X射线衍射原理

1、第三章第三章 X射线的衍射方向射线的衍射方向1、衍射的两个基本要素、衍射的两个基本要素2、晶体的衍射方向、晶体的衍射方向（1）劳厄（）劳厄（Laue）方程）方程（2）布拉格（）布拉格（Bragg）方程）方程3、衍射花样与晶体结构的关系、衍射花样与晶体结构的关系4、倒易点阵中的衍射矢量与厄尔瓦德图解、倒易点阵中的衍射矢量与厄尔瓦德图解5、劳厄方程与布拉格方程的等效性、劳厄方程与布拉格方程的等效性使用使用X X射线研究射线研究问题，主要是利用问题，主要是利用在晶体中产生的在晶体中产生的现象现象。3.1.1 晶体的晶体的X射线衍射：射线衍射： 当一束当一束X射线照射到晶体上时，首先被射线照射到晶体上

2、时，首先被所所，每个电子都是一个每个电子都是一个，向空间辐射出与入，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。可以把晶体中射波同频率的电磁波。可以把晶体中都看作都看作一个一个，同样各自向空间辐射与入射波，同样各自向空间辐射与入射波的电磁波。由于这些的电磁波。由于这些，使，使得空间某些方向上波相互得空间某些方向上波相互，在这个方向上，在这个方向上衍射线，而另一些方向上波相互相抵消，衍射线，而另一些方向上波相互相抵消，。 X射线在晶体中的射线在晶体中的，是是。晶体的点阵结构使晶体对晶体的点阵结构使晶体对X X射线、中子流和电子流等产射线、中子流和电子流等产生衍射。其中生衍射。其中X X射线法最重要，已测

3、定了二十多万种晶射线法最重要，已测定了二十多万种晶体的结构，是物质空间结构数据的主要来源。体的结构，是物质空间结构数据的主要来源。 晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子分布规律。分布规律。 晶体的晶体的X射线衍射包括射线衍射包括两个要素两个要素：（1） ，由晶胞大小（由晶胞大小（a）、类别和位向决定（）、类别和位向决定（hkl）。）。（2） ，取决于原，取决于原子的种类和它们在晶胞中的相对位置。子的种类和它们在晶胞中的相对位置。X X射线衍射理论所要解决的中心问题射线衍射理论所要解决的中心问题: : 在在衍射衍射现象现象与与晶体结构晶体结构之间建

4、立起定性和定量的关系，之间建立起定性和定量的关系，这个关系的建立依靠一个参数联系这个关系的建立依靠一个参数联系-晶面间距晶面间距。3.1.2 衍射的两个要素衍射的两个要素晶体衍射方向就是晶体衍射方向就是X射线射入周期性排列的晶体射线射入周期性排列的晶体中的原子、分子，产生散射后次生中的原子、分子，产生散射后次生X射线干涉、射线干涉、叠加相互加强的方向。讨论衍射方向的方程有：叠加相互加强的方向。讨论衍射方向的方程有： 劳厄劳厄Laue方程方程和和 布拉格布拉格Bragg方程方程。 前者从一维点阵出发，后者从平面点阵出发，前者从一维点阵出发，后者从平面点阵出发，两个方程是等效的两个方程是等效的。

5、3.2 晶体的衍射方向晶体的衍射方向为什么在这个方向上能产生衍射，而不是其他方向？为什么在这个方向上能产生衍射，而不是其他方向？回答这个问题就涉及到回答这个问题就涉及到衍射方向衍射方向的问题的问题入射入射X射线射线中心线中心线衍射方向衍射方向底片底片The Nobel Prize in Physics 1914The Nobel Prize in Physics 1914Max von LaueMax von Laue Germany Frankfurt UniversityFrankfurt-on-the Main, Germany1879 - 1960劳厄劳厄19141914年获物理奖年获

6、物理奖 M. (Max von Laue,1879-1960) 18791879年年1010月月1010日生于日生于德国德国科布伦茨附近的科布伦茨附近的普法芬多尔夫。普法芬多尔夫。18981898年中学毕业后一边在军年中学毕业后一边在军队服务，一边在斯特拉斯堡大学学习。队服务，一边在斯特拉斯堡大学学习。18991899年转到哥廷根大学，研究理论物理，年转到哥廷根大学，研究理论物理，19031903年年在在PlankPlank指导下获博士学位，指导下获博士学位，19091909年为慕尼黑年为慕尼黑大学理论物理所研究人员，大学理论物理所研究人员，19121912年起他先后年起他先后在苏黎世大学、法

7、兰克福大学，柏林大学任在苏黎世大学、法兰克福大学，柏林大学任教。教。19211921年成为普鲁士科学院院士，年成为普鲁士科学院院士，1921192119341934年是德国科学资助协会物理委员会主席，年是德国科学资助协会物理委员会主席，二战中，二战中，他是德国学者中抵制希特勒国家社他是德国学者中抵制希特勒国家社会主义的代表人物之一会主义的代表人物之一，因此失去物理所顾，因此失去物理所顾问位置，问位置，19551955年重被选进德国物理学会，年重被选进德国物理学会，19601960年年4 4月月2424日因车祸去世。日因车祸去世。 主要成就主要成就：在第一次世界大战期间，他与：在第一次世界大战期

8、间，他与维恩一起发展电子放大管，用于改进军用通维恩一起发展电子放大管，用于改进军用通讯技术，讯技术，1907年，他从光学角度支持爱因斯年，他从光学角度支持爱因斯坦狭义相对论，坦狭义相对论，1910年写了一本专著，最重年写了一本专著，最重要贡献是发现了要贡献是发现了“X射线通过晶体的衍射射线通过晶体的衍射”。 劳厄劳厄(1) 直线点阵的衍射方向（衍射条件）直线点阵的衍射方向（衍射条件） 设有原子组成的直线点阵，相邻两原子间的距离为设有原子组成的直线点阵，相邻两原子间的距离为a a，如图所示，如图所示，X X射线入射方向射线入射方向S S0 0与直线点阵的交角与直线点阵的交角为为0 0。3.2.1

9、 3.2.1 劳厄劳厄LaueLaue方程方程S0原子直线点阵原子直线点阵 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= a若在与直线点阵交成若在与直线点阵交成角角的方向的方向S S发生衍射，则相邻波列的发生衍射，则相邻波列的光程差应为波长光程差应为波长的整数倍，的整数倍， 这就是原子直线点阵产生衍射的条件！这就是原子直线点阵产生衍射的条件！即即 OAPBH， H为整数为整数 (H=0，1，2，) 。cosaOA 0cosaPB 因为：因为：S0原子直线点阵原子直线点阵 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= aHaaa)cos(coscoscos00于是，于是，J 研究研究衍射

10、方向就是确定衍射方向就是确定角角。因为由次生波原发出的因为由次生波原发出的X射线为射线为球面电磁波球面电磁波，故，故与直线点阵交角为与直线点阵交角为的方向的轨迹是以直线点阵的方向的轨迹是以直线点阵为轴的圆锥面。为轴的圆锥面。直线点阵衍射线形状直线点阵衍射线形状S0原子直线点阵原子直线点阵 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= aHHHHH（a）当）当090o时，时，H等于等于n和和n（n=1，2，3，）的两）的两套圆锥面并不对称套圆锥面并不对称.（b）当）当090o时，时，h=0的圆锥面蜕化为垂直于直线点阵的的圆锥面蜕化为垂直于直线点阵的平面，这时平面，这时h等于等于n和和n的两套

11、圆锥面就是对称的了。的两套圆锥面就是对称的了。HHHHHHHHHH（a）若放置照像板与直线点阵垂直，）若放置照像板与直线点阵垂直，所得到的是一些同心圆。所得到的是一些同心圆。（b）若放置照像板与直线点阵平行，在一）若放置照像板与直线点阵平行，在一般情况下所得到的是一些曲线，在般情况下所得到的是一些曲线，在090o时时所得到的是一组双曲线。所得到的是一组双曲线。 设空间点阵的三个素平移向量为设空间点阵的三个素平移向量为a ,b和和c,入射入射的的X射线与它们的交角分别为射线与它们的交角分别为0，0和和0。衍。衍射方向与它们的交角分别为射方向与它们的交角分别为，和和，根据，根据上述的讨论可知，角上

12、述的讨论可知，角，和和应满足下列条应满足下列条件：件： 设空间点阵的三个平移向量为设空间点阵的三个平移向量为a ,ba ,b和和c,c,入射的入射的X X射线与它们的射线与它们的交角分别为交角分别为0 0，0 0和和0 0。衍射方向与它们的交角分别为。衍射方向与它们的交角分别为，和和 。根据上述讨论可知，衍射角。根据上述讨论可知，衍射角，和和在在x, y, zx, y, z三三个轴上应满足以下条件：个轴上应满足以下条件： a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) = L H，K，L， 0 0 ，1，2， 式中式中为波长，为波长，H, K, L 均为

13、整数，均为整数，HKL 称为衍射指标。称为衍射指标。上式称为上式称为劳埃（劳埃（Laue）方程）方程 衍射指标衍射指标和和晶面指标晶面指标不同，晶面指标是互质的整数，衍射指标都是整数但不同，晶面指标是互质的整数，衍射指标都是整数但不定是互质的。为了区别起见，在以下的讨论中我们用不定是互质的。为了区别起见，在以下的讨论中我们用hklhkl来表示晶面指标。来表示晶面指标。(2) 三维空间点阵衍射的条件三维空间点阵衍射的条件讨论：讨论： 劳厄方程中，对于每组劳厄方程中，对于每组HKLHKL，可得到三个衍射圆锥，可得到三个衍射圆锥，只有同时满足劳厄方程组才能出现衍射，衍射方向只有同时满足劳厄方程组才能

14、出现衍射，衍射方向是三是三个圆锥面的共交线。另外，个圆锥面的共交线。另外，不是完全彼此独不是完全彼此独立立，这三个参数直接还存在着一个函数关系：，这三个参数直接还存在着一个函数关系：F(F(，)0 0 例如例如当当，相互垂直时相互垂直时，则有，则有coscos2 2coscos2 2coscos2 21 1。，共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。为了获得衍射图必须增加一个变量。为了获得衍射图必须增加一个变量。可采用两种办法：可采用两种办法：（1 1）一

15、种办法是晶体不动（即一种办法是晶体不动（即0 0，0 0，0 0固定），只固定），只 让让X X射线波长改变（射线波长改变（改变）；改变）； 即：变即：变，晶体不动（即，晶体不动（即0，0，0不变）不变） - 劳厄法劳厄法（2 2）另一种办法是采用单色）另一种办法是采用单色X X射线（射线（固定），但改变固定），但改变 0 0，0 0，0 0的一个或两个以达到产生衍射的目的。的一个或两个以达到产生衍射的目的。 不变，不变， 0，0，0中一个或两改变中一个或两改变 -回转晶体法和粉末法。回转晶体法和粉末法。a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) =

16、 L 布拉格方程的导出布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论布拉格方程的讨论The Nobel Prize in Physics 1915Sr.William Henry BraggSr.William Henry Bragg Jr.William Lawrence BraggJr.William Lawrence Bragg Great Britain Great Britain 布拉格布拉格19151915年物理奖年物理奖William Henry Bragg, 1862-1942) William Lawrence Bragg （1890-1971） 1862年7月2日生于英格兰西部的坎伯兰

17、，曾被保送进威廉皇家学院学习，后进入剑桥大学三一学院攻读数学，并在卡文迪什实验室学习物理。1885年在澳大利亚阿德莱德大学任教，1907年，被选进伦敦皇家学会，1909年回英国利兹大学任教，1915年到伦敦大学任教，1935-1940年任皇家学会会长，在英国科学界负有盛名，并被授予巴黎、华盛顿、哥本哈根，阿姆斯特丹等国外科学院院士称号，1942年3月病逝于伦敦。主要成就：可分为两个阶段，第一阶段在澳大利亚，研究静电学、磁场能量及放射射线，第二阶段即1912年后，与儿子一起推导出布拉格关系式， 说明X射线波长与衍射角之间关系，1913年建立第一台X射线摄谱仪，并将晶体结构分析程序化。 布拉格父子

18、布拉格父子小布拉格是最年轻的诺贝尔奖获得者，小布拉格是最年轻的诺贝尔奖获得者，当时当时25岁。岁。1、布拉格方程的导出：、布拉格方程的导出：（1）单一原子面）单一原子面(晶面晶面)上的上的镜面镜面反射反射abnm任意两个结点任意两个结点a与与b上的散射波，在镜上的散射波，在镜面反射方向上散射波的光程差：面反射方向上散射波的光程差： am - nb = 0于是，同相位而得到干涉。于是，同相位而得到干涉。同理，不论同理，不论X X射线从什么方向入射，射线从什么方向入射，在对应的在对应的镜面反射镜面反射方向上，原子方向上，原子面上所有个结点的散射波能产生干涉。面上所有个结点的散射波能产生干涉。如果晶

19、体只有一个晶面，任何角度上的镜面反射都能产生干涉，但晶体由多个晶面组成，如果晶体只有一个晶面，任何角度上的镜面反射都能产生干涉，但晶体由多个晶面组成，而且而且X射线由于极强的穿透力，不仅表面原子，内层原子也将参与镜面反射。射线由于极强的穿透力，不仅表面原子，内层原子也将参与镜面反射。问题：问题：X X射线在一组晶面上的反射线，能否出现干涉、产生衍射需要哪些条件？射线在一组晶面上的反射线，能否出现干涉、产生衍射需要哪些条件？根据图示，根据图示，光程差：光程差：干涉加强的条件是：干涉加强的条件是：式中：式中：d晶面间距，晶面间距，n为整数，称为整数，称为反射级数；为反射级数； 为入射线或反射线为入

20、射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，与反射面的夹角，称为掠射角，由于它等于入射线与衍射线夹角由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把的一半，故又称为半衍射角，把2 称为衍射角。称为衍射角。 nBDCBndsin2sin2dBDCBX X射线在晶体多个晶面上射线在晶体多个晶面上的衍射的衍射 （2）相邻两个晶面对）相邻两个晶面对X射线的衍射射线的衍射反射面法反射面法线线dBACDd因此，已经证明：当一束单色平行的因此，已经证明：当一束单色平行的X射线照射射线照射到晶体时，到晶体时，（1）同一晶面同一晶面上的原子的散射线，在晶面反射上的原子的散射线，在晶面反射方向上可以相互加强；

21、方向上可以相互加强；（2）不同晶面不同晶面的反射线若要加强，必要的条件的反射线若要加强，必要的条件是相邻晶面反射线的光程差为波长的整数倍。是相邻晶面反射线的光程差为波长的整数倍。* * * * * *布喇格方程是布喇格方程是X X射线在晶体产生衍射的必要条射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。2、布拉格方程的讨论、布拉格方程的讨论 选择反射选择反射 反射级数反射级数 干涉面和干涉指数干涉面和干涉指数 掠射角掠射角 产生衍射的极限条件产生

22、衍射的极限条件1、选择反射、选择反射（重点：与可见光的镜面反射的区别）（重点：与可见光的镜面反射的区别） X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于恰好相当于原原子面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍子面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。射几何。将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。 但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。 X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同

23、。一束射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原而原子面对子面对X射线的反射并不是任意的，只有当射线的反射并不是任意的，只有当 、 、d三者三者之间满足布拉格方程时才能发生反射之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把，所以把X射线这种射线这种反射称为反射称为选择反射选择反射。即衍射方向的选择性。即衍射方向的选择性。总结：总结：(a)可见光在任意入射角方向均能产生反射，而可见光在任意入射角方向均能产生反射，而X射线则只能在有限的布喇格角方向才产生反射。射线则只能在有限的布喇格角方向才产生反射。就平面点阵

24、（就平面点阵（hkl）来说，只有入射角）来说，只有入射角满足此方满足此方程时，才能在相应的反射角方向上产生衍射。程时，才能在相应的反射角方向上产生衍射。(b)可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而衍射则是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用衍射则是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。的结果。2、反射级数、反射级数n为反射级数。ndsin2当晶面间距（d值）足够大，以致2dsin有可能为波长的两倍或者三倍甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射二级或多级反射。因此，反射级数是针对实际晶面（因此，反射级数是针对实际晶面（hkl）而言，对于）而言，对于虚拟晶

25、面虚拟晶面（例如（例如n(hkl)），只有一级反射。），只有一级反射。sin2nd这样，把（把（hkl）晶面的晶面的n级反射级反射看成为与（看成为与（hkl）晶面平行、面间距为晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的的晶面的一级反射一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d，n(hkl)晶面间距是d/n。3、干涉面和干涉指数、干涉面和干涉指数我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程： 晶面（hkl）的n级反射面n(hkl)，用符合（HKL）表示，称为反射面或者干涉面。(hkl)是晶体中实际存在的晶面，（HKL）仅仅是为了使问题简化而引入的虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数，一

26、般有公约数n，例如（200）、（222）等。当n=1，干涉指数变为晶面指数。SindnddSinndHKLhklHKLhkl2,2则有：令注意：实际测量的衍射谱中的衍射线条对应的是干涉指数。即有可能注意：实际测量的衍射谱中的衍射线条对应的是干涉指数。即有可能出现（出现（200200）、（）、（222222）、（）、（300300）等指数。）等指数。4、掠射角、掠射角角，即入射线或者反射线与晶面间的夹角。 入射线入射线反射线反射线晶面晶面1，当用单色，当用单色X射线（射线（ 一定一定）照）照射多晶体，晶面间距相同的晶面，射多晶体，晶面间距相同的晶面， 相同。相同。2， 一定，一定，d越小，越小，

27、 加大。即加大。即面间距小的晶面，在高角度处产面间距小的晶面，在高角度处产生衍射。生衍射。sin2d 2（111）（200）（220）（311）Silver5、产生衍射的极限条件、产生衍射的极限条件 根据布拉格方程，sin不能大于1，因此，产生衍射的条件为： （1）如果想观察到面间距为d的这一晶面的衍射线（或衍射斑点），X射线的波长要小于等于这一晶面的二倍。同样，如果要得到至少一个衍射线或点，X射线的波长必须小于参加反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生衍射现象。 （2）如果晶面间距d一定， 越小，可得到的多级反射就越多。如果希望获得更多的衍射图（斑点或线条），可选用短波长的入射X射线。

28、221sin2ddd，或者，即这规定了这规定了X X衍射线或斑点的数目：衍射线或斑点的数目：（1 1）对于一定波长的）对于一定波长的X X射线而言（射线而言（ 一定）一定），晶体中能产生衍射的晶面数是有限的。晶体中能产生衍射的晶面数是有限的。（2 2）对于一定晶体而言（所有）对于一定晶体而言（所有d d值固定），在值固定），在不同波长的不同波长的X X射线下，能产生衍射的晶面数是射线下，能产生衍射的晶面数是不同的。不同的。d2NaCl 晶体 主晶面间距为2.8210- -10 m对某单色X射线的布喇格第一级反射的掠射角为 15入射X射线波长二级反射的掠射角根据布喇格公式152 2.8210-

29、-10 151.4610- -10 (m)0.517731.18 思考题思考题1. 一晶体中晶面间距为2.25210-10 m对某单色X射线的布喇格一级反射的掠射角为 20，求（1）入射X射线的波长，（2）二级反射的掠射角。2. 一简单立方晶胞参数分为0.3165 nm, 使用CuK（=1.54），衍射线中最高晶面指数（最高晶面指数是指H2+K2+L2为最大的晶面指数）是能到多少？ 3.一面心立方晶体（Al），a=0.405nm，用Cu-K（=1.54）X射线照射,问晶面(111)能产生几条衍射线（即几级反射）？能否使(440)晶面产生衍射？ 4. 要使某个晶体的衍射数量增加， 你选长波的X射

30、线还是短波的？3.3 衍射花样和晶体结构的关系衍射花样和晶体结构的关系 从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距间距d的函数。如果将各晶系的的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，可得：值代入布拉格方程，可得： 布拉格方程能给出晶胞参数（晶胞大小）与晶体所属晶系（晶胞形布拉格方程能给出晶胞参数（晶胞大小）与晶体所属晶系（晶胞形状）。状）。但是，不能给出晶胞中原子的种类和位置。但是，不能给出晶胞中原子的种类和位置。 因此，在研究晶胞中原子的位置和种类的变化时，除布拉格方程因此，在研究晶胞中原子的位置和种类的变化

31、时，除布拉格方程外，还需要有其它的判断依据。这种判据就是下一章要讲的结构因子外，还需要有其它的判断依据。这种判据就是下一章要讲的结构因子和衍射线强度理论。和衍射线强度理论。）222222(4sinLKHa）2222222(4sincLaKH）22222222(4sincLbKaH立方晶系：正方晶系：斜方晶系：Intensity (%)354045505560657075808590951001051101151200102030405060708090100(44.68,100.0)1,1,0(65.03,14.9)2,0,0(82.35,28.1)2,1,1(98.96,9.3)2,2,0(

32、116.40,16.6)3,1,0(a) 体心立方 Fe a=b=c=0.2866 nmIntensity (%)3540455055606570758085909510010511011512001020304050607080901001,1,02,0,02,1,12,2,03,1,02,2,2(b) 体心立方 Wa=b=c=0.3165 nm(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm(e) 面心立方：gFe a=b=c=0.360nmIntensity (%)35404550556065707580859095100105110115120010

33、20304050607080901001,0,11,1,00,0,22,0,01,1,22,1,12,0,22,2,01,0,33,0,1 3,1,0Intensity (%)3540455055606570758085909510010511011512001020304050607080901000,1,11,0,11,1,00,0,20,2,02,0,01,1,21,2,12,1,10,2,2 2,0,22,2,00,1,31,0,30,3,1 1,3,03,0,13,1,0Intensity (%)35404550556065707580859095100105110115120010

34、2030405060708090100(43.51,100.0)1,1,1(50.67,44.6)2,0,0(74.49,21.4)2,2,0(90.41,22.7)3,1,1(95.67,6.6)2,2,2(117.71,3.8)4,0,0 图3- X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系 (c) 体心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm衍射线的干涉指数衍射线的干涉指数干涉指数与点阵类型干涉指数与点阵类型(HKL)100110111200210211220221300310222H2+K2+L2123456891011简单立方体心立方面心立方3.4 劳厄方程与布拉格方程的一致性劳厄

35、方程与布拉格方程的一致性劳埃（劳埃（Laue）方程）方程 a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = H c(cos-cos0) = H 0 0、0 0、0 0 与与、是入射线与衍射线与三个是入射线与衍射线与三个基本矢量基本矢量a ,ba ,b和和c c的交角。的交角。 为波长，为波长，相邻原子散射相邻原子散射线在衍射方向桑的光程差为线在衍射方向桑的光程差为H 、K 与与L。H, K, L 均为整数均为整数H,K,LH,K,L0 0 ，1，2， X方向找一原子，距离原点O为OR=(KL)a; 于是O点与R点原子散射线的光程差为(H K L)。同样，在Y轴找一原子S，距离O原子(

36、HL)b ， Z方向找一T原子，距离O点（H K）c。于是从R, S, T到O点的光程差都为： (H K L) 。显然，从R, S, T出发的散射线，在衍射方向上是同光程的。这就是说，过R,S,T三个结点的晶面，正好处于入射线和衍射线的镜面反射位置。将劳厄方程平方：将劳厄方程平方：220222220222220222)coscoscos2(cos)coscoscos2(cos)coscoscos2(cos000gggLcKbHa为简单，设晶体属于立方晶系：为简单，设晶体属于立方晶系：故，故，a = b = c。上式相加得：上式相加得：2222022022222)()coscoscoscosco

37、s(cos2)coscos(cos)coscos(cos000gggLKHa1coscoscoscoscoscos02202222g直角坐标系中，任一根直线的方向余弦的平方为直角坐标系中，任一根直线的方向余弦的平方为1 1，即，即000coscoscoscoscoscosgg直角坐标系中，方向余弦分别为直角坐标系中，方向余弦分别为cos , cos 与与cosg g 和和cos 0, cos 0 与与cosg g0的两个直线，其夹角的余弦等于：的两个直线，其夹角的余弦等于：对于衍射，这两条线分别为入射和衍射线，夹角为对于衍射，这两条线分别为入射和衍射线，夹角为2 2 。于是上式可简化为：于是上

38、式可简化为：22222)(ndLKHa22222222222)(sin4)()2cos211 (LKHaLKHa或ndndsin2sin2或者利用立方体系晶面间距与晶胞参数和晶面指数关系：利用立方体系晶面间距与晶胞参数和晶面指数关系：于是有：于是有：布拉格方程。布拉格方程。3.5.1 布拉格方程的几何表示布拉格方程的几何表示3.5 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 入射入射X X射线的波长是一定的，所以射线的波长是一定的，所以2/2/ 保持常量。保持常量。2/ 因此，（因此，（1 1）如果能够形成衍射，衍射点一定在这个圆面）如果能够形成衍射，衍射点一定在这个圆面( (三维空

39、间上是球三维空间上是球) )上。上。 （2 2）衍射点具体在那个位置上，取决于）衍射点具体在那个位置上，取决于1/d1/dHKLHKL 这个值的大小。这个值的大小。)1(2/1sinHKLHKLdHKLHKLdsin2布拉格方程布拉格方程反射球反射球)1(2/1sinHKLHKLd =1/dHKLHKLHKLdsin2布拉格方程布拉格方程因此，（因此，（1 1）若）若X X射线沿着球的直径入射，球面上所有的点均满足布拉格条件，射线沿着球的直径入射，球面上所有的点均满足布拉格条件，从球心到任意一点的连线是衍射方向。衍射点具体在那个位置上，取决于从球心到任意一点的连线是衍射方向。衍射点具体在那个位

40、置上，取决于1/d1/dHKLHKL 这个值的大小，即矢量这个值的大小，即矢量OBOB线的长度。线的长度。 （2 2） OBOB即是倒易矢量即是倒易矢量B因此，矢量因此，矢量OBOB就是倒易矢量，就是倒易矢量，原点在原点在O O点。点。这个球称为这个球称为反射球反射球。反射球反射球倒易空间倒易空间倒易矢量倒易矢量 如图所示，当一束如图所示，当一束X X射线被晶面射线被晶面P P反射时，假反射时，假定定N N为晶面为晶面P P的法线方向，入射线方向用单位矢的法线方向，入射线方向用单位矢量量S S0 0表示，衍射线方向用单位矢量表示，衍射线方向用单位矢量S S表示，则表示，则S-S-S S0 0为

41、为衍射矢量衍射矢量。NS0SS- S0（衍射矢量图示）衍射矢量图示）因此，衍射矢量因此，衍射矢量S-S0必垂直于晶面必垂直于晶面(hkl)。3.5.2 衍射矢量方程衍射矢量方程而设晶面的倒易矢量为：而设晶面的倒易矢量为： 则则 令令 (1)式中式中C为常数。将上式两端取绝对值，则有为常数。将上式两端取绝对值，则有由布拉格方程可知，由布拉格方程可知，代入式代入式(1)得出得出 ，改变形式得：改变形式得： .(2) lckbharrss/0Crss0sin200ssshkldCrCCr1Crss0rss0rss0此倒易空间表示衍射条件的矢量方程此倒易空间表示衍射条件的矢量方程 衍射矢量方程衍射矢量

42、方程3.5.2.2 矢量方程的讨论矢量方程的讨论 1，产生衍射的条件是入射线矢量、反，产生衍射的条件是入射线矢量、反射线矢量与倒易矢量构成等腰三角形。射线矢量与倒易矢量构成等腰三角形。 2，对于一个给定的，对于一个给定的X射线（射线（ 一定一定），），高晶面指数（高晶面指数（H, K, L大）要形成衍射，大）要形成衍射，要求要求S0-S 越大。即角度越高。越大。即角度越高。衍射矢量方程与劳厄方程一致性衍射矢量方程与劳厄方程一致性HcLbKaHassaarssa)(*00Kssb0Haa0coscosKb)cos(cos0矢量方程两端同时点乘三个晶体点阵矢量矢量方程两端同时点乘三个晶体点阵矢量

43、a, b, c,同样有，同样有，ggLc)cos(cos0cosasaLssc0 (1) (2) (3) 衍射矢量方程与布拉格方程等效性衍射矢量方程与布拉格方程等效性sin20ssssin20ss*0rss矢量S-S0 与倒易矢量 r* 平行，r*对应的晶面为（hkl）。晶面与r* 垂直，并将入射光束S0和反射光束S的夹角平分。因此可将（hkl）看成是S0与S的反射面，于是按几何关系得到：衍射矢量三角形衍射矢量三角形S是单位矢量，故.sin21sin2dd于是有 那些落在球面上的倒易点那些落在球面上的倒易点才能产生衍射才能产生衍射! 以以X射线波长的倒数射线波长的倒数1/为半径为半径画一球（画

44、一球（反射球）反射球）。 X射线沿球的直径方向入射。射线沿球的直径方向入射。 以以X射线传出球面的那一点作射线传出球面的那一点作为晶体倒易点阵原点，并将该为晶体倒易点阵原点，并将该倒易点阵倒易点阵引入引入。与反射球面相交的结点所对应与反射球面相交的结点所对应的晶面均可参与反射。球心与的晶面均可参与反射。球心与该结点的联线，即使衍射方向。该结点的联线，即使衍射方向。 O3.5.3 衍射的厄瓦尔德图解衍射的厄瓦尔德图解 反射球如何与倒易空间相结合？反射球如何与倒易空间相结合？a*b*厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示衍射条件与衍射方向表示衍射条

45、件与衍射方向反射球中的反射球中的衍射矢量衍射矢量与与倒易矢量倒易矢量的等同，直接把正空间与的等同，直接把正空间与倒空间联系起来了。倒空间联系起来了。 应用之一：产生衍射的极限条件应用之一：产生衍射的极限条件dd21sin2，即d112所以，（所以，（1 1）要想探测到晶面间距为）要想探测到晶面间距为d d的衍射斑点，要满足上述条件。（的衍射斑点，要满足上述条件。（2 2）对于立方体系，要得到至少一个衍射斑点（线条）则必须要求对于立方体系，要得到至少一个衍射斑点（线条）则必须要求 d 2/ L不能得到这个晶面的衍射斑点不能得到这个晶面的衍射斑点倒易球S0反射球O反射面900思考题思考题 在实际电

46、子与在实际电子与X射线衍射测量中，得到的衍射射线衍射测量中，得到的衍射斑点或者衍射线条的数目是有限的吗？应用厄斑点或者衍射线条的数目是有限的吗？应用厄瓦尔德图解如何解释？瓦尔德图解如何解释？答：因为入射答：因为入射X X（或者电子）射线的波长有限，因（或者电子）射线的波长有限，因此反射球的大小是有限的。而衍射信号（斑点或此反射球的大小是有限的。而衍射信号（斑点或者线条）是反射球与倒易点（或者倒易球，如果者线条）是反射球与倒易点（或者倒易球，如果是粉末多晶）的交点，所以只有落在反射球内的是粉末多晶）的交点，所以只有落在反射球内的倒易点，才倒易点，才有可能有可能称为衍射斑点，在称为衍射斑点，在X

47、X射线衍射射线衍射中，成为衍射线条。所以可以说衍射斑点是有限中，成为衍射线条。所以可以说衍射斑点是有限个倒易点。个倒易点。思考题思考题 结合厄瓦尔德图解，论述衍射斑点与倒易点结合厄瓦尔德图解，论述衍射斑点与倒易点的关系。的关系。答：衍射斑点表达了有限个倒易点。衍射斑点的答：衍射斑点表达了有限个倒易点。衍射斑点的个数取决于入射线的波长。个数取决于入射线的波长。劳厄方程与布拉格方程的一致性劳厄方程与布拉格方程的一致性（另一种解释：备份版本）（另一种解释：备份版本）根据劳埃方程，我们现在要根据劳埃方程，我们现在要证明证明这样的这样的事实事实: :(1)(1)在在h=nhh=nh* *、k=nkk=n

48、k* *、l=nll=nl* *的衍射中，晶面的衍射中，晶面 指标为（指标为（h h* *k k* *l l* *）的平面点阵组中的每）的平面点阵组中的每 一点阵平面都是一点阵平面都是反射面反射面; ;(2)(2)其中两相邻点阵平面上的原子所衍射其中两相邻点阵平面上的原子所衍射X X射射 线的光程等于波长的整数倍线的光程等于波长的整数倍nn。 3.5 劳厄方程与布拉格方程的等效性劳厄方程与布拉格方程的等效性设设X X射线在入射方向的单位向量为射线在入射方向的单位向量为S S0 0，衍射方向的单位向量为，衍射方向的单位向量为S S，空间点阵的三个单位平移向量为，空间点阵的三个单位平移向量为a a

49、、b b和和c c，衍射矢量方程，衍射矢量方程两端分别乘以两端分别乘以a, b, ca, b, c： llckbhacsscklckbhabssbhlckbhaassa0003.5.1 衍射矢量与劳厄方程衍射矢量与劳厄方程设衍射束单位矢量设衍射束单位矢量S与点阵三个晶轴与点阵三个晶轴a、b、c间夹角分别为间夹角分别为 、 、 ；入射束单；入射束单位矢量位矢量S0与点阵三个晶轴间夹角分别为与点阵三个晶轴间夹角分别为 、 、 。 123123lckbha332211coscoscoscoscoscoslckbha332211coscoscoscoscoscos劳厄方程劳厄方程ccbbaa,令由矢量方程：由矢量方程：llckbhacsscklckbhabssbhlckbhaassa000可得到下列表达：可得到下列表达： 因为两个向量的数量积等于零表示两个向量互相因为两个向量的数量积等于零表示两个向量互相垂直，所以从上式可知向量垂直，所以从上式可知向量SSSS0 0与向量与向量 AB,BC,CA AB,BC,CA 垂直垂直. .这说明这说明S-SS-S0 0与与ABCABC所组成的平面垂直，也就所组成的平面垂直，也就是与平面点阵组