第14讲 经典曲线档案馆

1、第十四讲第十四讲经典曲线经典曲线档案馆档案馆河北理工大学轻工学院河北理工大学轻工学院 -基础教学部基础教学部分形曲线分形曲线Koch雪花雪花 摆线摆线 螺线螺线 曲曲线线档档案案馆馆星形线星形线 心形线心形线玫瑰线玫瑰线 叶形线叶形线前 言 曲线是美的，而美的东两，又往往由曲线构成。曲线是美的，而美的东两，又往往由曲线构成。 曲线无处不在，比直线更富于魅力。瞧它：有弯曲、曲线无处不在，比直线更富于魅力。瞧它：有弯曲、有转折、有流动的韵味，能引导眼睛作变化无穷的追逐，有转折、有流动的韵味，能引导眼睛作变化无穷的追逐，能引起人们多元的思索能引起人们多元的思索 圆与椭圆圆与椭圆xt=xt_:=Cos

2、tyt=yt_:=SintParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic经典曲线1圆 面积:2r 周长:2 rxt=xt_:=a*Costyt=yt_:=b*SintParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi, AspectRatio-Automatic经典曲线2椭圆 面积:ab 周长: ？经典曲线3摆线摆线摆线 摆线摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一它是这样是数学中众多的迷人曲线之一它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线过

3、的轨迹称为摆线 摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到点滑落到不在它正下方的不在它正下方的B点时，若沿着点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。间最短，因此摆线又称最速降曲线。 xt=xt_:=a*(t-Sint);yt=yt_:=a*(1-Cost);ParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi, AspectRatio-Automatic 一拱面积:23 a 一拱长度: xyoa2动圆周长星形线星形线经典曲线4星形线taytax33sin,cos星形线是内摆线的一种.(当小圆在

4、圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar atxt=xt_:（Cost3;yt=yt_:=(Sint)3;ParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi经典曲线4星形线 周长:6a 面积:238a 旋转体积:332105a外摆线的一种外摆线的一种-心形线心形线经典曲线5心形线oxya2222yxaxayx即)cos1 ( ar 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8经典曲线5心形线)cos1(tar rt_:=1+Costxt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametr

5、icPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-Automatri,PlotStyle-RGBColor1,0,0rt_:=2(1-Cost)xt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor0,0,1)cos1(tar 经典曲线5心形线rt_:=2(1+Sint)xt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor0.8,0,0.2)si

6、n1(tar 经典曲线5心形线rt_:=2(1-Sint)xt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-Automatri,PlotStyle-RGBColor0.8,0,0.2)sin1(tar 经典曲线5心形线阿基米德螺线阿基米德螺线经典曲线6阿基米德螺线)0( aar 亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米德在著作论螺线中给出了定义. 3243a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停)0( aa

7、r 所围图形面积:2214ln(214)2aa 周长:rt_:=2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi经典曲线6阿基米德螺线(0)aa伯努利双纽线伯努利双纽线 设定线段AB长度为2a,动点M满足 MAMB=a2 M的轨迹称为伯努利双纽线（Lemniscate of Bernoulli） (x + y) = 2a(x y) 经典曲线7伯努利双纽线 2a 所围图形面积: 周长:rt_:=SqrtSin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-

8、1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,yxyayx22222)( 经典曲线7伯努利双纽线 rt_:=SqrtCos2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,y)()(222222yxayx tr2cos 经典曲线7伯努利双纽线 三叶玫瑰线三叶玫瑰线 经典曲线8三叶玫瑰线 rt_:=SqrtCos2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,

9、t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytar3cos 经典曲线8三叶玫瑰线 rt_:=SqrtSin3txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytar3sin 经典曲线8三叶玫瑰线 四叶玫瑰线四叶玫瑰线 经典曲线9四叶玫瑰线 rt_:=Sin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2P

10、i,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytar2sin 经典曲线9四叶玫瑰线 rt_:=Sin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytar2cos 经典曲线9四叶玫瑰线 笛卡尔叶形线笛卡尔叶形线 经典曲线10笛卡尔叶形线 年轻时的勒奈笛卡儿 笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在 1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为 极坐标中方程分

11、别为 0333 axyyxr()=3asincos/(sin)3+cos 轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立 据说有一天，笛卡尔病重卧床，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。 蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢

12、？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三跳线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。 xt_:=3t/(1+t3)yt_:=3t2/(1+t3)ParametricPlotxt,yt,t,-9,12,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,1,AxesLabel-x,y0333 axyyx经

13、典曲线10笛卡尔叶形线 美丽的美丽的Koch雪花雪花-从极限到分形几何学从极限到分形几何学 1904年瑞典科学家科克（Koch）描述了这样一段奇特而又有趣的事件：一条边长为a的正三角形，将每边三等分，以中间三分之一为一段向外再做正三角形，小三角形在三条边的出现使得原三角形变成了一个六角形，六角形共有12条边，再在这12条边上用与上述相同的方法，即可构造出一个新的48边形，如此做下去，其边缘越来越精细，看上去就像美丽的雪花，称为Koch雪花。观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面

14、积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播播幻灯片幻灯片 31放放观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311

15、 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积

16、为面积为)94(311)94(31)94(31)94(31311201221 nkknAA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）结论结论 分析结果：分析结果：Koch雪花的面积大小依赖于最初的正三角形边长，而Koch曲线的周长却是无限增大的，这结果简直不可思议，有限的区域生成无限的长度，是一种反常现象，促进了人们对这一问题的思考。分形几何学分形几何学即诞生在多种概念和方法相互冲击和融合的年代。不仅在自然学科与社会学

17、科中产生了极大的影响，而且在音乐、美术间也产生了一定的影响，并使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受，分形搭起了科学与艺术的桥梁。 谢 谢！极坐标方程表示的曲线的绘制极坐标方程表示的曲线的绘制)(=trr已知曲线方程：已知曲线方程：绘图基本语句：绘图基本语句：rt=rt_:=ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,a,b（观察常用函数的图形）（观察常用函数的图形）ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,3rt=rt_:=t2极坐标表示的曲线极坐标表示的曲线-1 -1 Para

18、metricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,2Pi, AspectRatio-Automaticrt=rt_:=Cos2t极坐标表示的曲线极坐标表示的曲线-2-2 (玫瑰线)ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,2Pi, AspectRatio-Automaticrt=rt_:=Sin2t极坐标表示的曲线极坐标表示的曲线-3 -3 (玫瑰线)ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,4Pi, AspectRatio-Automaticrt=rt_:=t2极坐标表示的曲线极坐标表示的曲线-3 -3 (螺线)ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,4Pi, AspectRatio-Automaticrt=rt_:=1 Cost极坐标表示的曲线极坐标表示的曲