第3章一元函数积分学512(特殊类型函数的积分(2)与习题课)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A3.1.9 3.1.9 简单无理函数的积分简单无理函数的积分3.1 3.1 不定积分不定积分3.1.9 简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分法简单无理函数的积分法简单无理函数积分习例简单无理函数积分习例1-2分段函数的不定积分习例分段函数的不定积分习例3-6几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分习题课习题课结构框图结构框图内容小结内容小结典型习例典型习例通过运用变量代换将根号去掉通过运用变量代换将根号去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 t

2、axtaxtaxtaxtaxtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍数的最小公倍数为为令令nmptxtbaxpn简单无理函数的积分法简单无理函数的积分法2221(3)1dxx axbxcdxxaxbxc tx1 令令(4)( ,)nR xaxb dx tbaxn 令令(5)( ,)naxbR xdxcxd tdcxbaxn 令令简单无理函数积分习例简单无理函数积分习例例例1 1例例2 2解解,1 tx 令令.2, 1 2tdtdxtx 则则dttttxxdx 1212dtttdtttt 1111222 22

3、22)23()21()21(1)1(ttdttttdCttt 312arctan321ln2Cxxx 3112arctan321ln例例1 1解解,2111)2()1(332dxxxxxxdx ,21 3txx 令令,)1(9,121 23233dtttdxttx 则则dttxxdx 33213)2()1(dttttt )1211(2 222)23()21(23112211tdtdtttttdt例例2 2Ctttt 312arctan31ln211ln2.31212arctan3 121)21(ln21211ln33323Cxxxxxxxx 分段函数积分习例分段函数积分习例例例3 3例例4 4

4、例例5 5例例6 6解解 0 ,0 ,|)(xxxxxxf 0 ,210 ,21|2212xCxxCxdxx,),(|)(内内连连续续在在由由于于 xxf.),()(内内连连续续的的原原函函数数在在所所以以 xf)21(lim)21(lim220120CxCxxx 从从而而21CC .|21|Cxxdxx 例例3 3解解 1 ,1| , 11 ,1 ,max)(3223xxxxxxxxf 1 ,411| ,1 ,311 ,max3421323xCxxCxxCxdxxx,),()(内内连连续续在在由由于于 xf.),()(内内连连续续的的原原函函数数在在所所以以 xf例例4 4)(lim)31(

5、lim21131CxCxxx 从从而而)41(lim)(lim34121CxCxxx ,13121CC 32411CC ,3221CC 2343CC 1 ,43411| ,1 ,32311 ,max4323xCxxCxxCxdxxx解解 dxxfxf)()(处处连连续续可可得得在在由由0)( xxf211CC 0 1cos0 31)(3xCxxCxxf 0 cos0 31213xCxxCx例例5 5解解 ,lntexxt 则则令令,0 0 1)( tettft dxxfxf)()(,0 0 21 xCexCxx得得由由)0()00()00(fff 0112 CC1, 021 CC.0 10 )

6、( xexxxfx例例6 6积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分习题课习题课一一. 基本概念与性质基本概念与性质 1. 原函数与不定积分原函数与不定积分 ,内内若在若在I,)()()()(dxxfxdFxfxF 或或.)()(内内的的一一个个原原函函数数在在为为则则称称IxfxF函数函数f(x)在区间在区间I上的原函数全体上的原函数全体, 称为称为f(x)在在I上的上的不定积分不定积分. 记为记为 dxxf

7、)(CxFdxxfxfxF )()(),()(则则若若2. 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 ),()( ) 1 (xfdxxfdxd ,)()( )2( CxFdxxF dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()( )3(2121二二. 基本积分公式基本积分公式 三三. 换元法与分部积分法换元法与分部积分法 1. 第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法) dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 常见的一些凑微分形式常见的一些凑微分形式:)()(1)(baxdbaxfadxbaxf nnnndxxfndxxxf )

8、(1)(1)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sinxdxfdxxxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf )(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf )(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf )(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf )(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf xxxxdeefdxeef )()(利用三角函数公式利用三角函数公式: 倍角公式与积化和差倍角公式与积化和差2. 第二换元法第二换元法 dtttfdxxftx )(

9、)()()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (1)一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax .,22222222dxxaxaxaxxa 如如也可凑微分也可凑微分用三角代换用三角代换的积分都的积分都并不是所有含并不是所有含(2)当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx (3)当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式时时,可采用令可采用令 (其中其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公

10、倍数) lkxx,ntx n3. 分部积分法分部积分法 .)()(duvuvudvdxxgxf 选择选择u的有效方法的有效方法: :LIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.注意注意: (1)分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分.(2)用分部积分法计算的不定积分类型常见的有用分部积分法计算的不定积分类型常见的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk

11、 .sindxbxex (3)分部积分法与换元法经常穿插着使用分部积分法与换元法经常穿插着使用.(4)分部积分法常用来推导递推公式分部积分法常用来推导递推公式.四四. 有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分 1. 有理函数的积分有理函数的积分 先把被积函数化为部分分式之和先把被积函数化为部分分式之和(利用待定系数法利用待定系数法),然后积分然后积分.即将即将).,;,;0, 0()()(00110110为非负整数为非负整数nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn 化为已知的四种积分来作：化为已知的四种积分来作：.)(IV. ;

12、III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA 2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx coscos 或或方法方法:用积化和差公式进行恒等变形后用积化和差公式进行恒等变形后,再凑微分再凑微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法方法: ;,1cossin,22再再凑凑微微分分变变形形后后用用为为奇奇数数时时当当 xxm.,再再凑凑微微分分用用倍倍角角公公式式降降幂幂后后为为偶偶数数时时当当mxdxxdxxx

13、Rnmcossin)cos,(sin (3) 方法方法: ;,1cossin,22的积分的积分再凑微分化为有理函数再凑微分化为有理函数变形后变形后用用中有一个为奇数时中有一个为奇数时当当 xxnm.,再再凑凑微微分分用用倍倍角角公公式式降降幂幂后后都都是是偶偶数数时时当当nmdxxxR )cos,(sin (4)方法方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu 3. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 通过运用变量代换将根号去掉通过运用变量代换将根号去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 taxtaxtaxtaxta

14、xtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍数的最小公倍数为为令令nmptxtbaxpn dxcbxaxxdxcbxaxx22211)3(tx1 令令dxbaxxRn ),()4(tbaxn 令令dxdcxbaxxRn ),()5(tdcxbaxn 令令五五. 常见题型习例常见题型习例注意注意: 不是所有初等函数的不定积分或原函数不是所有初等函数的不定积分或原函数(即便存在即便存在)都都是初等函数是初等函数. 例如例如 421 ,sin ,sin , ,ln2xdxdxxdxxxdxexdxx等都不能用初等函

15、数表示等都不能用初等函数表示, 或者习惯地说或者习惯地说“积不出来积不出来”.“积出来积出来”的只是很小的一部分的只是很小的一部分, 而且形式变化多样而且形式变化多样, 有的技巧性也很强有的技巧性也很强. 因此我们没有必要做太繁或者难因此我们没有必要做太繁或者难的计算不定积分的题目的计算不定积分的题目, 应该掌握不定积分的基本计应该掌握不定积分的基本计算法算法. .)35(. 131 dxxx计计算算例例.11. 264 dxxx计计算算例例.11. 342 dxxx计计算算例例.1. 4243 dxeeeexxxx计计算算例例.11. 542 dxxxx计计算算例例.tan. 64 xdx计

16、计算算例例.)1(. 728 xxdx计算计算例例.sincos1. 82222 dxxbxa计计算算例例)( .ln. 9为为常常数数计计算算例例 xdxx)0, 0( .sincoscos.10 badxxbxaxI计计算算例例).(,tansin)2(cos.1122xfxxxf求求设设例例 .)35(. 131 dxxx计计算算例例解解 dxxx31)35(3)35(51原原式式 )35()35(3)35(25131xdxx )35()35(253)35()35(2513134xdxxdx.)35(43253)35(732513437Cxx .11. 264 dxxx计计算算例例解解

17、dxxx1)(1324原原式式 dxxxxxxx)1)(1()1(242224 dxxxdxx111622 32321)(13111dxxdxx.arctan31arctan3Cxx .11. 342 dxxx计计算算例例解解 dxxxx222111原原式式 )1(2)1(12xxdxx.21arctan21Cxx .1. 4243 dxeeeexxxx计计算算例例解解 dxeeeexxxx221原原式式 xxxxeeeed221)( 1)()(2xxxxeeeed.)arctan(Ceexx .11. 542 dxxxx计计算算例例解解 xdxxxx42211原式原式 24221121dxx

18、xx dtttttx211212 dtttdtt2211211121 duuttutsin121)1ln(212tanCuutt cotcscln21)1ln(212. .tan. 64 xdx计计算算例例解解 dxxx)1(sectan22原原式式 xdxxdxx222tansectan dxxxxd)1(sectantan22.tantan313Cxxx .)1(. 728 xxdx计算计算例例解解 dttttx 1281原式原式 dttttttttt11122244668 dttttt)111(2246Cttttt arctan315171357.1arctan1315171357Cxxxxx .sincos1. 82222 dxxbxa计计算算例例解解 ,0, 0时时当当 ba dxxb22sin1原式原式 xdxb22csc1.cot12Cxb ,0, 0时时当当 ba dx