平面向量基本定理及平面向量坐标运算(习题课)

1、平面向量基本定理平面向量基本定理及向量的坐标运算及向量的坐标运算(习题课习题课)平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果如果 , 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线的向量不共线的向量，那么对于这一平面内，那么对于这一平面内的任意向量的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数、 ，使，使 1 1e e 2 2e ea1 12 2 11221122a =a =e +e +e e我们把不共线的向量我们把不共线的向量 ， 叫做叫做表示这一平面内所有向量的一组表示这一平面内所有向量的一组基底基底。 1 1e e 2 2e e回顾:已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P

2、2上一点,且 ,则点P的坐标j是_.12(1)PPPP 1212(,)11xxyy线段定比分点的坐标公式线段定比分点的坐标公式向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量设向量1122(,),(,)(0)axybxya/a b12210 x yx y定理定理:特别地特别地,当当 时时, 时时 也成立也成立/a b0a 12210 x yx y练习:1.已知 是平面内的一组基底,则正确的命题有_. 12,e e (1)若实数m,n使 , 则m=n=0120mene(2)空间任一向量 可以表示为a12amene(m,n是实数)(3)对平面内的某一个向量 ,存在唯一一对实数m,n使a12amene(4

3、)向量 不能作为平面向量基底.121236eee与-2e2.已知向量 不共线,实数x,y满足: ,则x=_,y=_,a b 2(3)(1 3 )xay by a xb3.若矩形ABCD的中心为O, ,(1)试以 为基底表示 (2)试以 为基底表示12,OAe OBe 3ABe 12,e e BC 13,e e BC OABCD练习 如图如图,已知两互相垂直的单位向量已知两互相垂直的单位向量 和向量和向量且且 ,试用试用 表示表示 .12,e e 练习练习4:1e2e a30a12,e e a| 6a OAMN 5.设设M,N,P是是ABC三边三边BC,CA,AB上的点上的点,且且BC=3BM,

4、 CA=3CN,AB=3AP,若若试用试用 表示表示,.MN NP PM ,ABa ACb ,a b 例例1.如图如图,已知已知ABC中中,D为为AC的中点的中点, BE=2AE, BD,CE交于点交于点F,设设 (1)试用试用 表示表示(2)求证求证:(3)试用试用 表示表示,ABa ACb BACEDF, a b ,BD BF , a b AF 5BDFD例例2.已知已知 ,当实数当实数k为何值时为何值时,向量向量 平行平行?并确定此时它们是同向还并确定此时它们是同向还是反向是反向?(1,0),(2,1)ab3kabab与OB 2.已知向量已知向量 ,点点A(-2, 1),若向量若向量 且

5、且 求向量求向量 的坐标的坐标. ( 1,2)a 3 5AB /ABa 1.已知已知 ,当当k为何值为何值时时,A、B、C三点共线？三点共线？( ,12),(4, ),(10, )OAkOBk OCk 练习练习3.设设A(x, 1),B(2x, 2),C(1, 2x),D(5, 3x),当当x为何值时为何值时, 共线且方向相同共线且方向相同?此时此时A,B,C,D能否在同一条直线上能否在同一条直线上?ABCD 与4.如图如图,已知点已知点A(4, 0),B(4, 4),C(2, 6),用向量方法用向量方法求求AC与与BD的交点的交点P的坐标的坐标.1234123456xyoB(4,4)A(4,

6、0)C(2,6)P例例3.已知已知O(0, 0), A(3, 4),B(-1, 2),C(1, 1)，是否存在常数是否存在常数t,使得使得 成立成立?解释你所得结论的几何意义解释你所得结论的几何意义.OAtOBOC A1.已知点已知点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为(1 ,1),(2,3),(5,3),求第求第四个点四个点D的坐标的坐标,使这四个点是平行四边形的顶点使这四个点是平行四边形的顶点.BCxyoD1D2D3练习练习3.已知点已知点O(0, 0),A(1, 2),B(4, 5)及及求求:(1) t为何值时，点为何值时，点P在在x轴上；轴上；P在在y轴上；轴上；P在第二在第二象限？象限？(2)四边形四边形OABP能否成为平行四边形能否成为平行四边形?若能若能,求出相求出相应应t的值的值,若不能若不能,请说明理由请说明理由.OPOAtAB 2.已知向量已知向量求向量求向量 ,使使 三个向量作适三个向量作适当的平移当的平移,能形成一个顺次首尾连接的封闭的向量链能形成一个顺次首尾连接的封闭的向量链. (1,1),( 1,2),(2,4)abc d2,4()abccad 和4.已知已知O(0,0),A(3, 1),B(-1, 3),点点C满足满足且且 ,则点则点C的轨迹方程是的轨迹方程是_OCOAOB 15.O5.O是平