一阶电路分析

1、 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要。本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁诺顿等效电路来代替（如图口网络用戴维宁诺顿等效电路来代替（如图81和和82所示）。所示）。图图81图图82 我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容

2、串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。产生。 仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。学

3、方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。81 零输入响应零输入响应 图图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在所示电路中的开关原来连接在1端，电压源端，电压源U0通过电阻通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到已经达到U0。在。在t=0时开关迅速由时开关迅速由1端转换到端转换到2端。已经充电端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图并联，如图(b)所示。所示。 图图8-3一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应 我们先定性分析我们先定性分析t0后电容电压的变化过程。当开关倒后电容电压的变化过程。当

4、开关倒向向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即端的瞬间，电容电压不能跃变，即 0CC)0()0(Uuu 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即同，即 0CR)0()0(Uuu 电阻的电流为电阻的电流为 RUi0R)0( 该电流在电阻中引起的功率和能量为该电流在电阻中引起的功率和能量为 tdiRtWtRitp 0 2RR2R)( )()()( 电容中的能量为电容中的能量为 )(21)(2CtCutW 随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容

5、这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。取决于电阻消耗能量的速率。 为建立图为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由所示电路的一阶微分方程，由KVL得到得到 0CRuu 由由KCL和电阻、电容的和电阻、电容的VCR方程得到方程得到 tuRCRiRiuddCCRR 代入上式得到以下方程代入上式得到以下方程 ) 18()0(0ddCCtutuRC 这是一个常系数线性一阶齐

6、次微分方程。其通解为这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为 stKtue)(C 代入式代入式(81)中，得到特征方程中，得到特征方程 )28 (01RCs 其解为其解为 ) 38 (1RCs 称为电路的固有频率。称为电路的固有频率。 于是电容电压变为于是电容电压变为 0 te)(CRCtKtu 式中式中K是一个常量，由初始条件确定。当是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变时上式变为为 KKuRCte)0(C 根据初始条件根据初始条件 0CC)0()0(Uuu 求得求得 0UK ) c48 ()0( e )()()b48 ()0(edd)()a48 ()0( e)( 0CR 0CC

7、 0CtRUtititRUtuCtitUtuRCtRCtRCt 最后得到图最后得到图83(b)电路的零输入响应为电路的零输入响应为 图图8-3 从式从式84可见，各电压电流的变化快慢取决于可见，各电压电流的变化快慢取决于R和和C的的乘积。令乘积。令 =RC，由于，由于 具有时间的量纲，故称它为具有时间的量纲，故称它为RC电电路的时间常数。引入路的时间常数。引入 后，式后，式84表示为表示为 图图8 84 4 RC电路零输入响应的波形曲线电路零输入响应的波形曲线 ) c58()0( e )()()b58()0(edd)()a58()0( e)( 0CR 0CC 0CtRUtititRUtuCti

8、tUtuttt 下面以电容电压下面以电容电压 为例，说明电压的变化与为例，说明电压的变化与时间常数的关系。时间常数的关系。 0Ce)(tUtu 当当t=0时，时，uC(0)=U0，当，当t= 时，时，uC( )=0.368U0。表。表81列出列出t等于等于0， ，2 ，3 ，4 ，5 时的电容电压值，由于波时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过形衰减很快，实际上只要经过45 的时间就可以认为放电的时间就可以认为放电过程基本结束。过程基本结束。t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00 电阻在电容放电过程中消耗的全部能量

9、为电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为 0 0 20202RR21d)e(d)(CUtRRUtRtiWRCt 计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。部转换为电阻消耗的能量。图图8 84 4 RC电路零输入响应的波形曲线电路零输入响应的波形曲线 由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。快慢，我们可以从能量消耗的角度来说

10、明放电过程的快慢。 例如在电容电压初始值例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容不变的条件下，增加电容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长。的时间加长。 这就可以解释当时间常数这就可以解释当时间常数 =RC变大，电容放电过程会变大，电容放电过程会加长的原因。加长的原因。例例8-1 电路如图电路如图85(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。 t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0的电容电压和电容

11、电流。的电容电压和电容电流。 图图85 例例81 解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 V6)0()0(CCuu 将将连接于电容两端的电阻单口网络连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，等效于一个电阻，其电阻值为其电阻值为 k10k)36368(oR 得到图得到图(b)所示电路，其时间常数为所示电路，其时间常数为 s05. 0s105 s1051010263RC 根据式根据式85得到得到 )0(mAe6 . 0mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0CtRUtuCtitUtuttttt 电阻中的电流电阻中

12、的电流iR(t)可以用与可以用与iC(t)同样数值的电流源代替同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t) mAe2 . 0mAe6 . 031)(633)(2020CRtttiti二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 电感电流原来等于电流电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能，电感中储存一定的磁场能量，在量，在t=0时开关由时开关由1端倒向端倒向2端，换路后的电路如图端，换路后的电路如图(b)所所示。示。图图8-6 我们以图我们以图86(a)电路为例来说明电路为例来说明RL电路零输入响应的电路零输入响应的计算过程。计算过程。

13、在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。 综上所述，图综上所述，图(b)所示所示RL电电路是电感中的初始储能逐渐释路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。零的过程。 列出列出KCL方程方程 0

14、LRLRiRuii 代入电感代入电感VCR方程方程 dtdiLuuLLR 得到以下微分方程得到以下微分方程 )68(0ddLL itiRL 这个微分方程与式这个微分方程与式(81)相似，其通解为相似，其通解为 ) 0(e)(LtKtitLR 代入初始条件代入初始条件iL(0+)=I0求得求得 0IK 最后得到电感电流和电感电压的表达式为最后得到电感电流和电感电压的表达式为 )b78( )0(dd)()a78( )0( ee)( 0 0LL 0 0LteRIeRItiLtutIItittLRttLR 其波形如图所示。其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律电路零输入响应也是按指数规律衰减

15、，衰减的快慢取决于常数衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于。由于 =L/R具有时间的量具有时间的量纲，称为纲，称为RL电路的时间常数。电路的时间常数。 图图8-7例例8-2 电路如图电路如图88(a)所示，开关所示，开关S1连接至连接至1端已经很久，端已经很久， t=0时开关时开关S由由1端倒向端倒向2端。求端。求t 0时的电感电流时的电感电流iL(t) 和电感电压和电感电压uL(t)。 图图8-8解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故 A1 . 0)0()0(LLii 将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为所示。该电路的时间常数为 1mss10200H2 . 03RL 根据式根据式87得到电感电流和电感电压为得到电感电流和电感电压为)0( Ve20Ve101 . 02 . 0dd)()0( A e1 . 0e)(33310103LL10 0LttiLtutItitttt 通过对通过对RC和和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指