学案导数及其应用

1、1.1.了解导数的实际背景了解导数的实际背景, ,理解导数的几何意义理解导数的几何意义, ,熟记导熟记导 数基本公式数基本公式, ,掌握导数基本运算掌握导数基本运算. .2.2.能利用导数确定函数单调性能利用导数确定函数单调性, ,求单调区间求单调区间, ,求函数的求函数的 极值和最值极值和最值. .3.3.能利用导数解决实际问题能利用导数解决实际问题. .4.4.了解定积分基本定理的含义了解定积分基本定理的含义, ,会求简单的定积分会求简单的定积分. . 学案学案9 9 导数及其应用导数及其应用 1.1.函数函数f f( (x x)=()=(x x-3)e-3)ex x的单调递增区间是的单调

2、递增区间是 ( )( ) A.(-,2) B.(0,3) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) C.(1,4) D.(2,+)解析解析 f f(x x)=()=(x x-3)e-3)ex x+(+(x x-3)(e-3)(ex x) =( =(x x-2)e-2)ex x, ,令令f f(x x) )0,0,解得解得x x2. 2. D D2.2.设设a ab b, ,函数函数y y=(=(x x- -a a) )2 2( (x x- -b b) )的图象可能是的图象可能是 （ ）解析解析 y y=(=(x x- -a a)(3)(3x x-2-2b b- -a a)

3、,),由由y y=0,=0, 得得x x= =a a或或 当当x x= =a a时，时，y y取极大值取极大值0 0， 当当 时时, ,y y取极小值且极小值为负取极小值且极小值为负. . 或当或当x xb b时时, ,y y0,0,当当x xb b时时，y y0. 0. ,32abx32abxC C3.(20093.(2009江西江西) )设函数设函数f f( (x x)=)=g g( (x x)+)+x x2 2, ,曲线曲线y y= =g g( (x x) )在点在点 (1,(1,g g(1)(1)处的切线方程为处的切线方程为y y=2=2x x+1,+1,则曲线则曲线y y= =f f

4、( (x x) )在点在点 (1,(1,f f(1)(1)处切线的斜率为处切线的斜率为 ( )( ) A.4 B. C.2 D. A.4 B. C.2 D.解析解析 由已知由已知g g(1)=2,(1)=2,而而f f(x x)=)=g g(x x)+2)+2x x, , 所以所以f f(1)=(1)=g g(1)+2(1)+21=4. 1=4. 4121A A4.4.已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c的导数为的导数为f f(x x),),f f(0)(0) 0,0,对于任意实数对于任意实数x x, ,都有都有f f( (x x)0,)0

5、,则则 的最小值的最小值 为为 ( )( ) A.3 B. C.2 D. A.3 B. C.2 D.解析解析 因为因为f f(x x)=2)=2axax+ +b b, , 依题意依题意, ,有有 可得可得c c0,0,)0( ) 1 (ff2523,04002acbab.2142121)0( ) 1 (2acacbacbcbabcbaffC C题型一题型一 曲线的切线与函数的单调区间问题曲线的切线与函数的单调区间问题【例【例1 1】(2009(2009全国全国)已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x4 4-3-3x x2 2+6.+6. (1) (1)讨论讨论f f( (x x) )

6、的单调性；的单调性； (2)(2)设点设点P P在曲线在曲线y y= =f f( (x x) )上上, ,若该曲线在点若该曲线在点P P处的切线处的切线l l 通过坐标原点，求通过坐标原点，求l l的方程的方程. .解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3-6-6x x=4=4x x( (x x+ )(+ )(x x- )- ) 当当x x(-, )(-, )和和x x(0, )(0, )时时, ,f f(x x) )0;0; 当当x x( ,0)( ,0)和和x x( ,+)( ,+)时时, ,f f(x x) )0.0. 因此因此, ,f f( (x x) )在区间在区间(

7、-, )(-, )和和(0, )(0, )上是减函数上是减函数, , f f( (x x) )在区间在区间( ,0)( ,0)和和( ,+)( ,+)上是增函数上是增函数. .26262626262626262626(2)(2)设点设点P P的坐标为的坐标为( (x x0 0, ,f f( (x x0 0),),由由l l过原点知，过原点知， l l的方程为的方程为y y= =f f(x x0 0) )x x， 因此因此f f( (x x0 0)=)=x x0 0f f(x x0 0) )， 因此切线因此切线l l的方程为的方程为. 22,0)2)(1(.0)64(63002020030020

8、40 xxxxxxxxx或解得整理得即.2222xyxy或【探究拓展探究拓展】一般地】一般地, ,涉及到函数的单调区间及求曲涉及到函数的单调区间及求曲 线在某点处的切线问题线在某点处的切线问题, ,往往借助于导数这一重要工往往借助于导数这一重要工 具求解具求解, ,通过判断导函数的符号通过判断导函数的符号, ,确定函数的单调区确定函数的单调区 间间, ,通过求出函数在某点处的导函数值通过求出函数在某点处的导函数值, ,确定曲线在确定曲线在 此点处切线的斜率，进而求出切线方程此点处切线的斜率，进而求出切线方程. . 变式训练变式训练1 (20091 (2009安徽安徽) )已知函数已知函数f f

9、( (x x)=)=x x- +- +a a(2-(2- ln ln x x),),a a0,0,讨论讨论f f( (x x) )的单调性的单调性. .解解f f( (x x) )的定义域是的定义域是(0,+),(0,+), 设设g g( (x x)=)=x x2 2- -axax+2,+2,二次方程二次方程g g( (x x)=0)=0的判别式的判别式=a a2 2-8. -8. 当当=a a2 2-8-80,0,即即0 0a a 时，时， 对一切对一切x x0 0都有都有f f(x x) )0,0,此时此时f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是上是 增函数增函数. . 当当=

10、a a2 2-8=0,-8=0,即即a a= = 时，时， 仅对仅对x x = = 有有f f(x x)=0)=0， 对其余的对其余的x x0 0都有都有f f(x x) )0 0， 此时此时f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上也是增函数上也是增函数. . .221)( 222xaxxxaxxf22222当当=a a2 2-8-80,0,即即a a时，时，方程方程g g( (x x)=0)=0有两个不同的实根有两个不同的实根此时此时f f( (x x）在）在(0, )(0, )上单调递增，上单调递增，在在( )( )上单调递减，上单调递减，在在( ,+)( ,+)上单调递增上单调

11、递增. . 22.0 ,28,28212221xxaaxaaxx x(0,(0,x x1 1) ) x x1 1( (x x1 1, ,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2,+),+)f f( (x x) ) + +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )单调递单调递增增极极大大单调递单调递减减极小极小单调递增单调递增282aa28,2822aaaa282aa题型二题型二 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题【例【例2 2】(2009(2009山东山东) )已知函数已知函数f f( (x x)= )= axax3 3+ +bxbx2 2+ +x x+3,+3,其其 中中

12、a a0.0. (1) (1)当当a a, ,b b满足什么条件时满足什么条件时, ,f f( (x x) )取得极值？取得极值？ (2)(2)已知已知a a0,0,且且f f( (x x) )在区间在区间(0,1(0,1上单调递增上单调递增, ,试用试用a a 表示出表示出b b的取值范围的取值范围. .解解 (1)(1)由已知得由已知得f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+1,+1, 令令f f(x x)=0,)=0,得得axax2 2+2+2bxbx+1=0,+1=0, f f( (x x) )要取得极值要取得极值, ,方程方程axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=

13、0必须有解，必须有解， 所以所以=4=4b b2 2-4-4a a0,0,即即b b2 2a a, , 此时方程此时方程axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=0的根为的根为31所以所以f f(x x)=)=a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2).).当当a a0 0时时, ,f f( (x x),),f f(x x) )随随x x的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以所以f f( (x x) )在在x x1 1, ,x x2 2处分别取得极大值和极小值处分别取得极大值和极小值. . ,2442,2442222221aabbaabbxaabbaabbxx

14、x(-,(-,x x1 1) )x x1 1( (x x1 1, ,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2,+),+)f f(x x) )+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )增函数增函数极大值极大值减函数减函数极小值极小值增函数增函数当当a a0 0时时，f f( (x x),),f f(x x) )随随x x的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以所以f f( (x x) )在在x x1 1, ,x x2 2处分别取得极大值和极小值处分别取得极大值和极小值. .综上，当综上，当a a, ,b b满足满足b b2 2 a a时，时，f f( (x x) )取得极值取

15、得极值. . x x(-,(-,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2, ,x x1 1) )x x1 1( (x x1 1,+),+)f f(x x) )- -0 0+ +0 0- -f f( (x x) )减函数减函数极小值极小值增函数增函数极大值极大值减函数减函数(2)(2)要使要使f f( (x x) )在区间在区间(0,1(0,1上单调递增，上单调递增，需使需使f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+10+10在在(0,1(0,1上恒成立上恒成立. . , 110 ,1),(11, 0)( ,2)1(212)( ,212)()212(, 1 , 0(,2122

16、22maxaaaxaxxgxxaaxaxgxaxxgxaxbxxaxb时当舍去或得令设所以恒成立即,21) 1 (,)(,1, 1 , 0(212)(, 1 , 0(0)( , 11,10.)1(,)(,1,212)(, 0)( , 1 ,1(;212)(, 0)( ,)1, 0(agxgxxaxxgxgaaabaagxgaxxaxxgxgaxxaxxgxgax最大值为最大时当上单调递增在区间所以恒成立在区间此时时当所以最大值为取得最大时所以当单调减函数时当单调增函数时当【探究拓展探究拓展】求解函数的极值与最值问题常常利用求】求解函数的极值与最值问题常常利用求 导的方法来解决导的方法来解决,

17、,解决这类问题的一般方法是解决这类问题的一般方法是:(1):(1)分分 析得出函数的定义域；析得出函数的定义域；(2)(2)判断函数是否可导，如可判断函数是否可导，如可 导，则利用导函数求最值的方法进行求解导，则利用导函数求最值的方法进行求解, ,否则利用否则利用 函数性质求解；函数性质求解；(3)(3)如果一个函数在开区间内只有一如果一个函数在开区间内只有一 个极值点，那么它也是相应的最值点个极值点，那么它也是相应的最值点. . .21,10;,1,21abaabaab时当时当综上所以变式训练变式训练2 2 设关于设关于x x的方程的方程2 2x x2 2- -axax-2=0-2=0的两根

18、分别为的两根分别为 (1)(1)证明证明: :f f( (x x) )在区间在区间 上是增函数；上是增函数； (2)(2)当当a a为何值时为何值时, ,f f( (x x) )在区间在区间 上的最大值与最上的最大值与最 小值之差最小小值之差最小. . (1) (1)证明证明 由方程由方程2 2x x2 2- -axax-2=0-2=0的两根分别为的两根分别为 知知x x 时时,2,2x x2 2- -axax-2-20,0,所以此时所以此时f f(x x) )0,0, 所以所以f f( (x x) )在区间在区间 上是增函数上是增函数. . .14)(),(2xaxxf、函数),(,.) 1

19、()22(2)( 222xaxxxf)(、),(),(2)(2)解解 由由(1)(1)知在知在 上上, ,f f( (x x) )是增函数是增函数. .则则f f( (x x) )在区间在区间 的最小值为的最小值为 最大值为最大值为所以当所以当a a=0=0时时, ,f f( (x x) )在区间在区间 上的最大值与最小值之上的最大值与最小值之差最小，最小值为差最小，最小值为4. 4. ),(, )(f, )(f,161241)442(44)()(,44, 1,212)(44)()(1414)()(2222222222aaaaffaaaaaff可求得题型三题型三 导数与不等式导数与不等式【例【

20、例3 3】设函数】设函数f f( (x x)=)=x x4 4+ +axax3 3+2+2x x2 2+ +b b( (x xR R),),其中其中a a、 b bR.R. (1) (1)当当a a= = 时，讨论函数时，讨论函数f f( (x x) )的单调性；的单调性； (2)(2)若函数若函数f f( (x x) )仅在仅在x x=0=0处有极值处有极值, ,求求a a的取值范的取值范 围；围； (3)(3)若对于任意的若对于任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f( (x x)1)1在在 -1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,求求b b的取值范围的取值范围. .310【解题示

21、范解题示范】解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3+3+3axax2 2+4+4x x= =x x(4(4x x2 2+3+3axax+4). +4). f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2-10-10 x x+4)=2+4)=2x x(2(2x x-1)(-1)(x x-2).-2). 令令f f(x x)=0,)=0,解得解得 x x1 1=0, =0, x x2 2= ,= ,x x3 3=2.=2.当当x x变化时，变化时，f f(x x),),f f( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以所以f f( (x x) )在在(0, ),(2

22、(0, ),(2，+）内是增函数，）内是增函数，在（在（-,0),( ,2)-,0),( ,2)内是减函数内是减函数. . 212121x x(-,(-,0 0)0 02 2(2,(2,+ +)f f(x x) )- -0 0+ +0 0- -0 0+ +f f(x x)极小极小值值极大极大值值极小极小值值，a时当310)21, 0(21)2 ,21(（2 2）f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4),+4),显然显然x x=0=0不是方程不是方程 4 4x x2 2+3+3axax+4=0+4=0的根的根. . 为使为使f f( (x x) )仅在仅在x x=0

23、=0处有极值处有极值, ,必须有必须有4 4x x2 2+3+3axax+40+40恒成恒成 立，即有立，即有=9=9a a2 2-640. -640. 解此不等式，得解此不等式，得 这时，这时，f f(0)=(0)=b b是唯一极值是唯一极值. . 因此满足条件的因此满足条件的a a的取值范围是的取值范围是 . . 3838a38,38(3)(3)由条件由条件a a-2,2-2,2可知可知=9=9a a2 2-64-640,0,从而从而4 4x x2 2+3+3axax+4+40 0恒成立恒成立. .当当x x0 0时，时，f f(x x) )0 0；当；当x x0 0时，时，f f(x x

24、) )0.0.因此函数因此函数f f( (x x) )在在-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是f f(1)(1)与与f f(-1)(-1)两者两者中的较大者中的较大者. . 为使对任意的为使对任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f( (x x)1)1在在-1,1-1,1上上恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当所以所以b b-4, -4, 因此满足条件的因此满足条件的b b的取值范围是（的取值范围是（-，-4-4. . .2 , 2,22,1) 1(1) 1 (上恒成立在即aababff【探究拓展探究拓展】本小题主要考查了函数的单调性、导】本小题主要考查了函数的单调性、导 数、极大数

25、、极大( (小小) )值及不等式恒成立问题值及不等式恒成立问题, ,在解答这类问在解答这类问 题时题时, ,要注意利用导函数的符号判断单调性要注意利用导函数的符号判断单调性, ,切记切记, ,导导 函数的偶次重根不是极值点函数的偶次重根不是极值点，解答不等式恒成立问解答不等式恒成立问 题题, ,往往涉及函数的单调性，一定要判断出函数在所往往涉及函数的单调性，一定要判断出函数在所 给区间上的单调性，利用函数的单调性解题给区间上的单调性，利用函数的单调性解题, ,能大大能大大 简化解题过程，使解答变得简单明了简化解题过程，使解答变得简单明了. . 变式训练变式训练3 3 已知函数已知函数 ( (c

26、 c0 0且且c c1,1, k kR)R)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点. .其中一个其中一个 是是x x=-=-c c. . (1) (1)求函数求函数f f( (x x) )的另一个极值点；的另一个极值点； (2)(2)求函数求函数f f( (x x) )的极大值的极大值MM和极小值和极小值m m，并求，并求MM- -m m11 时时k k的取值范围的取值范围. .cxkxxf21)(解解 (1)(1) 由题意知由题意知f f(-(-c c)=0,)=0,即得即得c c2 2k k-2-2c c- -ckck=0.(=0.(* *) ) c c0,0,k k

27、0.0. 由由f f(x x)=0)=0得得- -kxkx2 2-2-2x x+ +ckck=0=0， 由韦达定理知另一个极值点为由韦达定理知另一个极值点为x x=1=1 (2) (2)由由( (* *) )式得式得 当当c c1 1时时, ,k k0;0;当当0 0c c1 1时时, ,k k-2.-2. 当当k k0 0时时, ,f f( (x x) )在在(-,-(-,-c c) )和和(1,+)(1,+)内是减函数，内是减函数， 在在(-(-c c,1),1)内是增函数，内是增函数，222)() 1(2)()( cxkxxcxkxf222)(2cxckxkx. )2(kcx或.21,1

28、2kcck即当当k k-2-2时，时，f f( (x x) )在在(-,-(-,-c c) )和和(1,+)(1,+)内是增函数内是增函数, ,在在(-(-c c,1),1)内是减函数，内是减函数，综上可知综上可知, ,所求所求k k的取值范围为的取值范围为(-,-2) ,+). (-,-2) ,+). .2, 01)2(22,0)2(21)(, 0211) 1 (222kkkkkmMkkcckccfmkckfM解得及由.121) 1(12)2(2, 02) 1 (,0)2(2)(222恒成立kkkkkmMkfmkkcfM2【例【例4 4】(2009(2009江苏江苏) )设设a a为实数为实

29、数, ,函数函数f f( (x x)=2)=2x x2 2+ + ( (x x- -a a)|)|x x- -a a|.|. (1) (1)若若f f(0)1,(0)1,求求a a的取值范围；的取值范围； (2)(2)求求f f( (x x) )的最小值；的最小值； (3)(3)设函数设函数h h( (x x)=)=f f( (x x),),x x(a a,+),+),直接写出直接写出( (不需给不需给 出演算步骤出演算步骤) )不等式不等式h h( (x x)1)1的解集的解集. .解解 (1)(1)若若f f(0)1,(0)1,则则- -a a| |a a|1|1.1102aaa(2)(2

30、)记记f f( (x x) )的最小值为的最小值为g g( (a a),),则有则有f f( (x x)=2)=2x x2 2+(+(x x- -a a)|)|x x- -a a| | ()()当当a a00时时, ,f f(-(-a a)=-2)=-2a a2 2, ,由由知知f f( (x x)-2)-2a a2 2, , 此时此时g g( (a a)=-2)=-2a a2 2. .()()当当a a0 0时，时， 若若x xa a, ,则由则由知知f f( (x x) 若若x xa a, ,由由x x+ +a a22a a0,0,由由知知f f( (x x)2)2a a2 2 此时此时g

31、 g( (a a)=)= 综上，综上，.,2)(,32)3(32222axaaxaxaax.32)3(2aaf.322a;322a.322a. 0,32, 0,2)(22aaaaag【探究拓展探究拓展】本小题主要考查函数的概念、性质、图】本小题主要考查函数的概念、性质、图 象及解一元二次不等式等基础知识象及解一元二次不等式等基础知识, ,考查灵活运用数考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解 决问题的综合能力决问题的综合能力. . ).,323,)22,22);,323323,(,)22,26();,(,),2226,()3(22

32、2aaaaaaaaaaa解集为时当解集为时当解集为时当变式训练变式训练4 4 已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2- -a aln ln x x在在(1,2(1,2上是增函上是增函 数数, ,g g( (x x)=)=x x- - 在在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数. . (1) (1)求求f f( (x x) )、g g( (x x) )的表达式；的表达式； (2)(2)求证求证: :当当x x0 0时时, ,方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2)+2有唯一解；有唯一解； (3)(3)当当b b-1-1时时, ,f f( (x x)2)2bx

33、bx- - 在在x x(0,1(0,1内恒成立内恒成立, , 求求b b的取值范围的取值范围. .21xxa (1) (1)解解 f f(x x)=2)=2x x- - ， 依题意依题意f f(x x) )0,0,x x(1,2, (1,2, 即即a a2 2x x2 2, ,x x(1,2.(1,2. 上式恒成立，上式恒成立，a a2. 2. 又又g g(x x)=1- ,)=1- ,依题意依题意g g(x x) )0,0,x x(0,1),(0,1), 即即a a , ,x x(0,1).(0,1). 上式恒成立，上式恒成立，a a2. 2. 由由得得a a=2.=2. f f( (x x

34、)=)=x x2 2-2ln -2ln x x, ,g g( (x x)=)=x x- -xaxa2x2.2 x(2)(2)证明证明 由由(1)(1)可知可知, ,方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2,)+2, 令令h h(x x) )0,0,并由并由x x0 0，令令h h(x x) )0,0,由由x x0,0,解得解得0 0 x x1.1.列表分析：列表分析： .022ln22xxxx即,1122)( , 22ln2)(2xxxxhxxxxxh则设.1, 0)222)(1(xxxxxx解得得x x(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)h h ( (x x) )

35、- -0 0+ +h h( (x x) )递减递减0 0递增递增知知h h( (x x) )在在x x=1=1处有一个最小值处有一个最小值0,0,当当x x0 0且且x x11时时, ,h h( (x x) )0 0，h h( (x x)=0)=0在在(0,+)(0,+)上只有一个解上只有一个解. .即当即当x x0 0时时，方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2)+2有唯一解有唯一解. .(3)(3)解解所以所以b b的取值范围为的取值范围为-1-1b b1.1. , 1, 0121) 1 ()(, 1 , 0()(,02222)( min3bbxxxbxxx又上为减函数

36、在则,12ln2)(22xbxxxx设【考题再现】【考题再现】(2009(2009海南海南) )已知函数已知函数f f( (x x)=()=(x x3 3+3+3x x2 2+ +axax+ +b b)e)e- -x x. . (1) (1)若若a a= =b b=-3,=-3,求求f f( (x x) )的单调区间；的单调区间； (2)(2)若若f f( (x x) )在在 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减, ,证明证明: :【解题示范解题示范】 (1)(1)解解 当当a a= =b b=-3=-3时时, ,f f( (x x)=()=(x x3 3+3+3x x2 2-

37、3-3x x-3)e-3)e- -x x， 所以所以f f(x x)=-()=-(x x3 3+3+3x x2 2-3-3x x-3)e-3)e- -x x+(3+(3x x2 2+6+6x x-3)e-3)e- -x x =-e =-e- -x x( (x x3 3-9-9x x)=-)=-x x( (x x-3)(-3)(x x+3)e+3)e- -x x. . 2 2分分 当当x x-3-3或或0 0 x x3 3时时, ,f f(x x) )0 0；), 2(),(),(),2 ,(. 6当当-3-3x x0 0或或x x3 3时时, ,f f(x x) )0. 30. 3分分从而从而

38、f f( (x x) )在在(-,-3),(0,3)(-,-3),(0,3)上单调递增，上单调递增， 在在(-3,0),(3,+)(-3,0),(3,+)上单调递减上单调递减. . 4 4分分(2)(2)证明证明 f f( (x x)=-()=-(x x3 3+3+3x x2 2+ +axax+ +b b)e)e- -x x+(3+(3x x2 2+6+6x x+ +a a)e)e- -x x=-e=-e- -x x x x3 3+(+(a a-6)-6)x x+ +b b- -a a.由条件得由条件得: :f f(2)=0,(2)=0,即即2 23 3+2(+2(a a-6)+-6)+b b

39、- -a a=0,=0,故故b b=4-=4-a a, , 6 6分分从而从而f f(x x)=-e)=-e- -x x x x3 3+(+(a a-6)-6)x x+4-2+4-2a a. . 分所以因为8.)()2()()(2(24)6(, 0)( )( 33xxxxxxaxaxff将右边展开，与左边比较系数得，将右边展开，与左边比较系数得， 分于是分由此可得分即又所以12.611. 610. 04)(2, 0)2)(2(.4124)(. 2, 22aaa1.1.导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在 某点处切线的斜率某点处切线的斜率. .

40、2.2.对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的 单调性并进而确定单调区间单调性并进而确定单调区间, ,在求函数式中某些参变在求函数式中某些参变 量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号. .3.3.对于可导函数对于可导函数, ,在利用导数求函数极值时在利用导数求函数极值时, ,要注意极要注意极 值点处导函数为零值点处导函数为零, ,而导函数为零的点不一定是极值而导函数为零的点不一定是极值 点点, ,如如f f( (x x)=)=x x3 3, ,因为因为f f(x x)=3)=3x x2 2, ,所以

41、所以f f(0)=0,(0)=0,而在而在 x x=0=0的左右两侧的左右两侧f f(x x)=3)=3x x2 20 0，则原函数递增，所以，则原函数递增，所以 x x=0=0不是原函数极值点不是原函数极值点; ; 所所,331)(23xxxxf 以以f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2，则，则f f(1)=0(1)=0，而在，而在x x=1=1的左右两侧的左右两侧 f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 20 0，则原函数递增，则原函数递增, ,所以所以x x=1=1不是原函不是原函 数的极值点数的极值点. .由此可知导函数的偶次重根不是原函数由此可知导函数的偶次重根

42、不是原函数 的极值点的极值点. .导函数为零是函数取到极值的必要不充分导函数为零是函数取到极值的必要不充分 条件条件. .特别地，函数不可导点特别地，函数不可导点( (如尖点如尖点) )也可能是极值也可能是极值 点点. .4.4.要准确理解定积分概念，熟练利用定积分公式解答要准确理解定积分概念，熟练利用定积分公式解答 有关问题有关问题, ,特别是被积函数上、下限的确定以及对谁特别是被积函数上、下限的确定以及对谁 进行积分的选择也要灵活确定进行积分的选择也要灵活确定. . 一、选择题一、选择题1.1.设设P P为曲线为曲线C C：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上的点上的点, ,且

43、曲线且曲线C C在点在点P P处切处切 线倾斜角的取值范围是线倾斜角的取值范围是 则点则点P P横坐标的取值范横坐标的取值范 围为围为 ( )( ) A. B.-1,0 A. B.-1,0 C.0,1 D. C.0,1 D. 解析解析 y y= =x x2 2+2+2x x+3+3，y y=2=2x x+2.+2. 曲线在点曲线在点P P( (x x0 0, ,y y0 0) )处切线倾斜角的取值范围是处切线倾斜角的取值范围是 曲线在点曲线在点P P处的切线斜率处的切线斜率00k k1. 1. 02 02x x0 0+21,-1+21,-1x x0 0 . . , 4, 0, 4, 02121

44、, 1 1 ,21A A2.(20082.(2008全国全国)设曲线设曲线 在点在点(3,2)(3,2)处的切线处的切线 与直线与直线axax+ +y y+1=0+1=0垂直垂直, ,则则a a等于等于 ( )( ) A.2 B. C. D.-2 A.2 B. C. D.-2解析解析 曲线曲线 在点在点(3,2)(3,2)处的切线处的切线 斜率为斜率为k k= =y y|x x=3=3= .= . 由题意知由题意知axax+ +y y+1=0+1=0的斜率为的斜率为k k=2,=2,a a=-2. =-2. 11xxy212111xxy,12112111xxxxxy,) 1(22xy21D D

45、3.3.若函数若函数 则则f f( (x x) )在点在点 (0,(0,f f(0)(0)处切线的倾斜角为处切线的倾斜角为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由题意可知由题意可知f f(x x)=)=x x2 2+ +f f(1)(1)x x- -f f(2),(2), 令令x x=0,=0,得得f f(0)=-(0)=-f f(2),(2), 令令x x=1,=1,得得f f(2)=1,(2)=1,所以所以f f(0)=-1(0)=-1， ,3)2( ) 1 ( 2131)(23xfxfxxf433243.43, 1tan即D D4.(20084.(20

46、08湖北湖北) )若若f f( (x x)= )= x x2 2+ +b bln(ln(x x+2)+2)在在(-1,+)(-1,+)上上 是减函数是减函数, ,则则b b的取值范围是的取值范围是 ( )( ) A.-1,+) B.(-1,+) A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1 D.(-,-1) C.(-,-1 D.(-,-1)解析解析 由题意知由题意知 即即- -x x2 2-2-2x x+ +b b=-(=-(x x+1)+1)2 2+1+1+b b0.0. 1+ 1+b b0,0,b b-1. -1. 21, ), 1(, 02)( xxbxxf,022)( 2xbxxx

47、f即C C5.(20095.(2009安徽安徽) )已知函数已知函数f f( (x x) )在在R R上满足上满足f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x) ) - -x x2 2+8+8x x-8-8，则曲线，则曲线y y= =f f( (x x) )在点在点(1,(1,f f(1)(1)处的切线方程处的切线方程 是是 ( )( ) A. A.y y=2=2x x-1 B.-1 B.y y= =x x C. C.y y=3=3x x-2 D.-2 D.y y=-2=-2x x+3+3解析解析 由由f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8

48、x x-8,-8, 得得f f(2-(2-x x)=2)=2f f( (x x)-(2-)-(2-x x) )2 2+8(2-+8(2-x x)-8,)-8, 即即2 2f f( (x x)-)-f f(2-(2-x x)=)=x x2 2+4+4x x-4,-4, f f( (x x)=)=x x2 2，f f(x x)=2)=2x x, , 切线方程为切线方程为y y-1=2(-1=2(x x-1),-1),即即2 2x x- -y y-1=0. -1=0. A A6.6.已知函数已知函数f f( (x x)=)=axax3 3+ +bxbx2 2+ +cxcx+ +d d的图象如图的图象

49、如图, ,且且| |x x1 1| | | |x x2 2|,|,则有则有 ( )( ) A. A.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 B. B.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 C. C.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 D. D.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 解析解析 因因f f(x x)=3)=3axax2 2+2+2bxbx+ +c c, ,由题由题 意可知导函数意可知导函数f f(x x) )的图象如图的图象如图, , 所以所以a a0,0,c c0,0, 则则b b0,0,由原函数图象可知由原

50、函数图象可知d d0.0., 032abC C二、填空题二、填空题7.7.若曲线若曲线f f( (x x)=)=axax3 3+ln +ln x x存在垂直于存在垂直于y y轴的切线轴的切线，则实数则实数 a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 由题意可知由题意可知 又因为存在垂直于又因为存在垂直于y y轴的切线，轴的切线，8.(20088.(2008江苏江苏) )直线直线 是曲线是曲线y y=ln =ln x x( (x x0)0)的的 一条切线一条切线, ,则实数则实数b b=_.=_.解析解析 (ln (ln x x)= ,)= ,令令 , ,得得x x=2,=2,故切点坐标为故

51、切点坐标为 (2,ln 2),(2,ln 2),将其代入直线方程将其代入直线方程, ,得得ln 2= ln 2= 2+2+b b, ,所以所以 b b=ln 2-1.=ln 2-1.(-,0)(-,0),12)( 2xaxxf. )0 ,()0(2101232axxaxax所以ln 2-1ln 2-1x1211x21bxy219.9.函数函数f f( (x x)=)=axax3 3-2-2axax2 2+(+(a a+1)+1)x x-log-log2 2( (a a2 2-1)-1)不存在极值不存在极值 点，则实数点，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 a a2 2-1-1

52、0,0,a a1 1或或a a-1;-1; 又函数又函数f f( (x x) )不存在极值点，不存在极值点， 令令f f(x x)=3)=3axax2 2-4-4axax+ +a a+1=0, +1=0, 则则=16=16a a2 2-4-43 3a a( (a a+1)=4+1)=4a a( (a a-3)0,-3)0, 所以所以00a a3,3,综上可知综上可知:1:1a a3.3. 1 1a a3310.10.数学表达式数学表达式 的值为的值为 _._.解析解析 原式原式)1312111(limnnnnnnln 2ln 2. 2ln01)1ln(d11011111131121111111

53、limlimxxxninnnnnnnninn三、解答题三、解答题11.11.设设MM是由满足下列两个条件的函数是由满足下列两个条件的函数f f( (x x) )构成的集构成的集 合合: : 定义定义f f( (x x)-)-x x=0=0有实根；有实根； 函数函数f f( (x x) )的导数的导数f f(x x) )满足满足0 0f f(x x) )1.1. (1) (1)若若 判断方程判断方程f f( (x x)-)-x x=0=0的根的个数的根的个数; ; (2) (2)判断判断(1)(1)中的函数中的函数f f( (x x) )是否为集合是否为集合MM的元素；的元素； (3)(3)对于

54、对于MM中的任意函数中的任意函数f f( (x x),),设设x x1 1是方程是方程f f( (x x)-)-x x=0=0的的 实根实根, ,求证求证: :对于对于f f( (x x) )定义域中任意的定义域中任意的x x2 2, ,x x3 3, ,当当 | |x x2 2- -x x1 1| |1,|1,|x x3 3- -x x1 1| |1 1时时, ,有有| |f f( (x x3 3)-)-f f( (x x2 2)|)|2. 2. ,4sin2)(xxxf(1)(1)解解 令令F F( (x x)=)=f f( (x x)-)-x x, ,即即-1cos -1cos x x1,1,F F(x x) )0.0.