第4章 剪切与扭转

1、本章主要讨论的几个问题：本章主要讨论的几个问题：(1)剪切构件的受力和变形特点；剪切构件的受力和变形特点；(2)剪切和挤压的近似计算；剪切和挤压的近似计算；(3)扭转变形的特点；扭转变形的特点；(4)圆轴扭转时的内力和应力计算；圆轴扭转时的内力和应力计算；(5)剪切虎克定律；剪切虎克定律；(6)扭转变形的强度和刚度条件。扭转变形的强度和刚度条件。4.1剪切构件的受力与变形特点剪切构件的受力与变形特点受力特点：合力大小相等、方向相反、作用线距离很小。受力特点：合力大小相等、方向相反、作用线距离很小。变形特点：两相邻截面间发生错动。变形特点：两相邻截面间发生错动。发生相对错动的面称为发生相对错动的

2、面称为剪切面。剪切面。4.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算一、剪应力计算和剪切强度条件一、剪应力计算和剪切强度条件假设剪应力假设剪应力在截面上均匀分布在截面上均匀分布： =Q/A强度条件：强度条件： ， 其中：其中： = b/nb对塑性材料：对塑性材料：=(0.60.8)对脆性材料：对脆性材料：=(0.81.0)4.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算jyjy= F A二、挤压应力计算和挤压强度条件二、挤压应力计算和挤压强度条件假设挤压应力假设挤压应力jy在截面上均在截面上均匀分布匀分布：强度条件为：强度条件为：jyjyjyF=A jy= (1.7 -2.0) (注意挤压面

3、面积的算法注意挤压面面积的算法)jy为材料许用挤压应力，为材料许用挤压应力，其值由试验确定。其值由试验确定。对于塑性较好的低碳钢材料：对于塑性较好的低碳钢材料：4.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算例例4-1 如图所示的起重吊钩，起吊重物如图所示的起重吊钩，起吊重物F = 20kN, 钢板厚度钢板厚度= 8mm，销钉的材料，销钉的材料为为16Mn，其许用剪应力，其许用剪应力 = 140MPa，许用挤压应力，许用挤压应力jy = 230MPa，试设计销，试设计销钉直径钉直径d。FF/2F/24.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算Q = F 2 = 10kN(1)选取分离体，画

4、出受力图：选取分离体，画出受力图：(2)求剪切面的剪力：求剪切面的剪力：(3)应用强度条件：应用强度条件： 2 2Q10kNQ10kNA= 71.43mmA= 71.43mm140MPa140MPa经计算圆整，经计算圆整，d=10mm4.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算(4)校核挤压强度：校核挤压强度：jyjyjyjyjyjyFF / 210kNFF / 210kN= 125MPa = 125MPa AAd8mmd8mm10mm10mm所以销钉安全。所以销钉安全。4.2 剪切和挤压的近似计算剪切和挤压的近似计算冲床的最大冲力冲床的最大冲力F=400kN，冲头材料的许用应力，冲头材料

5、的许用应力 jy=440MPa，被剪切钢板的剪，被剪切钢板的剪切强度极限切强度极限 b=360MPa, 求圆孔最小直径求圆孔最小直径 和钢板的最大厚度。和钢板的最大厚度。解：根据挤压条件：解：根据挤压条件： jyjyjyjyjyjyF F=A A根据剪切条件：根据剪切条件：b bQ Q=A A2 2400kN400kN 440MPa 440MPad d4 4 d d3 34 4m mm m400kN400kN 360MPa 360MPadd 10.4mm10.4mm该冲床在最大载荷作用下所能冲剪的圆该冲床在最大载荷作用下所能冲剪的圆孔最小直径为孔最小直径为34mm，所能冲剪钢板的最所能冲剪钢板

6、的最大厚度为大厚度为10.4mm4.3 扭转变形的概念扭转变形的概念TT受力特点：在杆件的两端作受力特点：在杆件的两端作用着一对大小相等、方向相用着一对大小相等、方向相反的外力矩反的外力矩T。变形特点：两个不同的横截变形特点：两个不同的横截面产生相对的转动。面产生相对的转动。注意：在一般情况下注意：在一般情况下, 杆件扭转时杆件扭转时, 有一系列外力矩作用在杆件上有一系列外力矩作用在杆件上, 但但是当杆件处于等速转动时是当杆件处于等速转动时, 这些外力矩的代数和等于零。这些外力矩的代数和等于零。4.4 传动轴外力矩的计算传动轴外力矩的计算要研究圆轴受扭转后的强度问题，首先要分析其外力。对于传动

7、轴，通要研究圆轴受扭转后的强度问题，首先要分析其外力。对于传动轴，通常不直接给出外力矩的数值，而是给出轴的转速常不直接给出外力矩的数值，而是给出轴的转速n 和所传递的功率和所传递的功率P。根。根据功率据功率P 和转速和转速n 可以换算出外力矩可以换算出外力矩T。22n n角角速速度度： =rad s=rad s6060机机功功率率： P = Fv = FR P = Fv = FR又又因因： FR = T FR = T22n n所所以以： P = T P = T= =606060P60P所所以以： T = T =22n n P P T = 9. 5 T = 9. 5n n 5 5电为TT作用在圆

8、轴上的外力矩，作用在圆轴上的外力矩，kNm;P轴所传递的功率，轴所传递的功率，kW;n轴每分钟的转数，轴每分钟的转数，r/min。4.5 纯剪切纯剪切 剪切虎克定律剪切虎克定律变形特点：变形特点：(1) 纵向线变成螺旋线，原来的小矩形纵向线变成螺旋线，原来的小矩形abcd 变成斜平行四边形。变成斜平行四边形。(2) 周向线各自绕圆筒轴线转过一定的角度周向线各自绕圆筒轴线转过一定的角度, 不同的周向线转过的角度大不同的周向线转过的角度大小不一样小不一样, 但周向线的大小、形状以及各周向线之间的距离均未改变。但周向线的大小、形状以及各周向线之间的距离均未改变。4.5 纯剪切纯剪切 剪切虎克定律剪切

9、虎克定律T = 0 ，T = 0 ， 可 可以以得得出出： ( (yy)x =(x =(xx)y y由静力平衡条件：由静力平衡条件： 这说明这说明: 在相互垂直的两个面上如同时存在着剪应力，则它们的大小相在相互垂直的两个面上如同时存在着剪应力，则它们的大小相等，方向必须都是指向或都是背向两面的交线。剪应力之间的这种关等，方向必须都是指向或都是背向两面的交线。剪应力之间的这种关系称为系称为剪力互等定理剪力互等定理，又称为，又称为剪力双生定律剪力双生定律。这种在互相垂直的面上。这种在互相垂直的面上只有剪应力作用的受力情况称为只有剪应力作用的受力情况称为纯剪切纯剪切。4.5 纯剪切纯剪切 剪切虎克定

10、律剪切虎克定律剪切虎克定律：剪切虎克定律：薄壁圆筒扭转实验表明：当剪应力薄壁圆筒扭转实验表明：当剪应力不不超过材料的剪切比例极限超过材料的剪切比例极限p 时，时，剪应剪应力力与与剪应变剪应变成正比，即：成正比，即：= G= G剪切弹性模量剪切弹性模量G、拉压弹性模量、拉压弹性模量E 以及横向变形系数以及横向变形系数都是表示材料弹都是表示材料弹性性质的常数，这三个常数都可由实验确定。同时性性质的常数，这三个常数都可由实验确定。同时, 在它们之间有一定在它们之间有一定的关系，对于各向同性的材料，它们之间的关系是：的关系，对于各向同性的材料，它们之间的关系是：E EG =G =2(1+2(1+) )

11、4.6 圆轴扭转时横截面上的内力和应力圆轴扭转时横截面上的内力和应力根据平衡条件：根据平衡条件：nAnAT = 0 ，T = 0 ， 可 可以以得得出出： T = T T = T这个内力矩称为这个内力矩称为扭矩扭矩。可以看出，扭矩。可以看出，扭矩Tn 在轴的全长是一个常数。在轴的全长是一个常数。一、横截面上的内力一、横截面上的内力4.6 圆轴扭转时横截面上的内力和应力圆轴扭转时横截面上的内力和应力maxmaxAA = = l ,BB = = l 二、扭转时横截面上的应力二、扭转时横截面上的应力纵线所倾斜的角度即纵线所倾斜的角度即剪应变剪应变，以，以表示。表示。maxmax=l4.6 圆轴扭转时

12、横截面上的内力和应力圆轴扭转时横截面上的内力和应力根据剪切虎克定律剪应力根据剪切虎克定律剪应力与剪应变与剪应变成正比这一关系：成正比这一关系：maxmax=maxmax=maxmax令：，极性矩，位是或；令，抗扭截面模量位是或；截面上任意一nAAA2maxmaxnAmaxmax244Amaxnmaxnmaxnmaxmax33maxT =dT =( dA)= dA = T = dAI = dA ImmmT T =I T =IIW =W,mm =mW称称为为惯惯单单称 圆 为单点的剪力公式： nT =I应4.6 圆轴扭转时横截面上的内力和应力圆轴扭转时横截面上的内力和应力三、剪应力的计算公式三、剪

13、应力的计算公式4.6 圆轴扭转时横截面上的内力和应力圆轴扭转时横截面上的内力和应力四、四、极惯性矩和抗扭截面模量的计算极惯性矩和抗扭截面模量的计算4444)Ddddd心：空心：实实圆圆轴轴圆圆轴轴44334444I =D0.1D32 W =D0.2D16I =(D0.1(D32 W =(D0.2(D164.7 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 nmaxmaxT=W圆轴扭转时的强度条件为圆轴扭转时的强度条件为: : 代入得：nx33ma1W =D166TD 将将为扭转时的许用剪应力，为扭转时的许用剪应力，的值可查阅有关手册。的值可查阅有关手册。一般在静载荷作用下一般在静载荷作用下: 于塑

14、性材料，可取：于脆性材料，可取： = (0.50.6) = (0.81.0) 对对4.7 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件例例4-3 图中有桨式的搅拌器图中有桨式的搅拌器, 搅拌轴上共有上下两层桨叶。已知电动机搅拌轴上共有上下两层桨叶。已知电动机功率功率Pk=17kW，搅拌轴转速，搅拌轴转速n=60r/ min，机械效率是，机械效率是90%，上、下两，上、下两层搅拌桨叶因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占总功率层搅拌桨叶因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占总功率Pk的的35% 和和65%。此轴采用。此轴采用117mm6mm，不锈钢管制成，其许用剪应力，不锈钢管制成，其许用剪应力 =30

15、MPa。试校核此轴的强度。如将此轴改为实心轴，试确定其直径，。试校核此轴的强度。如将此轴改为实心轴，试确定其直径，并比较这两种圆轴的用钢量。并比较这两种圆轴的用钢量。4.8 圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件工程上一般都用工程上一般都用l 为为1m 时的相对扭转角时的相对扭转角0表示扭转变形的大小表示扭转变形的大小,0 的单位为的单位为/m, 如果力矩的单位是如果力矩的单位是kNm , I 的单位是的单位是m4 , l 用用1m表示表示, 则上式可改写为：则上式可改写为：变几几何何形形：由由虎虎克克定定律律得得：又又代代入入得得：maxmaxmaxmaxnnmaxR = ll=

16、G=GRT RT l=,=IGIn0T180 =GI扭转刚度条件：扭转刚度条件：n00T180 =GIG I 称为轴的抗扭刚度称为轴的抗扭刚度, 决定于轴的材料与截面的形状与尺寸。轴的决定于轴的材料与截面的形状与尺寸。轴的G I 值越大值越大, 则扭转角则扭转角0 越小越小, 表明抗扭转变形的能力越强。表明抗扭转变形的能力越强。4.8 圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件0 0n n4444-644444-643 300009-69-6T180T180 =GIGIT = 2.43kN T = 2.43kN m mI = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105

17、)= 5.33I = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105 )= 5.3310m10m2.432.4310 10 180180 = 0.33= 0.33/ m / m 808010 10 5.335.331010例例4-4 试校核例试校核例4-3的搅拌轴刚度的搅拌轴刚度, 已知已知G= 80103 MPa , 0 = 0.5/m。所以，刚度足够。所以，刚度足够。本章习题讲解本章习题讲解习题习题4-4 图示为安装铰刀用的摇动套筒图示为安装铰刀用的摇动套筒, 已知已知T =0.05kNm，销钉的直径为，销钉的直径为6mm，它的许用应力，它的许用应力 =80MPa，设摇动套筒

18、与铰刀柄间的间隙很小，设摇动套筒与铰刀柄间的间隙很小，试核算销钉的剪切强度。试核算销钉的剪切强度。 销销钉钉强强22222 22 2解解：T = FT = F25mm25mmT0.05kN T0.05kN m mF = 2kNF = 2kN25mm25mm25mm25mmQ = F = 2kNQ = F = 2kNdd6 6又又 A = 28.3mmA = 28.3mm4444Q2kNQ2kN= 70.7MPa = 70.7MPa A28.3mmA28.3mm所所以以的的剪剪切切度度符符合合要要求求。本章习题讲解本章习题讲解习题习题4-5 图中键的尺寸为图中键的尺寸为b hl=10mm8mm3

19、5mm，若键的许用应，若键的许用应力力 =60MPa，摇柄套的许用挤压应力，摇柄套的许用挤压应力jy =200MPa。问加在摇柄端部。问加在摇柄端部的力的力F 可以有多大可以有多大? 强强计计键键解解：1 根1 根据据剪剪切切度度算算：Q Q= ， A AQA QA = b= bll60MPa60MPa = 10mm = 10mm35mm35mm60MPa = 21kN60MPa = 21kN用用F 表F 表示示的的外外力力：F = Q21kNF = Q21kN根根据据杠杠杆杆平平衡衡原原理理：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm21kN 15mm21k

20、N 15mm15mmF = 0.42kNF = 0.42kN750mm750mm750mm750mm本章习题讲解本章习题讲解 挤挤压压强强计计综综jyjyjyjyjyjyjyjyjyjy2 根2 根据据度度算算：F F=A Ah hFAFA=ll200MPa = 4mm200MPa = 4mm3535200MPa = 28kN200MPa = 28kN2 2根根据据杠杠杆杆平平衡衡原原理理：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm28kN 15mm28kN 15mm15mmF = 0.56kNF = 0.56kN750mm750mm750mm750mm上上所所述述，力力F最F最大大值值是是0.42kN。0.42kN。本章习题讲解本章习题讲解习题习题4-12 阶梯形圆轴如图所示阶梯形圆轴如图所示, d1=40mm, d2=70mm。已知由轮。已知由轮3 输入的输入的功率功率P3=30kW，轮，轮1 输出的功率为输出的功率为P1=13kW，轴作匀速转动，转速，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用剪应力，材料的许用剪应力=60MPa，G=8104MPa，许用单位，许用单位扭转角扭转角0 =2/m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。为为轴轴匀匀转转动动数数画画图图123123123123解解：因因速速，所所以以：P PT +T