第3章：多自由度振动3

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 3.3 频率方程的零根和重根情形看右图示例子，其刚度矩阵和质量矩阵为一.零根情形1111222200kkKkkkkkk 123000000mMmm 代入频率方程 可解得20KM 10 请你思考：造成固有频率为零的数学原因和物理原因是什么？STDU DYNAMICS OF STRUCTURES20KM 一般说来，将0 代入频率方程导出0K 可见，从数学的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是0K 由于刚度矩阵的行列式值等于零，所以此时刚度矩阵为奇异矩阵，即：此时柔度矩阵不存在。仔细观察刚才的系统，发现它没有外界的约束，系统可以含有任意

2、的刚体位移，因此，要求系统的柔度矩阵是不可能的。STDU DYNAMICS OF STRUCTURES因此，从物理的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是：系统含有刚体位移。上述系统称为半正定系统。10 假定相应的主坐标方程为10Px 1Pxatb 积分得表明此主振动转化为随时间t匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除 设(1) 为零固有频率对应的刚体位移模态 正交性条件要求 (1)( )0TiM (2,3, )in 为系统的除刚体位移之外的其它模态 ( ) i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES将上式各项乘以与)(i相应的主坐标Pix并对i

3、=2至n求和( )2niPiixx 令为系统消除刚体位移后的自由振动，导出以下约束条件(1)0TMx 利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统。缩减系统的刚度矩阵不再奇异 例例4 4 讨论两端自由的轴上三个圆盘的扭转振动。各盘绕转动轴的转动惯量分别为J，2J和J，轴的抗扭刚度均为k。 123STDU DYNAMICS OF STRUCTURES解解 以1，2，3为广义坐标，系统的动能和势能分别为 ),2(21232221JT232221)()(21kV123代入拉氏方程，导出动力学方程为 0 KxxM 100020001MJ 其中110121011Kk 123x 直接验

4、证可知 0K 刚度矩阵为半正定 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES系统的本征方程为 22222202()2()(2 )00kJkkkJkJJkJkkkJ 解出固有频率 10 2kJ 32kJ 并可计算出相应模态(1)111 (2)101 (3)111 其中与零频率对应的一阶模态为刚体转动，其模态示意图见下面 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES系统模态1111-111-1为消去刚体转动自由度，将刚体转动模态代入 (1) (1)0TMx 导出如下的约束条件 12320JJJ 解出1232 将解出的再代入系统的动能和势能得到1 222233(32)TJ 222

5、23352Vk 代入拉氏方程，缩减系统的质量矩阵和刚度矩阵 31211MJ 51211Kk STDU DYNAMICS OF STRUCTURES缩减后的刚度矩阵为正定矩阵，对应的本征方程为 222222532()(2 )0kJkJJkJkkJkJ 解出缩减系统的频率和模态为2kJ 32kJ (2)01 (3)11 缩减系统与未缩减系统的计算结果完全相同注：缩减系统的动力学方程也可以将约束方程直接代入原来的未缩减系统动力学平衡方程得到STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.重根情形在复杂系统中会出现某些特征值非常接近甚至相等的现象，如柔性航天结构。下面讨论特征值重根时系统的模

6、态和其正交问题12 不失一般性，假设则在计算与该频率相对应的模态时，振幅方程组中会有两个方程不独立 将A的最后两个元素nA1nA 的有关项移至等号右端 和221111111,211,22221,111,111,11,222,111,112,212,22222,112,112,12,()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkmAkmAkmAkmAkmAkmAkmAkmnA STDU DYNAMICS OF STRUCTURES任意给定 1nA，nA两组线性独立的值 )1(1nA，)1(1nA和)2(1nA，)2(1nA比如令(1)1(1)10nnAA

7、(2)1(2)01nnAA 从前面方程组解出其余 n-2个(1,2, )jAjn 的两组解 记作(1)(1)(1)(2)(1)122(2)(2)(2)(2)(2)122(10)(01)TnTnAA 此组合的第1、第2阶模态显然不是唯一的,也不是正交的。为 保证它们之间满足正交性条件，令(2)(2)(1)Ac(2)(1)c 也是原方程组的解显然STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(2)(1)c 与令(1) 正交(1)(2)(1)()0TMc解出待定常数 (1)(2)(1)(2)(1)(1)11()TTTPMcMMM 从而得到相互独立且正交的第1、第2阶模态。思考：这样求得的前两

8、阶模态与其余的n-2个模态是否正交？为什么？例例 讨论图示由等刚度弹簧支承的质点的平面运动，设质点的质量为m ，弹簧的刚度均为k/2 。STDU DYNAMICS OF STRUCTURES解解 系统的动力学方程为 0mxkx 0myky 本征方程为22()0km 固有频率为 12km 取模态为 (1)10T (2)01T 满足正交性条件 取模态为 (1)11T (2)11T 也满足正交性条件 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.4 多自由度系统在简谐激励下的受迫振动回顾:单自由度系统的受迫振动11sinmycykyFt或22sinFyyytm( )sin()y tAts

9、tAy/s22tan1ss22221(1)4ss2stFym稳态解为其中若不考虑阻尼,则稳态解为( )siny tAtstAy/s211s2stFymSTDU DYNAMICS OF STRUCTURES设n自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励 ，为简单起见，先不计阻尼影响系统的受迫振动方程 0sinMxKxFt 其中x为位移向量. 为激励频率 0F为广义激励力的幅值向量 001020()TnFFFF 设动力方程的稳态解为 sinxXt 其中X为受迫振动振幅组成的列阵 12()TnXXXX 代入动力方程导出 20()KM XF 记 21( )()HKM 0XHF 一.

10、按刚度法求解STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0sinxHFt 于是有 结论 2212()( )()det()adj KMHKMKM 因 02MK为系统的特征方程 而 故: 激励频率接近系统的任何一个固有频率都会使受迫振动的振幅无限增大而引起共振 在求得结构的振幅之后，若要计算结构的最大内力，可将最大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上，然后按静力问题求解STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例 1m1k0sinFt 2m2k1k设刚度系数为的弹簧支承的物体1m上受到简0sinFt2m2k谐力此物体上安装由小物体和刚度系数为试证明在一定条件下吸振器能消除1m

11、物体的受迫振动 的激励。的弹簧组成的吸振器解解 sinMxKxFt 1200mMm 12222kkkKkk 12xxx 00FF 动力方程为: 令: 12()TXXX sinxXt 代入动力方程后得到20()KM XF STDU DYNAMICS OF STRUCTURES计算复频响应矩阵2212222221211()()kmkHKMkkkm 22()KM 其中导出受迫振动的振幅 2220022()kmFXHFk 显然,当 2m2k和 满足如下条件时 222/km 10X 可以得到 这表明:处于共振状态的吸振器,2m激励力平衡，从而吸收了外界激励的全部能量，使1m物体的振动抑制为零。 的惯性力

12、恰好与STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例题 三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sint kN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。 2 A KMKMF将、代入方程：tm3151tm2702tm1803mMNk/ 2451mMNk/ 1962mMNk/ 983)t (p 4.5 -2 01.75 0 098/-2 3 -1 M180 0 1.5 0 0 -1 1 0 0 1KMN mt解：（一）求各楼层的振幅：2 2200120.96 6060p nps1232304.5 -2 01.75 0 098/-2 3

13、-1(20.96)180 0 1.5 0100 10 0 -1 1 0 0 10AMN mtAA STDU DYNAMICS OF STRUCTURES（二）求动内力值： N89187)10130. 1()96.20(10180IN26045)10220. 0()96.20(10270IN1975)10143. 0()96.20(10315I323033230232301kN187.89kN045.26kN751.19kN10044.5947.61617.492Q图（图（kN)位移（位移（cm.)130. 1 220. 0 143. 0 动动M图（图（kN.m)(hEI623233 )(hEI

14、612222 1211hEI6 .m10130. 1A10220. 0A10143. 0A 333231 解方程，得：解方程，得：STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.按柔度法求解运动方程设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动： 2 sin tsin t F sin tMAA sin MYYFt 2 IMAF sin tyA 2sin yAt 代入动力方程得也可写成 2211 - 0MIAF若动力荷载不是直接作用在结点上，则以 iP F代替 2211 - 0PMIASTDU DYNAMICS OF STRUCTURES在平稳阶段,各质点作简谐振动,振动频率与荷相同 22

15、11 - 0PMIA02IFMA1021IAMF20( )sinsinIiiiiiIiF tmymAtFt各质点的惯性力为各质点的惯性力的幅值为02IiiiFm A惯性力的幅值向量为代入方程整理得 1021 -0IPMF 利用以上二式可以求得结构振动的振幅向量和惯性力的幅值向量与刚度法一样，若要计算结构的最大内力，可将最大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上，然后按静力问题求解STDU DYNAMICS OF STRUCTURES1m2mEItPsin3/l3/l3/l例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。,21mmm3415. 3mlEI已知：已知：1

16、y2y解：解：312217486lEI311228486lEI200111112211(1/)0IImFFP020211222221(1/)0IIFmFP00120.06930.01440.01650IIFFP00120.01440.06930.01440IIFFP010.2936IFP020.2689IFPEIPlA/02517. 031EIPlA/02306. 0321I2IP1A2AP2689.0P2936.1Pl3173.0Pl2035.0STDU DYNAMICS OF STRUCTURES利用对称性可简化计算利用对称性可简化计算mtPsinmtPsin2tPsin2tPsin2tP

17、sin2对称荷载对称荷载tPsin213/ lEIl /03087. 031132/394.32mlEI32/662.11mlEI5625. 1EIPlyst/015435. 03EIPlA/024117. 03STDU DYNAMICS OF STRUCTURES反对称荷载反对称荷载tPsin219/ lEIl /00206. 031132/003.486mlEI32/662.11mlEI0246. 1EIPlyst/0103. 03EIPlA/00106. 03反对111AAAEIPl /025177. 03反对222AAAEIPl /023057. 03质量1处的静位移 EIlFFypp

18、pst243431111质量1的位移动力系数 529. 1111styyY质量1处的静弯矩 921lFMpst质量1的弯矩动力系数 428. 11max11stMMM结论 在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.8.5STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.8.6 10.8.6STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.8.7STDU DYNAMICS OF STRUCTURES直接解法:只适合于外部激励为同步的简谐激励 模态叠加法:适合于外部激励为任意激励 ( )1niPiPixxx 1

19、2()TPPPPnxxxx 12()Tnxxxx ( )MxKxF t 动力方程坐标变换主坐标 几何坐标向量 ( )( )( )iii 振型矩阵 12()TnFFFF 其中荷载向量 3.5 多自由度系统在任意激励下的受迫振动STDU DYNAMICS OF STRUCTURESPPPPPM xK xF 坐标变换式代入动力方程，并两边左乘T 得到12()TTPPPPnFFFFF 其中1()TPPPnMMdiag MM 1()TPPPnKKdiag KK 主坐标形式的动力学方程显然是解耦的，即PjPjPjPjPjM xK xF (1,2,)jn ( )TjpjFF 可利用杜哈梅积分求出各主坐标的受

20、迫振动特解 01( )( )sin()(0)(0)cossintPjPiiPiiPjPjiiixtFtdMxxtt (1,2,)jn STDU DYNAMICS OF STRUCTURES模态叠加（振型分解)法计算步骤 1.确定体系的自振频率和主振型； 2.求广义质量，广义荷载； 3.求广义坐标； 4.求质点位移。 例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移0FL/ 3y( t)1L/ 3L/ 3m =m112m =my( t)21pF解12335.69222.045EIEImlml确定自振频率和主振型主振型 (1)(2)11 11 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES求广义质量

21、、广义荷载 (1)(1)1(2)(2)2 2 2TPTPMMmMMm0(1)100(2)20( ) ( )1 10( ) ( )110TPTPFFtF tFFFtF tF111201111( )sin()(1 cos)2tPPFxtFtdtMm222202221( )sin()(1 cos)2tPPFxtFtdtMm求广义坐标 PiPiPiPiPiM xK xF求质点位移 Pyx 11212212121221( )( )( )(1cos)0.067(1cos)2( )( )( )(1cos)0.067(1cos)2PPPPFy txtxtttmFy txtxtttmSTDU DYNAMICS

22、OF STRUCTURES可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的影响。多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量影响很小，故通常只计算前23个振型的影响即可。 例.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.解:12k1EI1EI1k2kNP8已知:;102;1033231kNkkNk;1020021kgmmm加荷前静止。ss/125.24;/1899. 921 112 211/2 11151000TPMMkg 22212750TPMMkgSTDU DYNAMICS OF STRUCTURES111011( )( )sin()tPPPFxttdM1111(1cos)PPFtM)cos1(003

23、2.01t22( )0.000534(1cos)Pxtt 1122( )11( )( )( )21/ 2PPy txtxty t1120.002670.0032cos0.000534cosytt2120.006670.0064cos0.000267cosytt 110( )( )12168TPFtF tkN 22( )( )4TPFtP tkN STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.6 有阻尼的受迫振动一.多自由度系统的阻尼阻尼力的机理很复杂，难以给出恰当的数学描述通常等效为粘性阻尼1ndiijjiFc x (1,2,)jn ijc粘性阻尼系数 系统仅沿第j个坐标有单位速度时，沿第i个坐标必须施加的力二. 动力学方程利用拉格朗日方程，可以得到系统的动力学方程1( )nijjijjijjijm xc xk xF t (1,2,)jn STDU DYNAMICS OF STRUCTURES( )1niPiPixxx 12()TPPPPnxxxx 12()Tnxxxx ( )MxCxKxF t 写成矩阵形式仍然利用振型叠加法主坐标 几何坐标