东北大学数电课件第1章

1、数字逻辑与数字系统数字逻辑与数字系统东北大学信息科学与工程学院东北大学信息科学与工程学院数字电路与数字信号数字电路与数字信号模拟电路模拟电路电子电路分类电子电路分类数字电路数字电路 传递、处理模拟传递、处理模拟 信号的电子电路信号的电子电路 传递、处理数字传递、处理数字信号的电子电路信号的电子电路数字信号数字信号时间上和幅度上都时间上和幅度上都断续变化的信号断续变化的信号 模拟信号模拟信号时间上和幅度上都时间上和幅度上都连续变化的信号连续变化的信号高电平高电平低电平低电平基本概念基本概念数字电路研究的对象：数字电路研究的对象：是数字电路的是数字电路的输出与输出与输入之间的因果关系输入之间的因果

2、关系，也就是说研究电路的，也就是说研究电路的逻辑关系。逻辑关系。数字电路的分类数字电路的分类将晶体管、电阻、电将晶体管、电阻、电容等元器件用导线在线路容等元器件用导线在线路板上连接起来的电路。板上连接起来的电路。将上述元器件和导线通过半将上述元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。成为一个不可分割的整体电路。根据电路结构不同分根据电路结构不同分分立元件电路分立元件电路集集 成成 电电 路路根据半导体的导电类型不同分根据半导体的导电类型不同分 双极型数字集成电路双极型数字集成电路单极型数字集成电路单极型数字集成电路以双极型晶体管以双极

3、型晶体管作为基本器件作为基本器件以单极型晶体管以单极型晶体管作为基本器件作为基本器件例如例如 CMOS例如例如 TTL数字电路的应用数字电路的应用数字通讯数字通讯自动控制自动控制数字电子计算机数字电子计算机数字测量仪表数字测量仪表家用电器家用电器数字电路的应用数字电路的典型应用数字电路的典型应用复杂数字电子产品已经大众化复杂数字电子产品已经大众化数字电路的优点数字电路的优点 便于高度集成化。便于高度集成化。 工作可靠性高、抗干扰能力强。工作可靠性高、抗干扰能力强。 数字信息便于长期保存。数字信息便于长期保存。 数字集成电路的产品系列多、通用性强、数字集成电路的产品系列多、通用性强、成本低。成本

4、低。 保密性好，数字信息容易进行加密处理，保密性好，数字信息容易进行加密处理，不易被窃取。不易被窃取。第第1 1章章 数字逻辑基础数字逻辑基础 1.1 计数体制计数体制1.2 常用编码常用编码1.3 二极管和三极管的开关特性二极管和三极管的开关特性1.4 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1计数体制计数体制把数的组成和由低位向高位进位的规则称为把数的组成和由低位向高位进位的规则称为数制数制。如果按照进位的方法进行计数，则称为如果按照进位的方法进行计数，则称为进位进位计数制计数制。在数字系统中，常用的数制包括十进制数在数字系统中，常用的数制包括十进制数(Decimal)，二进制数，二进制数(Binar

5、y)，八进制数，八进制数(Octal)和十六进制数和十六进制数(Hexadecimal)。 1.1计数体制计数体制数的表示涉及到两个基本问题：数的表示涉及到两个基本问题：权权和和基数基数。权权是一个与相应数位有关的常数，它与该数位是一个与相应数位有关的常数，它与该数位的数码相乘后，可得到该数位的数码代表的数的数码相乘后，可得到该数位的数码代表的数值。值。基数基数是一个正整数，它等于相邻数位上权的比。是一个正整数，它等于相邻数位上权的比。 十进制数十进制数1.1.1十进制数十进制数 例：例：666.66 666.66=6102+6101+6100+610-1+610-2 多项式表示法多项式表示法

6、(Polynomial notation)。102、101、100、10-1、10-2表表示每位数对应的权值示每位数对应的权值6为系数。为系数。特点：特点：1)基数基数10，逢十进一，即，逢十进一，即9+1=10 2) 0-9十个数字符号十个数字符号3)不同位上的数具有不同的权值不同位上的数具有不同的权值10i。 4)任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。的形式。1.1.1十进制数十进制数 1i1010nmiiaMn是整数的位数是整数的位数m是小数的位数是小数的位数ai是第是第i位系数位系数10i是第是第i位的权，位的权，10是基数。是基数。1

7、.1.1十进制数十进制数 任意进制数任意进制数按权展开按权展开1nmiiiRRaMR为基数为基数ai为第为第i位的数码位的数码Ri为第为第i位的权值。位的权值。 1.1.2 二进制数二进制数 组成：组成：0、1进位规则：逢二进一进位规则：逢二进一一个二进制数一个二进制数M2可以写成：可以写成： 122nmiiiaM1.1.2二进制数二进制数 一个二进制数的最右边一位称为最低有效一个二进制数的最右边一位称为最低有效位，常表示为位，常表示为LSB(Least Significant Bit)，最左边一位称为最高有效位，常表示为最左边一位称为最高有效位，常表示为MSB(Most Significan

8、t Bit)。例：试标出二进制数例：试标出二进制数11011.011的的LSB，MSB位，写出各位的权和按权展开式，求位，写出各位的权和按权展开式，求出其等值的十进制数。出其等值的十进制数。1.1.2二进制数二进制数 M2=11011.0112=124+123+022+121+120+02-1+12-2+12-3=27.375101 1 0 1 1 . 0 1 124232221202-12-22-3MSBLSB1.1.3八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数 八进制数八进制数组成：组成：进位规则：进位规则：权值：权值：基数：基数：188nmiiiaM1.1.3八进制数和十六进制数八进制数和

9、十六进制数 十六进制数十六进制数 组成：组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F进位规则：逢十六进一进位规则：逢十六进一11616nmiiiaM1.1.4 数制间的转换数制间的转换方法：按权相加。将非十进制数各位的数码乘方法：按权相加。将非十进制数各位的数码乘以对应的权再累加起来。以对应的权再累加起来。 一个一个R进制数转换成十进制数的过程可用下进制数转换成十进制数的过程可用下式表示：式表示：(an-1a0a-1a-m)R=(an-1Rn-1 a0R0 a-1R-1 a-mR-m)10 n非十进制数非十进制数 十进制数十进制数1.1.4 数制间的转换数制间的转换【例

10、例】 将将(10011.101)2转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：(10011.101)2(24+21+20+2-1+2-3)10 (16+2+1+0.5+0.125)10 (19.625)101.1.4 数制间的转换数制间的转换【例例】 将将(24.2)8转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：(24.2)8(281 480 28-1)10 (16 4 0.25)10 (20.25)10【例例】 将将(A3.4)16转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解： (A3.4)16(A161 3160 416-1)10 (160 3 0.25)10 (163.25)101.1.4 数制

11、间的转换数制间的转换一般采用将一般采用将M10的的整数部分整数部分和和小数部分小数部分分别转分别转换，然后把其结果相加。换，然后把其结果相加。整数部分的转换一般采用整数部分的转换一般采用除基取余法除基取余法(Radix Divide Method) 小数部分的转换一般采用小数部分的转换一般采用乘基取整法乘基取整法(Radix Multiply Method) 。 n 十进制数十进制数 非十进制数非十进制数1.1.4 数制间的转换数制间的转换(1)(1)整数部分转换整数部分转换n R进制整数都可写成按权展开的多项式：进制整数都可写成按权展开的多项式： (M)10=an-1 Rn-1+a1 R1+

12、a0 R0 转换的关键是寻找多项式每一项的系数转换的关键是寻找多项式每一项的系数 an-1 、 、a1 、a0 上式两边同除以基数上式两边同除以基数R可得：可得： (M/R)10=(an-1 Rn-2+an-2 Rn-3+a1 R0)+a0/R 除法的余数部分就是系数。除法的余数部分就是系数。在转换中，除以在转换中，除以R一直进行到一直进行到商数为商数为0止。止。这就是所谓这就是所谓除基取余法除基取余法(Radix Divide Method)。1.1.4 数制间的转换数制间的转换例：将十进制数例：将十进制数2510转换为二进制数。转换为二进制数。解：解： 2510=1100122523212

13、余余1a0062122余余0a1余余0a2余余1a3余余1a41.1.4 数制间的转换数制间的转换(2)小数部分转换小数部分转换R进制小数写成按权展开的多项式进制小数写成按权展开的多项式 ： (M)10=a-1 R-1+a-2 R-2+a-(m-1) R-(m-1) +a-m R-m n 对上式两边同乘以基数对上式两边同乘以基数R可得：可得： (M R)10=a-1+ (a-2 R-1+a-(m-1) R-(m-2) +a-m R-(m-1) 乘积的整数部分就是系数。乘积的整数部分就是系数。n 在转换过程中，乘在转换过程中，乘R过程一直继续到过程一直继续到所需位数所需位数或或达到达到小数部分为

14、小数部分为0止，止，这就是所谓这就是所谓乘基取整法乘基取整法(Radix Multiply Method)。1.1.4 数制间的转换数制间的转换例：将例：将0.2510转为二进制数。转为二进制数。 解：解：0.25102=0.5 整数整数=0=a-1 MSB 0.5102=1.0 整数整数=1=a-2 LSB即即0.2510=0.012 由上两例可得由上两例可得25.2510=11001.0121.1.4 数制间的转换数制间的转换二进制数和八进制数之间的转换二进制数和八进制数之间的转换二进制数二进制数八进制数八进制数 从从小数点处小数点处开始，分别向左、右按开始，分别向左、右按每三位每三位分为

15、一组，每组就对应一位八进制数，组合分为一组，每组就对应一位八进制数，组合后即得到转换的八进制数。后即得到转换的八进制数。八进制数八进制数二进制数二进制数 把把每位八进制数每位八进制数写成写成等值的三位二进制数等值的三位二进制数，即得到二进制数。即得到二进制数。 1.1.4 数制间的转换数制间的转换例：将例：将1011011.10101111011011.10101112 2转换为八进制数。转换为八进制数。解：解：1 011 011.101 011 1 1011011.10101112=133.53480000. 1334 351.1.4 数制间的转换数制间的转换例：将八进制数例：将八进制数27

16、48转换成二进制数。转换成二进制数。解：解： 2748=1011110022 7 41000101111.1.4 数制间的转换数制间的转换二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与十六进制数之间的转换二进制数二进制数十六进制数十六进制数 将二进制数从将二进制数从小数点小数点处开始，分别向左、右处开始，分别向左、右按按每四位每四位分为一组，每组用相应的十六进制分为一组，每组用相应的十六进制数表示，组合后可得到相应的十六进制数。数表示，组合后可得到相应的十六进制数。 十六进制数十六进制数二进制数二进制数 把把每位十六进制数每位十六进制数写成写成等值的四位二进制等值的四位二进制数数。1.1.4 数制间

17、的转换数制间的转换例：将例：将10101111.00010110112转换成十六进转换成十六进制数。制数。 解：解： 10101111.00010110112=AF.16C161010 1111 . 0001 0110 1100 . AF16C1.2常用编码常用编码编码：编码：是指用文字、符号、数码等表示某种是指用文字、符号、数码等表示某种信息的过程。信息的过程。数字系统中处理、存储、传输的都是数字系统中处理、存储、传输的都是二进制二进制代码代码0和和1，因而对于来自数字系统，因而对于来自数字系统外部的信外部的信息息，必须用二进制代码，必须用二进制代码0和和1表示。表示。二进制编码二进制编码：

18、给每个：给每个外部信息外部信息按一定规律赋按一定规律赋予予二进制代码二进制代码的过程。或者说，用二进制代的过程。或者说，用二进制代码表示有关对象（信号）的过程。码表示有关对象（信号）的过程。 1.2.1二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码） 用四位二进制代码表示一位十进制数的编码用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方式。方式。BCD码的本质是码的本质是十进制十进制，其表现形式为二，其表现形式为二进制代码。进制代码。如果如果任取任取四位二进制代码四位二进制代码十六种组合的其中十六种组合的其中十种十种，并按不同的次序排列，则可得到多种，并按不同的次序排列，则可得到多种不同的编码。不同的编码。

19、常用的几种常用的几种BCD码列于表码列于表1-1中。中。 无权码无权码542124212421无权码无权码8421权权0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010

20、123456789余余3循环码循环码5421码码2421码码(B)2421码码(A)余余3码码8421码码十进制十进制表表1-1 常用的几种常用的几种BCD码码种类种类1.2.1 十进制编码十进制编码【例例】 将十进制数将十进制数1987.35转换成转换成BCD码。码。解：解：(1987.35)10(0001 1001 1000 0111 . 0011 0101)BCD1.2.1 十进制编码十进制编码2. 余余3码码余余3码也是用四位二进码也是用四位二进制数表示一位十进制数，制数表示一位十进制数，但对于同样的十进制数但对于同样的十进制数字，其表示比字，其表示比8421码码多多0011，所以叫余

21、，所以叫余3码。码。余余3码没有固定的权。码没有固定的权。但余但余3码是一种对码是一种对9的自的自补码，即将一个余补码，即将一个余3码码按位变反，可得到其对按位变反，可得到其对9的补码，这在某些场的补码，这在某些场合是十分有用的。合是十分有用的。十进制数十进制数8421码码余余3码码0000000111000101002001001013001101104010001115010110006011010017011110108100010119100111001.2.2循环码循环码 循 环 码 是 格 雷循 环 码 是 格 雷码码特 点特 点 ： 任 意 两： 任 意 两组组 相 邻 码相 邻

22、 码 之 间之 间只有只有一位一位不同。不同。又称作反射码又称作反射码有 固 定 的 循 环有 固 定 的 循 环周期周期0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 0循循 环环 码码01234567十进制数十进制数表表1-2 四位循环码四位循环码1 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0循循 环环 码码89101112131415十进制数十进制数1.2.3 ASCII码码 ASCII是是American National Standard Code for

23、Information Interchange美国国家信息美国国家信息交换标准代码的简称。常用于通讯设备和计交换标准代码的简称。常用于通讯设备和计算机中。算机中。它是一组它是一组八位二进制代码八位二进制代码，用，用低七位低七位二进制二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位第八位作奇偶校验位（在机中常为作奇偶校验位（在机中常为0）。）。如表如表1-3所示（参见所示（参见P5表表1-3）。）。表表1-3 ASCII码码DELo_O?/USSI1111nN.RSSO1110mM=-GSCR1101|lL,FSFF1100kK;+ESCVT(home

24、)1011zjZJ:*SUBLF(line feed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001pP0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001001b4b3b2b1b7b6b5 ASCII码分为两类：码分为两类：一类是字符编一类是字符编码，这类编码码，这类编码代表的字符可代表的字符可以

25、显示打印；以显示打印；另一类编码是另一类编码是控制字符编码，控制字符编码，每个都有特定每个都有特定的含义，起一的含义，起一个控制功能。个控制功能。1.3 二极管和三极管的开关特性二极管和三极管的开关特性1.3.1 二极管的开关特性二极管的开关特性（一）（一） 二极管导通条件及导通时的特点：二极管导通条件及导通时的特点： 正向电压正向电压VF0.7V（二）（二） 二极管截止条件及截止时二极管截止条件及截止时 的特点：的特点：VF0.5V（硅管）（硅管）如图所示如图所示在在t1时刻输入电压由时刻输入电压由+VF跳变到跳变到-VR,会出现很大会出现很大的反向电流的原因是的反向电流的原因是电电荷存储效

26、应荷存储效应。（a）二极管电路）二极管电路（b）输入电压波形）输入电压波形（c）理想电流波形）理想电流波形（d）实际电流波形）实际电流波形产生反向恢复时间产生反向恢复时间tre的的原因原因如图如图1-2所示所示反向恢复时间反向恢复时间tre为纳秒数量为纳秒数量级，级， tre值愈小，开关速度愈值愈小，开关速度愈快，允许信号频率愈高。快，允许信号频率愈高。（三）（三） 二极管反向恢复时间二极管反向恢复时间tre1.3.2 三极管的开关特性三极管的开关特性（一）截止、饱和的条件（一）截止、饱和的条件截止：截止：VBE 0V（0.5V）饱和：饱和：IBIBS临界饱和：临界饱和：VCE=VBE此时：此

27、时：ICS=（VCC-0.3）/RC VCC/RC一般一般VCES=0.10.3V（二）三极管的开关时间（二）三极管的开关时间开启时间：开启时间：ton=td+tr延迟时间：延迟时间：td上升时间：上升时间：tr关闭时间：关闭时间：tof=ts+tf存储时间：存储时间：ts下降时间：下降时间：tf一般地一般地tofton，ts tf并且开关时间为纳秒数量极并且开关时间为纳秒数量极图1-4 三极管的开关时间1.4 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具工具。本节讨论本节讨论：逻辑变量、逻辑函数、基逻辑变量、逻辑函数、基本本逻辑逻辑

28、运算和逻辑代数公式运算和逻辑代数公式，以及化简逻辑函数的以及化简逻辑函数的两种方法两种方法公式法和卡诺图法公式法和卡诺图法。1.4 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数是表示逻辑变量之间的逻辑关系。逻辑代数是表示逻辑变量之间的逻辑关系。数字电路是研究逻辑的数字电路是研究逻辑的。引进逻辑变量、逻辑函数两个术语。引进逻辑变量、逻辑函数两个术语。具有逻辑属性的变量具有逻辑属性的变量逻辑变量逻辑变量ABFF=f（ A， B）逻辑电路中的几个问题逻辑电路中的几个问题逻辑值的概念逻辑值的概念在数字系统中，通常用在数字系统中，通常用逻辑真逻辑真和和逻辑假逻辑假状态状态来区分事物的来区分事物的两种对立两种对立的状

29、态。的状态。逻辑真状态用逻辑真状态用1 1表示；逻辑假状态用表示；逻辑假状态用0 0来表示。来表示。1 1和和0 0分别叫做逻辑真、假状态的值。分别叫做逻辑真、假状态的值。0 0、1 1只有逻辑上的含义，已不表示数量上的只有逻辑上的含义，已不表示数量上的大小。大小。高、低电平的概念高、低电平的概念把把两个不同范围两个不同范围的电位的电位与与逻辑真、假逻辑真、假两个逻辑两个逻辑状态对应。状态对应。这两个不同范围的电位这两个不同范围的电位称作称作逻辑电平逻辑电平把其中一个相对电位较把其中一个相对电位较高者称为高者称为逻辑高电平逻辑高电平，简称高电平，用简称高电平，用H表示。表示。而相对较低者称为而

30、相对较低者称为逻辑逻辑低电平低电平，简称低电平，简称低电平，用用L表示。表示。上限值上限值下限值下限值上限值上限值下限值下限值4V1.8V0.8V0V高电平高电平H低电平低电平L状态赋值和正、负逻辑的概念状态赋值和正、负逻辑的概念状态赋值：状态赋值：数字电路中，经常用符号数字电路中，经常用符号1和和0表表示高电平和低电平。示高电平和低电平。 把把用符号用符号1、0表示输入、输出电平高低的过表示输入、输出电平高低的过程叫做状态赋值程叫做状态赋值。正逻辑：正逻辑：在状态赋值时，如果用在状态赋值时，如果用1表示高电表示高电平，用平，用0表示低电平，则称为正逻辑赋值，表示低电平，则称为正逻辑赋值，简称

31、正逻辑。简称正逻辑。负逻辑：负逻辑：在状态赋值时，如果用在状态赋值时，如果用0表示高电表示高电平，用平，用1表示低电平，则称为负逻辑赋值，表示低电平，则称为负逻辑赋值，简称负逻辑。简称负逻辑。 基本逻辑运算和基本逻辑门基本逻辑运算和基本逻辑门 基本逻辑运算有：基本逻辑运算有：逻辑与、逻辑或和逻辑逻辑与、逻辑或和逻辑非。非。实现这三种逻辑运算的电路，称作实现这三种逻辑运算的电路，称作基本逻基本逻辑门辑门。 逻辑与（乘）运算逻辑与（乘）运算只有决定一件事情的只有决定一件事情的全部条件具备全部条件具备之后，之后，结果才能发生结果才能发生，这种因果关系为，这种因果关系为“逻辑与逻辑与”或或“逻辑乘逻辑

32、乘”。逻辑与（乘）运算逻辑与（乘）运算如图如图1-7示照明电路，开关示照明电路，开关A、B合上作为合上作为条件，灯亮为结果，只有两个开关全合上条件，灯亮为结果，只有两个开关全合上时，灯才会亮，否则灯不亮。灯和开关之时，灯才会亮，否则灯不亮。灯和开关之间符合与逻辑关系。间符合与逻辑关系。 图图1-7 与逻辑电路与逻辑电路EABFA B0 00 11 01 1F0001表表1-5 真值表真值表逻辑符号逻辑符号FAB(b)AB(a)FFAB&(c)逻辑与（乘）运算逻辑与（乘）运算逻辑真值表逻辑真值表（Truth Table）：经过状态赋）：经过状态赋值之后所得到的由文字和符号值之后所得到的由

33、文字和符号0、1组成的，组成的，用于描述用于描述输入和输出的所有状态输入和输出的所有状态的表格。的表格。简称简称真值表真值表。逻辑与的逻辑关系表达式写成逻辑与的逻辑关系表达式写成 F=AB与逻辑功能可记成：与逻辑功能可记成：“有有0为为0，全，全1为为1”与运算规则：与运算规则：00=0； 01=0； 10=0； 11=1A0=0； A1=A； 0A=0； 1A=A逻辑或（加）运算逻辑或（加）运算决定一件事情的几个条件中，只要有决定一件事情的几个条件中，只要有一个一个或一个以上或一个以上条件具备，结果就会发生，这条件具备，结果就会发生，这种因果关系称为种因果关系称为“或逻辑或逻辑”，也称，也称

34、“逻辑逻辑加加”。逻辑或（加）运算逻辑或（加）运算图图1-8为两个开关并联的照明电路。只要为两个开关并联的照明电路。只要有一个或一个以上（二个）开关闭合，灯有一个或一个以上（二个）开关闭合，灯就会亮。只有开关都断开时，灯灭。灯亮就会亮。只有开关都断开时，灯灭。灯亮和开关之间的关系是和开关之间的关系是“或逻辑或逻辑”关系。关系。EABF图图 1 - 8 或 逻 辑 电 路或 逻 辑 电 路（参见（参见P10图图1-8）ABF(c)1ABF(a)+ABF(b)逻辑符号逻辑符号A B0 00 11 01 1F0111表表1-6 真值表真值表逻辑或（加）运算逻辑或（加）运算逻辑或的逻辑关系表达式逻辑或

35、的逻辑关系表达式 F=A+B读作读作F等于等于A逻辑加逻辑加B。或逻辑功能可记成或逻辑功能可记成“有有1为为1，全，全0为为0”。由真值表看出由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，从而推出，从而推出A+0=A；A+1=1；A+A=A。或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，可见它和算术加有很大区别。可见它和算术加有很大区别。在逻辑加中在逻辑加中1+1=1，1+1+ +1=1。 逻辑非运算逻辑非运算条件具备条件具备时时结果不发生结果不发生，条件不具备时结，条件不具备时结果反而发生，这种因果关系是逻辑非。非果反而发生，这种因果关系是逻辑非。非也

36、称为取反。也称为取反。逻辑非运算逻辑非运算图图1-9非逻辑电路非逻辑电路EARFA01F10表表1-7 真值表真值表AF1(c)AF(a)AF(b)逻辑图逻辑图如图如图1-9示照明电路，开关示照明电路，开关A合上时灯灭；合上时灯灭；开关开关A断开时灯亮。开关合上这一条件具备断开时灯亮。开关合上这一条件具备时灯亮这一结果不发生。满足非逻辑关系。时灯亮这一结果不发生。满足非逻辑关系。同样可列出以同样可列出以0和和1表示表示A和和F之间的逻辑关之间的逻辑关系的真值表。系的真值表。逻辑非运算逻辑非运算逻辑非的逻辑表达式写成逻辑非的逻辑表达式写成 AF 10 01 AA 0 AA1 AA 复合逻辑运算复

37、合逻辑运算 与、或、非为三种基本逻辑运算。与、或、非为三种基本逻辑运算。实际逻辑问题要比与、或、非复杂得多，实际逻辑问题要比与、或、非复杂得多，但都可以用简单的与、或、非逻辑组合来但都可以用简单的与、或、非逻辑组合来实现。从而构成实现。从而构成复合逻辑复合逻辑。复合逻辑复合逻辑常见的有与非、或非、异或、同常见的有与非、或非、异或、同(或或)运算等。运算等。复合逻辑运算复合逻辑运算 ABF BAF CDABF BABABAF BABAF =A B 逻辑符号如下图，其中第一行为惯用符号；逻辑符号如下图，其中第一行为惯用符号；第二行为国标符号；第三行为国外常用符号。第二行为国标符号；第三行为国外常用

38、符号。逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式基本公式AA100 A0 AAAAAABBAABAA)(AA )()(CBACBAACABCBA)(BABA01AA011A1 AAAAAABBAAABA)()(CBACBA)(CABABCABABA10 AA01 AA0 AAABBA)()(CBACBAACABCBA)(BABAAB AA1=A B=自等律自等律说明说明公公 式式求反律求反律反演律反演律分配律分配律结合律结合律还原律还原律吸收律吸收律交换律交换律重迭律重迭律互补律互补律01律律基本公式基本公式上述基本公式可用真值表进行证明。如上述基本公式可用真值表进行证

39、明。如证明反演律证明反演律 BABA 可将变量：可将变量：A、B的各种取值组合分别代入等式，的各种取值组合分别代入等式，等号两边的逻辑值完全对应相等，则说明该公式成等号两边的逻辑值完全对应相等，则说明该公式成立。立。1001100110001000111011101 11 00 10 00 00 11 01 1AB+ABA BA BA+BA+BABA BA B逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则代入规则代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则则等式仍然

40、成立。这个规则叫代入规则 。例如：等式例如：等式BABA 若用若用F=AC代替代替A，则根据代入规则，等，则根据代入规则，等式仍成立，即式仍成立，即CBABCABCA利用代入规则，可以将基本公式推广为利用代入规则，可以将基本公式推广为多变量的形式，扩大公式的使用范围多变量的形式，扩大公式的使用范围 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则反演规则反演规则 将逻辑表达式中所有将逻辑表达式中所有 变变+，+变成变成 1变成变成0，0变成变成1 原变量原变量变成变成反变量反变量 反变量反变量变成变成原变量原变量即得到原逻辑函数的反函数。即得到原逻辑函数的反函数。反演规则反演规则常用于常用于从已知原函数求

41、出其反从已知原函数求出其反函数。函数。逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则利用反演规则时须注意以下两点：利用反演规则时须注意以下两点： 仍需遵守仍需遵守“先括号，然后乘，最后加先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。的运算顺序。 不属于单个变量上的长非号，在利用不属于单个变量上的长非号，在利用反演规则时应保持不变，而长非号下的反演规则时应保持不变，而长非号下的变量及变量及和号符号仍按反演规则处理。和号符号仍按反演规则处理。德德摩根定理摩根定理实际上是反演规则的一个特实际上是反演规则的一个特例。例。 BAF BAF BAF 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则例：例：CDCBAF CDCBAF )(

42、EDCBAF )(EDCBAF )(逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则对偶规则对偶规则 将逻辑函数将逻辑函数F中的中的“”换成换成“”，“”换成换成“”，“”换成换成“”，“”换换成成“”，即可求得，即可求得F的对偶式的对偶式F。若两。若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等；个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等；反之亦然。反之亦然。 例：求下列逻辑函数的对偶式：例：求下列逻辑函数的对偶式： )(1CBAF CDABF 2DCABF 3BCAF 1)(2DCBAF CDBAF)(3 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则若证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶若证明两个逻辑式相等，可以通过

43、证明它们的对偶式相等来完成。式相等来完成。例：证明例：证明A+BC=(A+B)(A+C)证明：先写出等式两边的对偶式证明：先写出等式两边的对偶式等式等式左边左边=A(B+C) 等式等式右边右边=AB+AC根据根据分配律分配律A(B+C)=AB+AC知对偶式相等，由对偶知对偶式相等，由对偶规则知规则知A+BC=(A+B)(A+C)使用对偶规则时，同样使用对偶规则时，同样要注意运算的优先级别要注意运算的优先级别；正；正确使用括号；确使用括号；原式中的长非号，短非号均不变。原式中的长非号，短非号均不变。若干常用公式若干常用公式 利用基本公式不难证明下列各式也是正确的，利用基本公式不难证明下列各式也是

44、正确的，直接运用这些公式，可以给化简带来很大方便。直接运用这些公式，可以给化简带来很大方便。ABAABBABAAAABABCCAABCAABBCDCAABCAABBAABBABABA),.0 , 1 (),.,(zxfzxxxf),.1 , 0 (),.0 , 1 (),.,(zf xzxfzxxf表表1-15 若干常用公式若干常用公式添加律添加律 吸收律吸收律 合并律合并律=A B 若干常用公式若干常用公式 现将表中公式证明如下：现将表中公式证明如下： ABAABAABBABAAB1)(这个公式的含义这个公式的含义是当两个乘积项相加时，是当两个乘积项相加时，若它们分别包含若它们分别包含B和和

45、 两个因子，而其它两个因子，而其它因子相同，则两项定可合并，且能将因子相同，则两项定可合并，且能将B和和两个因子消掉。两个因子消掉。 BB若干常用公式若干常用公式 A+AB=AA+AB=A(1+B)=A1=A此式表明此式表明：两个乘积项相加，若其中一：两个乘积项相加，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的。项以另一项为因子，则该项是多余的。若干常用公式若干常用公式 结果说明结果说明：两个乘积项相加时，如果一：两个乘积项相加时，如果一项取反后，是另一项的因子，则此因子项取反后，是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。是多余的，可以消去。 BABAA BABABAAABAA )(1)(若干常

46、用公式若干常用公式 证明：证明：BCCAABCAAB BCCAABCABBACABAABCAAB )()(若干常用公式若干常用公式 逆证：逆证：BCCAABCAAB CAABBCACABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB )1 ()1 ()(该式说明：两个与项相加时，若它们分别该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含包含A和和 因子，则两项中的其余因子组因子，则两项中的其余因子组成可添加的第三个与项。其逆式也成立，成可添加的第三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时，若两项中分别有即三个与项相加时，若两项中分别有 和和A因子，而这两项的其余因子组成第三个因子，而这两项的其余因子组

47、成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。以消去。AA该公式的推论是：该公式的推论是： BCDCAABCAAB 若干常用公式若干常用公式 BAABBABA BAABBABABABABABA )(证明：证明：若干常用公式若干常用公式 例：例：),.0 , 1 (),.,(zxfzxxxf变量变量x和含有变量和含有变量x的逻辑函数相乘时，函数的逻辑函数相乘时，函数f中的中的x用用1代替，用代替，用0代替，依据是代替，依据是xx=x=x1；x =0=x0。xx)(EADACAABAF )()1 ()()(EBAAEABDAEABADEAEABDEDAAE

48、AABEADACAABAF nF=A1B+0C+(1+D)(0+E)=A(B+E)若干常用公式若干常用公式 ),.1 , 0(),.0 , 1 (),.,(zfxzxfzxxf例：例：GHAEDACAABF)()( )()()1 ()0(10)0()1 (01 )()(GDECAHGEBAGHEDCBAGHEDCBAGHAEDACAABF 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法逻辑函数逻辑函数数字电路研究的是输出变量和输入变量之数字电路研究的是输出变量和输入变量之间的逻辑关系。图间的逻辑关系。图1-11示出二输入、一输出示出二输入、一输出的数字电路框图。的数字电路框图。ABF=f(A,B)图图1

49、-11数字电路框图数字电路框图数字电路数字电路当输入变量当输入变量A、B取值为逻辑值取值为逻辑值0或或1时，输出时，输出F也只也只能是能是0或或1。 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法在处理逻辑问题时，可用多种方法来表示逻在处理逻辑问题时，可用多种方法来表示逻辑函数，其常用表示方法有真值表，逻辑表辑函数，其常用表示方法有真值表，逻辑表达式，卡诺图和逻辑图等。达式，卡诺图和逻辑图等。 真值表表示法真值表表示法 描述描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格对应关系的表格，称为真值表。，称为真值表。由于每一个输入变量有由于每一个输入变量有0、1两个取值，两

50、个取值，n个个输入变量有输入变量有2n个不同的取值组合个不同的取值组合，将输入，将输入变量的全部取值组合和相应的函数值一一变量的全部取值组合和相应的函数值一一列举出来，即可得到真值表。列举出来，即可得到真值表。通常输入变量的全部取值组合通常输入变量的全部取值组合按二进制顺按二进制顺序进行序进行，以防遗漏，并方便检查。，以防遗漏，并方便检查。 真值表表示法真值表表示法 把实际逻辑问题抽象为数学问题时把实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用，使用真值表很方便。真值表很方便。当变量较多时当变量较多时，为避免烦，为避免烦琐可只列出那些使函数值为琐可只列出那些使函数值为1的的输入变量的的输入变量取值组合。取

51、值组合。例：三人就某一提议进行表决，试列出表例：三人就某一提议进行表决，试列出表决结果的真值表。决结果的真值表。 真值表表示法真值表表示法 解：设输入变量解：设输入变量A、B、C代表三人，代表三人，F代表表决代表表决结果，两人以上同意者结果，两人以上同意者为为1（表示通过），否则（表示通过），否则为为0。A、B、C：同意为：同意为1，不，不同意为同意为0。F：通过为：通过为1，不通过为，不通过为0。则真值表为：则真值表为： 000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1FA B C表表1-16 表决逻辑真值表表决逻辑真值表函数表达式表示法函数表

52、达式表示法 用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子，叫做函数表达式。辑关系的代数式子，叫做函数表达式。由真值表求函数表达式最方便。由真值表求函数表达式最方便。方法方法:(1)找出使函数值为找出使函数值为1 1的变量取值组合的变量取值组合; (2)变量值为变量值为1 1的写成原变量，为的写成原变量，为0 0的写成反变量的写成反变量; (3)函数值为函数值为1 1的每一个组合写出一个乘积项的每一个组合写出一个乘积项; (4)把乘积项加起来把乘积项加起来; -得到原函数的标准与或式。得到原函数的标准与或式。把函数值为把函数值为0 0的对应

53、乘积项相加，则得反函数。的对应乘积项相加，则得反函数。函数表达式表示法函数表达式表示法 例：写出表决逻辑的原函数和反函数的标准例：写出表决逻辑的原函数和反函数的标准与或式。与或式。解解 ：ABCCABCBABCAFCBACBACBACBAF000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1FA B C表表1-16 表决逻辑真值表表决逻辑真值表函数表达式表示法函数表达式表示法 优点：优点：简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量之间的逻辑关系。个变量之间的逻辑关系。便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、便于利用逻

54、辑代数的公式和定理进行运算、变换。变换。便于利用逻辑图实现函数。便于利用逻辑图实现函数。缺点：缺点：难以直接从变量取值看出函数的值，不如真难以直接从变量取值看出函数的值，不如真值表直观。值表直观。逻辑图表示法逻辑图表示法 把函数表达式所表示的逻辑关系用逻辑符号把函数表达式所表示的逻辑关系用逻辑符号表示出来而得到的电路图，称表示出来而得到的电路图，称逻辑图逻辑图。逻辑逻辑图只反映电路的逻辑功能。图只反映电路的逻辑功能。一般可根据逻辑表达式画逻辑图。一般可根据逻辑表达式画逻辑图。 方法方法是把逻辑表达式中是把逻辑表达式中相应的相应的运算运算用用门电路门电路的符号来代替。的符号来代替。逻辑图表示法逻

55、辑图表示法 例：将例：将F=AB+BC+CA画成逻辑图。如表决画成逻辑图。如表决逻辑图所示。逻辑图所示。1ABCF表决逻辑逻辑图表决逻辑逻辑图&卡诺图表示法卡诺图表示法 卡诺图卡诺图（Karnaugh Map）是逻辑函数的一种图形）是逻辑函数的一种图形表示方法。表示方法。卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系。量之间的逻辑关系。卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下的输出函数值一一表达出来。的输出函数值一一表达出来。AB0101A B F0 00 11 01 1图图1-13 二变

56、量卡诺图与相应真值表对应关系二变量卡诺图与相应真值表对应关系逻辑函数化简逻辑函数化简 化简的目的：化简的目的：使逻辑函数表达式简单（逻辑使逻辑函数表达式简单（逻辑图简单）以达到所用元件也少图简单）以达到所用元件也少, 提高可靠性提高可靠性的目的。的目的。逻辑函数表达式不是唯一的。逻辑函数表达式不是唯一的。逻辑函数化简逻辑函数化简 )()()()()()()()(BABABABABABABABABABABABABAABBAABF或或-与表达式与表达式或或-与非表达式与非表达式与与-或或-非表达式非表达式或非或非-或表达式或表达式与非与非-与表达式与表达式与或表达式与或表达式或非或非-或非表达式或

57、非表达式与非与非-与非表达式与非表达式逻辑函数化简逻辑函数化简 逻辑函数的代数（公式）化简法逻辑函数的代数（公式）化简法 公式公式化简法：化简法：使用基本公式和常用公式，以使用基本公式和常用公式，以求得函数的最简式。求得函数的最简式。逻辑函数化简逻辑函数化简 吸收法吸收法：根据：根据公式公式A+AB=A可将可将AB项消项消去，去，A和和B同样也可以是任何一个复杂的逻同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。辑式。 BCDCBABCAAF )(例：化简例：化简BCADCBABCABCABCDCBABCAABCDCBABCAAF )()()()(解解:将将A+BC看成一项看成一项 逻辑函数化简逻辑函数化简

58、 消去法消去法：EBABAF1利用公式利用公式 可将可将 中的因中的因子子 消去。消去。A、B均可是任何复杂的逻辑式。均可是任何复杂的逻辑式。BABAABAA例：例： CDBAABCDBABAF2EBAEBBACDBAABBABA)(CDBABACDBABABABA逻辑函数化简逻辑函数化简 合并项法合并项法BCBCAA)(1 AA利用公式利用公式 可以把两项合并为一可以把两项合并为一项，并消去一个变量。项，并消去一个变量。例：例：BCBCAABCF11BCBC逻辑函数化简逻辑函数化简 合并项法合并项法CBACABCBAABC例：例：)()(2CBCBACBBCAFABAABCCBACCAB)(

59、)(逻辑函数化简逻辑函数化简 配项法配项法例：例：CBCBBABAF1将式中的某一项乘以将式中的某一项乘以 或加或加 ，AA然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。AACBAACBCCBABA)()(CBACBACBCBABCABACACBBABBCAACBCBACBABCACBACBCBABA)()1 ()1 ()()()(逻辑函数化简逻辑函数化简 配项法配项法例：例：ABABCCABF2将式中的某一项乘以将式中的某一项乘以 或加或加 ，AA然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。AAABABABABCCABAB

60、ABCABCAB)(ABCABABCABCAB逻辑函数化简逻辑函数化简 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法用卡诺图化简逻辑函数是一种简便直观、容易掌用卡诺图化简逻辑函数是一种简便直观、容易掌握、行之有效的方法。在数字逻辑电路设计中得握、行之有效的方法。在数字逻辑电路设计中得到广泛应用。到广泛应用。 一个一个逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图就是将此函数最小项表达就是将此函数最小项表达式中各个最小项相应地填入一个特定的方格图内式中各个最小项相应地填入一个特定的方格图内,此方格图称为此方格图称为卡诺图卡诺图。逻辑函数化简逻辑函数化简 最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式最小项最小项 在有在有n个逻辑变量的逻