广石化大学物理3.4 刚体定轴转动动能定理

1、o 在功和能一章中我们研究了力对空间在功和能一章中我们研究了力对空间的累积效应的累积效应功功，在这节中要介绍力矩，在这节中要介绍力矩对空间的累积效应对空间的累积效应力矩的功。力矩的功。一、力矩的功一、力矩的功 将将F F分解为切分解为切向力和法向力。向力和法向力。刚体转过刚体转过 d, , 作用点的位移为作用点的位移为 ds, , 法向力法向力F Fn 不作功，只有切向力作功，不作功，只有切向力作功，rF FnF FF Fdds力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 一、力矩的功一、力矩的功cosFdsWbardds, cosFF其中其中则则rdFW0MdW0对于恒力矩作功对于恒力矩

2、作功MMW)(0恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。由功的定义由功的定义力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 二、力矩的功率二、力矩的功率三、刚体绕定轴转动的动能定理三、刚体绕定轴转动的动能定理 刚体在力矩的作用下转过一定角度，刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？体的转动状态，改变了刚体的什么状态？由力矩的功定义：由力矩的功定义：MdW0力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 三、转动动能定理三、转动动能定理其中力矩其中力矩JM MdW0则功

3、则功dtddJW0刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2022121JJWddtdJ02022121JJ力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 三、转动动能定理三、转动动能定理dtdJ与质点的动能定理比较：与质点的动能定理比较：2022121mvmvW221mvEk为质点的为质点的平动动能平动动能定义：定义：221JEk为刚体的为刚体的转动动能转动动能2022121JJW刚体转动动能定理：刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。的增量。力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / /

4、 三、转动动能定理三、转动动能定理0kkEEkE如图，均匀木棒如图，均匀木棒OA可绕过其端点可绕过其端点O并与棒垂直的水平光并与棒垂直的水平光滑轴转动，令棒从水平位置开始下落，在棒转到竖直位滑轴转动，令棒从水平位置开始下落，在棒转到竖直位置的过程中，下列说法中正确的是置的过程中，下列说法中正确的是 （ ）（1） 角速度从小到大，角加速度从小到大。角速度从小到大，角加速度从小到大。 0 A （2） 角速度从小到大，角加速度从大到小角速度从小到大，角加速度从大到小 （3） 角速度从大到小，角加速度从大到小角速度从大到小，角加速度从大到小（4） 角速度从大到小，角加速度从小到大角速度从大到小，角加速

5、度从小到大 1. .确定研究对象。确定研究对象。2. .受力分析，确定作功的力矩。受力分析，确定作功的力矩。3. .确定始末两态的动能，确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4. .列方程求解。列方程求解。例例1：一细杆质量为一细杆质量为m，长度为，长度为l，一端固，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。摆到铅直位置时的角速度。0kkEEWg gmolm,解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，只有重力产生力矩，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化且重力矩随摆角变化而变化。而变化。重力矩作功重力矩作功：900MdW重900cos2dl

6、mgmgl21力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 四、解题方法及举例四、解题方法及举例始末两态动能：始末两态动能：21 2kEJ 由动能定理：由动能定理：0kkEEW211022mglJ213Jml22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 四、解题方法及举例四、解题方法及举例 当系统中既有平动的物体又有转动的当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。EE0其中其中221mv

7、E例：例：如图所示的物体系中，劲度系数为如图所示的物体系中，劲度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为、转动惯量为 J，质量为，质量为 m 的物体从静的物体从静止开始下落止开始下落, ,求求下落下落 h 时物体的速度时物体的速度 v。221Jmgh221kx力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律k,J Rhm解：解：在物体在物体 m 下落过程中只有下落过程中只有重力和弹力保守重力和弹力保守力作功，物体系力作功，物体系机械能守恒。机械能守恒。EE0选择弹簧原长为弹性选择弹簧原长为弹性 0

8、势点，势点，物体下落物体下落 h 时为重力时为重力 0 势点。势点。221mvmgh221J221kh力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律Rv求解得求解得22/2RJmkhmghv力矩功、转动动能定理力矩功、转动动能定理 / / 五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系

9、统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过程机械能守恒.以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有例例2.25如图如图2.45，质量为，质量为m，长为，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴轴O转动转动.现将棒拉到水平位置现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，时，与静止放置在水平面与静止放置在水平面A处的质量为处的质量为M的物块作

10、完全弹性碰撞，物体在水的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离平面上向右滑行了一段距离s后停止后停止.设物体与水平面间的摩擦系数设物体与水平面间的摩擦系数处处处相同，求证处相同，求证226m(m3M) sl22211226lmgJml(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度为v，则有(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理221133mlmllMv2222 21111123232mlmlMv 2102mgsMv联立以上四式，即可证得：226m(m3M) sl 例例2 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系