命题及常用逻辑用语教材

1、命题及常用逻辑用语知识点及经典例题习题命题命题的形式：的形式：“若若P, P, 则则q”q”也可写成也可写成 “如果如果P,P,那么那么q” q” 的形的形式式也可写成也可写成 “只要只要P,P,就有就有q” q” 的形的形式式 通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的P叫做叫做命题的命题的条件条件,q叫做叫做结论结论.pq记做记做:用语言、符号或式子表达的，用语言、符号或式子表达的，可以判断可以判断真假真假的的陈述句陈述句称为称为命题命题其中判断为其中判断为真真的语句称为的语句称为真命题，真命题，判断为判断为假假的的语句语句称为称为假假命题命题1、命题命题条件的否定，记作条

2、件的否定，记作“ ”。读作。读作“非非”。若若p 则则q逆否命题：逆否命题：原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：若若q 则则p若若 p 则则 q若若 q 则则 p2 2、四种命题、四种命题结论结论1 1：要写出一个命题的另外三个命要写出一个命题的另外三个命题关键是题关键是分清命题的题设和结论（即分清命题的题设和结论（即把原命题写成把原命题写成“若若P则则Q”的形式）的形式）注意：三种命题中最难写注意：三种命题中最难写 的是的是否命题。否命题。结论结论2 2：（1）“或或”的否定为的否定为“且且”， （2）“且且”的否定为的否定为“或或”， （3）“都都”的否定为的否定为“不不都都”

3、。3 3、四种命题之间的关系、四种命题之间的关系原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 (1)原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否真。但其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。4 4、命题真假性

4、判断、命题真假性判断结论：结论：5 5、充要条件定义、充要条件定义pqqppq如果既有，又有就记做称称:p是是q的的充分必要条件充分必要条件,简称简称充要条件充要条件显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条件的充要条件p与与q互为充要条件互为充要条件(也可以说成也可以说成”p与与q等价等价”)1：填写：填写“充分不必要，必要不充分，充要，充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。既不充分又不必要。1）sinAsinB是是AB的的_条件。条件。2）在）在ABC中，中，sinAsinB是是 AB的的 _条件。条件。既不充分又不必要既不充分又不必要充要条件充

5、要条件注、注、定义法（图形分析）定义法（图形分析）典型例题典型例题2、ab成立的充分不必要的条件是（）成立的充分不必要的条件是（） A. acbc B. a/cb/c C. a+cb+c D. ac2bc2D3.3.关于关于x x的不等式：的不等式：x x+ +x-1x-1m m的的 解集为解集为R R的充要条件是的充要条件是( ) ( ) (A)m (A)m0 (B)m0 0 (B)m0 (C)m (C)m1 (D)m1 1 (D)m1 C1、设集合、设集合M=x|x2,N=x|x3,那么那么”xM或或xN”是是“xMN”的的 A.充要条件充要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分不必

6、要充分不必要 D不充分不必要不充分不必要B注、注、集合法集合法2、aR,|a|3成立的一个必要不充分条件是成立的一个必要不充分条件是 A.a3 B.|a|2 C.a29 D.0a0”是是“|x|0”的的() A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不必要而不充分条件充分条件 C充要条件充要条件 D既不既不充分也不必要条件充分也不必要条件 解析：解析：x0|x|0，|x|0 x0或或xb，则，则2a2b-1”的否命题为的否命题为_ 答案：答案：若若ab，则，则2a2b-1 5已知命题p：xR，sin x1，则() A非p：xR，sin x1 B非p：xR，sin x1 C非p：xR，sin

7、x1 D非p：xR，sin x1 解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题 答案：C 6设设p、q是两个命题，则复合命题是两个命题，则复合命题“pq为真，为真，pq为假为假”的充要条件是的充要条件是() Ap、q中至少有一个为真中至少有一个为真 Bp、q中中至少有一个为假至少有一个为假 C p 、 q 中 有 且 只 有 一 个 为 真中 有 且 只 有 一 个 为 真 Dp为真、为真、q为假为假 答案：答案：C【例【例1】 已已知知 p：|5x-2|3，q： 0，则则非非p是是非非q的什么条件？的什么条件？思维点拨：思维点拨：(1)解绝对值不等式、一元二次不等式解绝对值不等式、一元二

8、次不等式(2)写出写出非非p、非非q. (3)判断判断非非p非非q还是还是非非q非非p.解：解：由由|5x-2|3得得：5x-23或或5x-21 1或或x 0 得得：x2+4x-50 得得：x11或或x-5.非非p：A= ，非非q：B=x|-5x1，AB，非非p非非q且且非非p是是非非q的充分不必要条件的充分不必要条件 【例【例2】 已知函数已知函数f(x)是是(-，+)上的增函数，上的增函数，a，bR， 对命题对命题“若若a+b0，则，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题

9、，判断其真假，并证明你的结论写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：解：(1)(1)逆命题是逆命题是：若若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则则a+b0，真命题真命题用反证法证明：假设用反证法证明：假设a+b0，则则a-b，b-a.f(x)是是(-，+)上的增函数，则上的增函数，则f(a)f(-b)，f(b)f(-a)， f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真这与题设相矛盾，所以逆命题为真(2)(2)逆否命题：若逆否命题：若f(a)+f(b)f(a)+f(b)，则则a+b0，为真命题为真命题因为原命题因为原命题它的逆否命题，所以证明原命题为真命题

10、即可它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可a+b0，ab，ba.又又f(x)在在(，+)上是增函数上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)+f(b)f(a)+f(b)所以逆否命题为真所以逆否命题为真3【例】【例】求证方程求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件有且只有一个负根的充要条件为为a0或或a=1.思维点拨：思维点拨：(1)注意讨论注意讨论a的不同取值情况；的不同取值情况；(2)利用根的判别式求利用根的判别式求a的取值范围的取值范围证明：证明：充分性充分性：当当a=0时，方程变为时，方程变为2x+1=0，其根为其根为x= ，方程只有一负方程只有一负根根当

11、当a a=1=1时，方程为时，方程为x2+2x+1=0，其根为其根为x= 1.1.方程只有一负方程只有一负根根当当a0，方程有两个不相等的根，且方程有两个不相等的根，且 0，方程有一正一负根方程有一正一负根必要性：必要性：若方程若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根有且仅有一负根当当a=0时，适合条件时，适合条件当当a 0时，方程时，方程ax2+2x+1=0有实根，有实根，则则D D=4-4a0，a1，当当a=1时，方程有一负根时，方程有一负根x=1.若方程有且仅有一负根，则若方程有且仅有一负根，则 a0.综上方程综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为有且仅有一负根的充要条件

12、为a0或或a=1.能力提升能力提升3.返回返回6.6.例1 (2011山东卷文)已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3【解】由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若abc3，则a2b2c23”故选择A.【点评】本题考查四种命题的关系尤其考查了否命题的内容，否命题要区别于命题的否定否命题是既否定题设又否定结论，命题的否定是只否定结论1(2011陕西卷)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|

13、a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab【答案】D【解析】只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|b|，则ab”故选择D.2(2010天津卷理)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【答案】B【解析】否命题是既否定题设又否定结论因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”故选择B.【答案】A2(2010山东

14、卷文)设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设an的首项为a1，公比为q，若a11，从而有a1qn1a1qn，即an0，则必有q1，故a10，函数f(x)ax2bxc.若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项的命题中为假命题的是()AxR，f(x)f(x0)BxR，f(x)f(x0)CxR，f(x)f(x0)DxR，f(x)f(x0)【点评】本题结合全称(特称)命题的知识考查了三个“二次”关系，注重考查运算能力，结合二次函数图像研究方程与不等式是通性通法1(2010

15、湖南卷文)下列命题中的假命题()AxR，lg x0 BxR，tan x1CxR，x30 DxR,2x0【答案】C【解析】对于选项C，当x0时，x30 BxN*，(x1)20CxR，lg x0，xy V.D错误故选择A.方法1：取Tx|x(，0)，且xZ，Vx|x(0，)，且xZ0，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭，又取T奇数，V偶数，可得T，V关于乘法均封闭，故排除B、C、D.故选择A.【点评】本题是一道新定义题，主要考查创新意识，本题较为抽象，题意难于理解，但若“以退为进”，取一些特殊数集代入检验，即可解决1(2011高考北京卷文)若p是真命题，q是假命题，则()Apq是真命题Bpq是假

16、命题C非p是真命题 D非q是真命题【答案】D【解析】根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确2(2011天津卷理)设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x2且y2，x2y24，x2且y2是x2y24的充分条件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如当x2且y2时，x2y24亦成立，故x2且y2不是x2y24的必要条件【答案】A考点3 全称与特称命题否定关系全称命题：“所有S是P”否定命题是“存在S非P”“存在S非P”是一个特称命题特称命题：“有的S是P”否定命题是“所有S非P”“所有S非P”是一个全称命题例3 (2011安徽卷理)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数【解】由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定