[理学]82 偏导数ppt课件

1、March 2005http:/Revised Feb, 20068.2 偏导数偏导数Partial DerivativesMarch 2005http:/Revised Feb, 2006一、偏导数的定义与计算一、偏导数的定义与计算March 2005http:/Revised Feb, 2006二元函数的偏导数二元函数的偏导数0000(,)(,)xzf xx yf xy( , )zf x y关于关于 x 的偏增量的偏增量0 x0y0 xx March 2005http:/Revised Feb, 20060limxxzx 00(,)xfxy00|x xy yzxf(x, y) 对自变量对自

2、变量 x 的偏导数的偏导数00000(,)(,)limxf xx yf xyx 0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx March 2005http:/Revised Feb, 2006二元函数的偏导数二元函数的偏导数0000(,)(,)yzf xyyf xy ( , )zf x y关于关于 y 的偏增量的偏增量0 x0y0yy March 2005http:/Revised Feb, 20060limyyzy 00(,)yfxy00|x xy yzyf(x, y) 对自变量对自变量 y 的偏导数的偏导数0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf x

3、yfxyy 00000(,)(,)limyf xyyf xyy March 2005http:/Revised Feb, 2006偏导函数：偏导函数：( , )xfx yzx( , )yfx y( , )x yDfxxzxfzyfyyzyfMarch 2005http:/Revised Feb, 2006求偏导数的方法？求偏导数的方法？比较导数的定义比较导数的定义0()( )limxdyf xxf xdxx 和偏导数的定义和偏导数的定义0(, )( , )limxzf xx yf x yxx 偏导数实践上就是导数！偏导数实践上就是导数！March 2005http:/Revised Feb,

4、2006要求偏导数要求偏导数zx只需将自变量只需将自变量 y 暂时看成不变的常量，暂时看成不变的常量，对自变量对自变量 x 求导数即可求导数即可( , )( , )df x yf x yxdx求偏导数的方法求偏导数的方法March 2005http:/Revised Feb, 2006要求偏导数要求偏导数zy只需将自变量只需将自变量 x 暂时看成不变的常量，暂时看成不变的常量，对自变量对自变量 y 求导数即可求导数即可( , )( , )df x yf x yydyMarch 2005http:/Revised Feb, 2006例例 12223zxyxy解解22(23)xzxyxyx4x24

5、3xy22(23)yzxyxyy016xy 23y016xyMarch 2005http:/Revised Feb, 2006例例 3 设设 (0, 1)yzxxx求证求证12lnxzzzy xx y解解zy幂函数求导公式幂函数求导公式zx指数函数求导公式指数函数求导公式()yxx1yyx()yyxlnyxxMarch 2005http:/Revised Feb, 2006所以所以1lnxzzy xx y1lnlnyxxxyyxx2yx2z1yzyxxlnyzxxy1yxyxyMarch 2005http:/Revised Feb, 2006例例 4 求以下函数的偏导数求以下函数的偏导数222

6、 rxyz解解222()xrxyzx222xxyz22212 xyzxr同理由对称性同理由对称性yrryzrrz222()xxyz利用对称性求偏导数的一利用对称性求偏导数的一个小窍门：个小窍门： 212212页页March 2005http:/Revised Feb, 2006例例5 5 已已知知理理想想气气体体的的状状态态方方程程 RTpV （R为为常常数数） ，求求证证：1 pTTVVp. 证证P: 压力，压力，T：温度，：温度，V：容积：容积March 2005http:/Revised Feb, 2006pVRTRVpTTRpV pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 2p

7、RTVV TVpRVRTp等温条件下，等温条件下，压力关于容积压力关于容积的变化率的变化率等容条件下，等容条件下，温度关于压力温度关于压力的变化率的变化率等压条件下，等压条件下，容积关于温度容积关于温度的变化率的变化率March 2005http:/Revised Feb, 20061pVTVTp 不像导数记号不像导数记号 可以视为可以视为 dy 与与 dx 之商之商 dydxzx以上等式阐明以上等式阐明 是一个整体记号是一个整体记号1dpdVdTdVdTdp1March 2005http:/Revised Feb, 2006111213112321222323132333( ,)aaaxfx

8、 x xaaaxaaax22211 1222333121213 132323 222a xa xa xa x xa x xa x xMarch 2005http:/Revised Feb, 20060000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 表示函数表示函数 z = f(x, y) 在点在点 M0(x0, y0) 处沿处沿 x 轴轴方向的变化率倾斜度方向的变化率倾斜度偏导数偏导数 fx(x0, y0) 是曲线是曲线0( , ):zf x ylyy在点在点 x = x0 处的切线的斜率：处的切线的斜率：00(,)tanxfxyMarch 2005http:/Revis

9、ed Feb, 200600(,)xy( , )zf x y0yy0( , ):zf x ylyy00(,)tanxfxyMarch 2005http:/Revised Feb, 200600(,)tanxfxya00(,)tanyfxyMarch 2005http:/Revised Feb, 200600(,)xy在在 点点(x0, y0) 偏导偏导数切线依然存数切线依然存在在但是在点但是在点(x0, y0)函数曾经不延续函数曾经不延续将两条曲线上移将两条曲线上移调查：偏导数与延续性的关系调查：偏导数与延续性的关系March 2005http:/Revised Feb, 200600(,)x

10、y多元函数：多元函数：偏导数存在偏导数存在函数延续或有极限函数延续或有极限March 2005http:/Revised Feb, 2006经典经典反例反例22, ( , )(0,0)( , )0, ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y求求 f(x, y) 在原点在原点 (0, 0)的偏导数的偏导数解解0(0,0)(0,0)limxfxfx 000limxx 00limxx 0同理同理(0,0)0yf(0,0)xf p.16March 2005http:/Revised Feb, 20060(0,0)(0,0)(0,0)lim0 xxfxffx 几何解释：几何解释：在在 x 轴上

11、，轴上，( , )0f x y 所以，所以，(0,0)0 xf常数常数March 2005http:/Revised Feb, 2006但是，二重极限但是，二重极限 2200limxyxyxy不存在不存在 所以，所以，f(x, y)在在 (0,0)不延续不延续多元函数：在一点多元函数：在一点 M 处处偏导数存在偏导数存在延续延续有极限有极限March 2005http:/Revised Feb, 2006比较一元函数：在一点比较一元函数：在一点 x 处处导数存在导数存在延续延续有极限有极限学习指点学习指点 P.145问问 5.11多元函数：在一点多元函数：在一点 M 处处偏导数存在偏导数存在延

12、续延续有极限有极限March 2005http:/Revised Feb, 2006二、高阶偏导数二、高阶偏导数Higher Partial DerivativesMarch 2005http:/Revised Feb, 2006例例632331zx yxyxyzx()zxx22zx()zyx2zx y 26xy22691x yy223x y33yyMarch 2005http:/Revised Feb, 200632331zx yxyxyzy22zy()zyy()zxy2zy x 3218xxy22691x yy32x y29xyxMarch 2005http:/Revised Feb, 2

13、006混合偏导数混合偏导数32331zx yxyxy232218zxxyy222691zx yyy x 2226zxyx222691zx yyx y f (x, y) 的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数March 2005http:/Revised Feb, 2006混合偏导数混合偏导数22()zzxxxf(x, y) 的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数( , )zf x y( , )xzfx yx( , )yzfx yy2()zzx yyx 22()zzyyy2()zzy xxy March 2005http:/Revised Feb, 2006高阶偏导数的记号：高阶偏导数的记号：( , )zf

14、 x y22xxxxzzfx2xyxyzzfx y 3xyxxyxzzfx y x March 2005http:/Revised Feb, 2006高阶偏导数高阶偏导数fxfyfxxfxyfyxfyyfxxxfxxyfxyxfxyyfyxxfyxyfyyxfyyyfxyxxfxyxyfMarch 2005http:/Revised Feb, 2006两个混合偏导数相等两个混合偏导数相等32331zx yxyxy232218zxxyy222691zx yyy x 2226zxyx222691zx yyx y 这不是偶尔的这不是偶尔的但也不是必然的但也不是必然的March 2005http:/R

15、evised Feb, 2006定理定理2.4 (Clairauts Theorem)假设假设 和和 在区域在区域 D 内延续内延续那么在那么在D 内：内：2zx y 2zy x 22zzx yy x 即：在延续的前提下，混合偏导数与对自变量即：在延续的前提下，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序无关求偏导数的先后次序无关March 2005http:/Revised Feb, 2006在不延续点处，混合偏导数与对自变量求偏导在不延续点处，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序能够有关，即能够有：数的先后次序能够有关，即能够有：( , )( , )xyyxfx yfx y( , )( , )

16、xyxyxxfx yfx yMarch 2005http:/Revised Feb, 2006经典经典反例反例 212页页2222, ( , )(0,0)( , )0, ( , )(0,0)xyxyx yf x yxyx y在原点在原点O(0, 0)，(0,0)1xyf (0,0)1yxf (0,0)(0,0)xyyxffMarch 2005http:/Revised Feb, 2006课内课内练习练习2xyzezx22()xyexyx2()xyex22xyy e求求2zx y 2zx y ()zyx22()xyy ey22()xyeyy22xyye222(1)xyxyyexye22()xyy

17、ey232xyxy ezxMarch 2005http:/Revised Feb, 2006例例 8 证明：函数证明：函数22211urxyz满足拉普拉斯满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:2222220uuuxyzMarch 2005http:/Revised Feb, 2006证：证：1( )uxx r2rxr 2xrr 3xr rx222()xyzx222xxyzxr其中其中前面曾经讲过这个例子前面曾经讲过这个例子March 2005http:/Revised Feb, 2006223()uxxxr336()rxrxr 3263rrxrxr 3263xrxrrr 3263rx rr 23513xrr 3uxxr March 2005http:/Revised Feb, 20062223513uxxrr 由函数关于自变量由函数关于自变量 x、y、z