波函数与薜定谔方程薜定谔方程应用举例学习教案

1、会计学1波函数与薜定谔方程薜定谔方程应用举例波函数与薜定谔方程薜定谔方程应用举例第一页，编辑于星期日：十六点 四十七分。2一、波函数自由粒子受力为零，动量p和能量E 保持不变。/ ,/E hh p为常量结论：自由粒子波为单色平面波： 1.自由粒子的波函数26-1 概率波p单色波不变沿恒定方向传播平面波)(2cos),(0 xttx2 ()()00( , )xiitEtpxx tee 波函数一般要用复数形式表示：第1页/共43页第二页，编辑于星期日：十六点 四十七分。3最亮处最暗处亮暗间电子到达概率最大电子到达概率最小概率介于二者间波强度最大，波强度最小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点二、

2、波函数的统计解释以电子的单缝衍射来说明220或或大220或或小波函数 本身没有直接的物理意义，也不能从实验中直接测出。只是| |2才有明确的物理意义。| |2意义？第2页/共43页第三页，编辑于星期日：十六点 四十七分。4某时刻，粒子在空间某点出现的概率正比于该时刻该点处波函数的模的平方。2dwdVdV粒子在空间某体积元 dV 内出现的概率波函数的统计意义说明微观粒子的运动遵循的是统计规律，而不是经典力学的决定性规律。2dwdV概率密度第3页/共43页第四页，编辑于星期日：十六点 四十七分。52.波函数的归一化条件21VwdV波函数的归一化条件粒子在整个空间出现是必然事件，即任一时刻粒子在整个

3、空间出现的概率为13.波函数的标准化条件a.波函数为有限值b.波函数是连续的c.波函数是单值的由波函数的统计意义所限制第4页/共43页第五页，编辑于星期日：十六点 四十七分。6例：限制在一维空间运动的粒子，其状态波函数可表示为：0(/2,/2)( , )cos()e(/2/2)iEtxaxax txAaxaa 其中A 为待定常数；E 、a为确定常数。求：1.归一化的波函数； 2.概率密度。解：由归一化条件得/222/2|1aadxdx第5页/共43页第六页，编辑于星期日：十六点 四十七分。7/ 222/ 2cos ()1aaxAdxa即：2Aa归一化的波函数：0(/2,/2)( , )2cos

4、()e(/2/2)iEtxaxax txaxaaa 概率密度：20(/2,/2)( , )2cos ()(/2/2)xaxax txaxaaa 2( , )( , )x tx t粒子不出现在区间(-a/2, a/2)以外。粒子在x=0处出现的概率最大。第6页/共43页第七页，编辑于星期日：十六点 四十七分。8物质波的波函数 就是薛定谔方程的解。薛定谔方程描述微观粒子运动规律的方程。也就是德布罗意波函数所满足的运动微分方程。定态薛定谔方程具有确定能量E和动量p 的粒子在势场中运动时波函数 所满足的运动微分方程。在一维空间，其波函数(平面波)()0( , )iEtpxx te( )iEtx e26

5、-3 薛定谔方程第7页/共43页第八页，编辑于星期日：十六点 四十七分。9pxiex0)(通常也称其为定态波函数。将 (x) 对x 求二阶导数得2222( )( )0dxpxdx与时间无关在非相对论近似下(v c)22122KpEmvm22KpmE称振幅函数第8页/共43页第九页，编辑于星期日：十六点 四十七分。10当粒子在势场中运动，设势能为U(x)，则2222( )( )0dxpxdx( )KEEU x222( )2 ( )( )0dxm EU xxdx一维定态薛定谔方程22222222( , , )0mEU x y zxyz将上式推广到通常的三维运动情况得定态薛定谔方程22KpmE第9页

6、/共43页第十页，编辑于星期日：十六点 四十七分。11则引入拉普拉斯算符2222222zyx222()0mEU对某一势场U，一般只有某些特定的E值才能使方程有解 能量量子化条件。使方程有解的E值称为本征值（本征能量），对应的波函数 (x)称为本征函数。上述定态薛定谔方程只适用于非相对论情形 (v 1:激发态能量子化116E19E14EE4E3E2E1E0ax第16页/共43页第十七页，编辑于星期日：十六点 四十七分。18在两端出现的概率为零。概率密度峰值的个数随n 的增大而增多，峰值间距随之缩小。 n，峰值个数也为无穷，峰值间距趋于零，概率密度几乎各处均等，过渡到经典理论的结果。2.粒子在势阱

7、中的概率分布222sinnnxaa概率分布不均匀，具有量子化效应。2n222324210ax1E2E3E4E第17页/共43页第十八页，编辑于星期日：十六点 四十七分。19,0nnEnE 2212( 1)nnEnnEnn即：当n时，En与En本身之比可以忽略， 说明此时量子效应已不明显，能级分布可视为连续。3.相邻两能级间的相对间隔经典理论是量子理论在n时的极限情况。第18页/共43页第十九页，编辑于星期日：十六点 四十七分。204.相邻能级间隔与势阱宽度的关系2212(21)2nnnEEEnma例如电子的运动：(21) 37.7eVnEn当运动限制在原子尺度范围内(a =0.1nm)，则能量

8、量子化效应明显。15(21) 3.77 10eV 0nEn而当在a =10-2 m (宏观尺度)的势阱中运动，则能量可视为连续，量子效应消失。可见当粒子运动范围足够大时，量子效应减弱。第19页/共43页第二十页，编辑于星期日：十六点 四十七分。212an2222222nPhEnEmamP,由驻波条件势阱宽度是粒子德布罗意波的半波长的整数倍-物质波在势阱中形成驻波。5.势阱中的粒子波为驻波oaUmx第20页/共43页第二十一页，编辑于星期日：十六点 四十七分。22n2 ( )sin (0)nxxxaaa12( )sinxxaa例：在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为求当粒子处于基态时，在0 a

9、/3区间发现粒子的概率.解：22112( )sin () xxaa概率密度由题意知：n=1，对应波函数为21oax第21页/共43页第二十二页，编辑于星期日：十六点 四十七分。23212( )sin ()xdwx dxdxaa30212 sin0.19624axxaa粒子出现在dx区间的概率23102( ) sin () axwx dxdxaa可见粒子在出现在前1/3区间的概率不到1/5.粒子出现在0 a/3 区间的概率21oax第22页/共43页第二十三页，编辑于星期日：十六点 四十七分。24UaxIIIIIIo0U二、势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中，若粒子总能E U0，则粒子不可能越过I

10、I区，它只能在 I 区中运动.该问题可由量子力学，通过解定态薛定谔方程来给出答案。00(0,)( )(0)xxaU xUx a 设势能曲线这种势能曲线称为“势垒”。E但实验证实粒子可以到达III区。第23页/共43页第二十四页，编辑于星期日：十六点 四十七分。2522112( )( )0 (0)dxkxxdx222122( )( )0(0)dxkxxadx22332( )( ) 0 ()dxkxxadx利用薛定谔方程，运算后得出三个区间满足的微分方程分别为UaxIIIIIIo0UE第24页/共43页第二十五页，编辑于星期日：十六点 四十七分。261( )(0)ikxikxxeRex据此可得出各

11、区域的解：2( )(0)kxkxxAeBexa3( )()ikxxCexa分析：粒子从 I 区入射，故 I 区中同时存在入射波和反射波；粒子穿过势垒进入III 区，故在III区只有透射波；粒子在x=0 处的概率应大于在x =a处的概率。三个区域均存在不为零的波函数，说明粒子可能穿过势垒II而出现在III区。UaxIIIIIIo0U第25页/共43页第二十六页，编辑于星期日：十六点 四十七分。27在 EU0 的情况粒子也可以越过势垒而到达右边的区域。这在经典物理中是难以理解的。只能假想为在能量高坡中挖空了一条隧道，故称“隧道效应”.Uaxo0UIIIIII第26页/共43页第二十七页，编辑于星期

12、日：十六点 四十七分。28定义粒子穿过势垒的贯穿系数：221221|( )|exp( 2)|(0)|exp( 2 0)aTk aPTk02exp2 ()am UE当 、势垒的宽度为50nm 以上时，贯穿系数会小于10-6以上，隧道效应已无实际意义。从量子化概念过渡到经典问题。05eVUE产生隧道效应的限制UaxIIIIIIo0U隧道效应第27页/共43页第二十八页，编辑于星期日：十六点 四十七分。29隧道效应为大量实验所证实。半导体中的各种隧道器件就是以此理论为基础制成的。利用扫描隧道显微镜（STM）已能看清大个的原子。使人类能够实时地观测单个原子的排列以及表面电子的行为。扫描隧道显微镜在表面

13、科学、材料科学和生命科学中有着广泛的意义和前景。宾尼和罗雷尔因制造这种显微镜而获得诺贝尔奖。后来利用光学中的受抑全反射理论，又研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM）。它可用于不导电样品的观察等。第28页/共43页第二十九页，编辑于星期日：十六点 四十七分。30扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（STM）是20世纪80年代初期出现的一种新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力学的隧道效应和三维扫描。它是用一个极细的尖针（针尖头部为单个原子）去接近样品表面，当针尖和样品表面靠得很近，小于1纳米时，针尖头部的原子和样品表面原子的电子云发生重叠。此时若在针尖和样品之间加一个偏压，电子便会穿过针尖和样品之间的

14、势垒而形成纳安级（10-9A）的隧道电流。通过控制针尖与样品表面间距的恒定，并使针尖沿表面进行精确的三维移动，就可将表面形貌和表面电子态等有关表面信息记录下来。 第29页/共43页第三十页，编辑于星期日：十六点 四十七分。31扫描隧道显微镜具有很高的空间分辨率，横向可达纳米，纵向可优于纳米。它主要用来描绘表面三维的原子结构图，在纳米尺度上研究物质的特性。利用扫描隧道显微镜还可以实现对表面的纳米加工，如直接操纵原子或分子，完成对表面的剥蚀、修饰以及直接书写等。目前扫描隧道显微镜取得了一系列新进展，出现了原子力显微镜（AFM）。弹道电子发射显微镜（BEEM）、光子扫描隧道显微镜（PSTM），以及扫

15、描近场光学显微镜（SNOM）等。 第30页/共43页第三十一页，编辑于星期日：十六点 四十七分。32隧道电流I对针尖与样品表面之间的距离s极为敏感，如果 s 减小，隧道电流就会增加一个数量级。 s以10-1nm为单位 psIUe金属表面与针尖的电子云图探针样品表面第31页/共43页第三十二页，编辑于星期日：十六点 四十七分。33STM工作原理图第32页/共43页第三十三页，编辑于星期日：十六点 四十七分。34IxoGUzxozxoGUzxo恒高度工作模式恒电流工作模式第33页/共43页第三十四页，编辑于星期日：十六点 四十七分。35硅表面77重构图 第34页/共43页第三十五页，编辑于星期日：十六点 四十七分。36硅表面硅原子的排列 第35页/共43页第三十六页，编辑于星期日：十六点 四十七分。37硅表面硅原子的排列 第36页/共43页第三十七页，编辑于星期日：十六点 四十七分。38吸附在铂单晶表面上的碘原子33阵列STM图象 第37页/共43页第三十八页，编辑于星期日：十六点 四十七分。39石墨样品表面的假彩色图像 第38页/共43页第三十九页，编辑于星期日：十六点 四十七分。40被移动的单个氙原子图 第39页/共43页第四十页，编辑于星期日：十六点