曲线f(x, y) =o关于直线y= kx+b的对称曲线的求法：设曲线f (x, y) =o上任意一点为P (xo, yo), P点关于直线y=kx+b的对称点为P'( y, x),那么由(2)知，P与P'的坐标满足-k= 1,XXoxoyoy ,X。 x=k +b,k 2 2代入曲线f(x,y)=o,应有f (xo,yo)=o.利用坐标代换法就可求出曲线f(x,y) =o关于直线y=kx+b的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：(1 )点(x, y)关于x轴的对称点为(x, y);(2) 点(x, y)关于y轴的对称点为(一x, y);(3) 点

6、(x, y)关于原点的对称点为(一 x, y);(4) 点(x, y)关于直线x y=o的对称点为(y, x);(5) 点(x, y)关于直线x+y=o的对称点为(一y, x)拨一拨思路方法【例1】 求直线a： 2x+y 4=o关于直线1: 3x+4y 仁o对称的直线b的方程剖析：由平面几何知识可知假设直线a、b关于直线I对称，它们具有以下几何性质：(1)假设a、b相交，那么I是a、b交角的平分线；(2)假设点A在直线a上，那么A关于直线I的对称 点B 一定在直线 b上，这时AB丄I，并且AB的中点D在I上；(3) a以I为轴旋转180°, 定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的

7、方程解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是 直接由轨迹求方程解：由X+y 4=o，解得a与I的交点E ( 3, 2), E点也在b上.(3x+4y 1=o,方法一：设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为一2，直线I的斜率为一-那么-14 (2)3k ( 4)33(4)(2)1 k(-)4解得k= 一 .11代入点斜式得直线b的方程为y ( 2) = - (x-3), 11即 2x+11y+16=0.方法二：在直线a: 2x+y 4=0上找一点A 2, 0,设点A关于直线I的对称点B的坐标 为xo，yo,o yo21=

8、0 ,匸 2 xo3 X +4 X2由Vyo o = 4xo 234 8 解得 B ( - , 8 ).5 5由两点式得直线b的方程为82(-)35即 2x+11y+16=o.方法三：设直线y ( 2) x 34 ,5b上的动点P (x , y)关于1: 3x+4y仁0的对称点Q (xo , yo),那么有3 X +4 X 1 1=o ,2 2y yo4=.X Xo3解得 “24y6, yo=24x 7y 8.2525Q (xo , yo)在直线 a： 2x+y 4=o 上,那么 2 X 7x 24y6 +24x 7y 8 4=o ,2525化简得2x+11y+16=o是所求直线b的方程.方法

9、四：设直线b上的动点P(x ,y),直线a上的点Q(xo ,4 2xo),且P、Q两点关于直线I : 3x+4y仁o对称，那么有H3x 4y 1|_|3x°4(4 2x。)1 |,55Wy (4 2xo) = 4 x xo3 .消去 xo ,得 2x+11y+16=o 或 2x+y 4=o 舍.评述：此题表达了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法 三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意 区分动点坐标及参数，此题综合性较强，只有对坐标法有较深

10、刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题【例2】 光线从点A (- 3, 4)发出，经过x轴反射，再经过 y轴反射，光线经过点 B (-2，6),求射入y轴后的反射线的方程剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称解： A (-3, 4)关于x轴的对称点Ai (- 3,- 4)在经x轴反射的光线上， 同样Ai (- 3,- 4)关于y轴的对称点 A (3, - 4)在经过射入y轴的反射线上，.,64k a,b = = - 2.故所求直线方程为 y 6=- 2 (x+2),即 2x+y- 2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透【例3】 点M (3, 5),在直

11、线I: x 2y+2=0和y轴上各找一点P和0,使厶MPQ 的周长最小.剖析：如以下图，作点 M关于直线I的对称点Mi，再作点M关于y轴的对称点M2,连结 MMi、MM2,连线MMi、MM2与I及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知 这样得到的 MPQ的周长最小.解：由点M (3, 5)及直线 M关于y轴的对称点M2 ( 3,据Mi及M2两点可得到直线Mi ( 5, 1).同样容易求得点5) MiM2 的方程为 x+2y- 7=0.令x=0,得到MiM2与y轴的交点Q ( 0, - ) 2x+2y- 7=059解方程组/ 2y ' 0，得交点P (卫,).Lx-2y+2=0

12、,245 97故点P ( 5 , - )、Q (0,-)即为所求.242评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：点 A (i , 3)、B (5, 2),在x轴上找一点P,使得|PA|+|PB| 最小，那么最小值为 , P点的坐标为 .答案：di(匕,0)5【例4】直线I经过点(i, i),假设抛物线y2=x上存在两点关于直线I对称，求直线I斜 率的取值范围.解法一:设直线I的方程为y-(x- i),弦的两个端点分别是A (xi,yi)、B(x2,y2),代入抛物线方程并作差得(yi + y2)(yi y2) =xi X

13、2.kAB=K空x1x2yi + y2= k.注意到AB的中点在直线l:y 1=k (x 1) 上,. xi+x2=1 .2 2 彳 2y1 +y2 =X1 + X2 = 1 .k由y12+y22色江，得2解法二：设抛物线上关于直线1-2 k2> -k 2l: y 1=k(k 2)(k2 2k 2) <02k(x 1)对称的两点为(2<k<0.y12, y1 )、(y22，y2).2y1y2y ky22 仁k2yi2y221)l y1+y2 = k, k21匚 y1y2=+ -2 k.y1、y2是方程y2+12k211屮ky+ +=0的两根.2k2k2 11由 A =k

14、2 4 (+) >02k2(k 2)(k2 2k 2) <0k2<k<0.1. 两直线y= x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是3I解析：I上的点为到两直线y=工3 x与x=1距离相等的点的集合，即 |x理3吐二| x 1 | ,3 J1 (血)2化简得 x+ , 3 y 2=0 或 3x . 3 y 2=0.答案：x+ ,3y 2=0 或 3x ,3y 2=02. 直线2x y 4=0上有一点 P,它与两定点 A ( 4, 1 )、B ( 3, 4)的距离之差最大，那么P点的坐标是.解析：易知 A (4, 1)、B ( 3, 4)在直线I: 2x y 4=0的两侧

15、 作A关于直线l的对称 点A1 (0, 1),当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：(5, 6)3. (2004年全国卷H, 4)圆C与圆(x 1) 2+/=1关于直线y= x对称，那么圆C的 方程为A. (x+1) 2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+ (y+1) 2=1D.x2+ (y- 1) 2=1解析：由M (x, y)关于y= x的对称点为(一y， x), 即得 x2+( y+1 ) 2=i.答案：C4. 与直线x+2y仁0关于点(1, 1)对称的直线方程为A.2x y 5=0B.x+2y 3=0C.x+2y+3=0D.2x y仁0解析：将x+2y仁0中的x、y分别代以2 x,

16、 2 丫，得(2 x) +2 ( 2 y)仁0, 即 x+2y+3=0.应选 C.答案：C5. ABC的一个顶点A ( 1, 4),Z B、/ C的平分线所在直线的方程分别为h :y+仁0, |2： x+y+仁0,求边BC所在直线的方程.解：设点A ( 1, 4)关于直线y+仁0的对称点为 A'(X1,y1),那么x1= 1,y1=2 X (1) ( 4) =2，即 A'( 1, 2).在直线BC上，再设点A ( 1， 4)关于I2： x+y+仁0的对称点为A"( x2, y2),那么有衿2X24x( 1) = 1,1x21 y242 + 2 +1=0.2 2解得*X

17、2=3 ,鹽=汨，即x+2y-3=0为y2=0,即A( 3, 0)也在直线BC上，由直线方程的两点式得边BC所在直线的方程.6.求函数y=x29 + '. x2 8x 41的最小值.解：因为 y=、.(x 0)2(0 3)2 + ._(x 4)2(05)2 ,所以函数y是x轴上的点P (x, 0)与两定点A (0, 3)、B ( 4, 3)距离之和 y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面几何知识可知，假设A关于x轴的对称点为A '( 0, 3),那么|PA|+|PB|的最小值等于|A' B|,即.(4 0)2(5 3)2 =4 .5.所以 ymin=4 

18、9;、5 .17.假设抛物线y=2x2 上的两点 A ( X1, y1)、B (x2, y2)关于直线y=x+m对称且X1X2=, 求m的值.解：设直线AB的方程为y= x+b，代入y=2x2得2x2+x b=0,1 b 1Xi + X2= , X1X2=.2 2 2 b=1，即 AB 的方程为 y= x+1. 设AB的中点为M (xo, yo),贝yxo=x1x2，代入 yo= xo+1,4515得yo=.又M (，一)在y=x+m上,44 48.(文)直线y=2x是厶ABC中/C的平分线所在的直线，假设 A、B坐标分别为A ( 4, 2)、 B ( 3, 1)，求点C的坐标，并判断厶ABC

19、的形状.解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A'在BC所在直线上，设A'点坐标为(xi, yi), 那么Xi、yi满足yi 24xi1，即 xi= 2yi.2Xi 4-,即 2xi yi i0=0.2*2 2解两式组成的方程组，得xi=4 ,yi= 2. BC所在直线方程为七牛说即 3x+y i0=0.x+y io=o，得 y=2x,寸 1所求C点坐标为(2 , 4).由题意 |AB|2=50 , |AC|2=40 , |BC|2=i0 , ABC为直角三角形.(理)假设抛物线y=ax2 i上总存在关于直线 x+y=0对称的两点，求实数 a的取值范围. 解：设A ( xi , yi)、B (x2 , y2)是抛物线上关于直线设为y=x+b.解方