张子静2015114——相对论习题课

1、哈尔滨工业大学 张子静张子静2狭义相对论狭义相对论1. 狭义相对论的两个基本假设狭义相对论的两个基本假设(1) 相对性原理：相对性原理：(2) 光速不变原理：光速不变原理：在一切惯性系中，物理定律具有相同的形式在所有惯性系中，真空中的光速都具有相同的量值c（填空）（填空）狭义相对论确认，时间和空间的测量值都是 ，它们与观察者的 密切相关。相对的相对的 运动运动狭义相对论：时间+空间+运动广义相对论：时间+空间+引力32. 洛伦兹变换洛伦兹变换uyzOSyzOxSP( , , , )x y z t( , )x y z t (x)速度变换速度变换: :221/xu txuc yyzz2221/ut

2、xctuc 2221/1zzxvvucuvc21xxxvuvuvc2221/1yyxvvucuvc逆变换逆变换221/xutxucyy 2221/utxctuczz2221/1yyxvvucuvc21xxxvuvuvc2221/1zzxvvucuvcu的符号变了的符号变了45(1) 同时性的相对性同时性的相对性221220,(0)1/utxcttttuc (3) 长度收缩长度收缩2201/LLuc3. 相对论运动学效应相对论运动学效应运动的尺收缩运动的尺收缩(2) 时间延缓时间延缓021221/ttuc运动的时钟变慢运动的时钟变慢6(1) 相对论质量相对论质量0221/m vpmvvc200

3、Em c20kEEEmc(6) 能量能量动量的关系动量的关系222240Ep cm c0221/mmvc2020cmmcEEEk4. 相对论动力学关系式相对论动力学关系式(2) 相对论动量相对论动量(3) 静能静能(4) 相对论动能相对论动能(5) 相对论总能量相对论总能量解题建议解题建议1. . 突破旧时空观的束缚，用洛仑兹变换讨论相对论时空概念。突破旧时空观的束缚，用洛仑兹变换讨论相对论时空概念。（1 1）明确）明确 “ “事件（事件（x,tx,t），（），（x,tx,t）” ” ；（2 2）明确）明确“固有时间固有时间”的概念；的概念；（3 3）明确）明确“固有长度固有长度”的概念；的概

4、念；（4 4）区分）区分“两事件的空间间隔两事件的空间间隔”与与“物体运动长度物体运动长度”；2. 2. 熟练运用洛仑兹坐标和速度变换式解决相对运动问题。熟练运用洛仑兹坐标和速度变换式解决相对运动问题。3. 3. 区分相对论质量，动量，能量（动能，静能，总能量）与经区分相对论质量，动量，能量（动能，静能，总能量）与经典理论的差异。典理论的差异。4. 4. 注意运用守恒定律（动量守恒，能量守恒）。注意运用守恒定律（动量守恒，能量守恒）。78例例1. 设想地球上有一观察者测得一艘宇宙飞船以设想地球上有一观察者测得一艘宇宙飞船以0.6c的的速率向东飞行，速率向东飞行，5.0s后该飞船将和一颗以后该飞

5、船将和一颗以0.8c的速率向的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：西飞行的彗星相碰撞。试问：求：求：（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？ （2）飞船上看，再经过多少时间相撞？）飞船上看，再经过多少时间相撞？0.6c0.8c飞船飞船慧星慧星9【解解】设地面为设地面为 S系，飞船为系，飞船为 S 系系vu、分别为飞船、彗星相对地面的速度分别为飞船、彗星相对地面的速度根据洛仑兹变换，根据洛仑兹变换，在飞船系中，彗星的速度在飞船系中，彗星的速度xxvcuuvv21 cccccc946. 08 . 06 . 016 . 08 . 02 （沿（沿 - x 方向）方向）飞船飞船彗星彗星0

6、0SSuxx v小于光速小于光速c.（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？10方法一方法一.(2) 飞船上看，再经过多少时间相撞？飞船上看，再经过多少时间相撞？利用利用“原时原时”和和”“”“两地时两地时”的关系的关系事件事件1：飞船飞船被地面上的人看到被地面上的人看到事件事件2：飞船飞船与彗星相撞与彗星相撞 在飞船上看是原时在飞船上看是原时 t 这两事件，在地面上看是两地时这两事件，在地面上看是两地时 ts48 . 05)/6 . 0(15/1222 cccutt11方法二方法二.利用洛仑兹变换利用洛仑兹变换s46 . 0156 . 06 . 05/122222 ccc

7、cccuxcutt设：事件设：事件1（飞船飞船被地上人看到）被地上人看到） （ x1，t1 ）（）（ ）x 1，t 1事件事件2（飞船飞船与彗星相撞）与彗星相撞） （ x2，t2 ）（）（ ）x 2，t 2飞船飞船彗星彗星00 SSuxx1x2x vt1t2tux 12例例2. 一发射台向东西两侧距离均为一发射台向东西两侧距离均为L0 的两的两个接收站个接收站E与与W发射讯号发射讯号, 如图如图, 今有一飞今有一飞机以匀速度机以匀速度v沿发射台与两接收站的连线沿发射台与两接收站的连线由西向东飞行，由西向东飞行，求求:在飞机上测得两接收在飞机上测得两接收站收到发射台同一讯号的时间间隔是多少站收到

8、发射台同一讯号的时间间隔是多少? WE0L0L解: 设东西接收站接收到讯号为两个事件，时空坐标为地面为S系(xE , tE)，(xW , tW)；飞机为S系(xE, tE)，(xW, tW)000cLcLtttWE2022222-(-)-2-1-/1-/EWEWvtxxL vctttvccvc 负号表示东先接收到讯号。由洛仑兹时空变换得13例例3. 飞船以飞船以0.6c沿地面接收站与飞船连线方向向外飞沿地面接收站与飞船连线方向向外飞行，飞船上的光源以行，飞船上的光源以T0 = 4s 的周期向地球发光脉冲。的周期向地球发光脉冲。求：求：地面接收站接收到的脉冲周期。地面接收站接收到的脉冲周期。讨论

9、：讨论：甲说：甲说：飞船上的发生器飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点，先后两次发出脉冲是在同一地点，应是原时，应是原时，所以，地面测量周期为所以，地面测量周期为 4 1.25=5s.对不对？对不对？接收站接收站u25. 16 . 01111222 cccu 14他们两人都不对。他们两人都不对。因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件不是简单的原时与两地时的关系。不是简单的原时与两地时的关系。乙说：乙说：地面上的接收站地面上的接收站相继两次接收脉冲是在同一地点，相继两次接收

10、脉冲是在同一地点，这才是原时，这才是原时，他们两人谁对？他们两人谁对？正确做法如下：正确做法如下：所以。接收周期应为所以。接收周期应为 4 /1.25=3.2s.【答答】15【解解】地面参考系：地面参考系：飞船飞船相继相继两次发出脉冲（两事件）两次发出脉冲（两事件）的时间差的时间差02Txcutt )(0T0飞船飞船相继两次发出脉冲的空间距离相继两次发出脉冲的空间距离tux 接收站接收站11,tx22,txutu 接收站接收到的接收站接收到的 脉冲周期脉冲周期 应是相继两次脉冲到达接收站的时间差应是相继两次脉冲到达接收站的时间差直接由洛仑兹变换直接由洛仑兹变换16接收站接收站11,tx22,t

11、xutu 相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 （即（即地面接收站地面接收站所测量的周期）所测量的周期）)(cutcxtT 1sccTccccTucuc844 . 06 . 16 . 06 . 000 cuT10 17接收站接收站11,tx22,txutu 地面参考系：地面参考系：02Txcutt )(相继相继两次发出脉冲两次发出脉冲仍有仍有 )(cutcxtT1相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 sTucuc20 如果飞船接近接收站结果又怎样？如果飞船接近接收站结果又怎样？18例例4. 两只宇宙飞船两只宇宙飞船, 彼此以彼此以

12、0.98c的相对速率相对飞过对方。的相对速率相对飞过对方。宇宙飞船宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长度为自己宇的长度为自己宇宙飞船长度的宙飞船长度的2/5。求。求: (1)宇宙飞船宇宙飞船2与与1的静止长度之比的静止长度之比? (2)飞船飞船2中的观察者测得飞船中的观察者测得飞船1的长度与自己飞船长度之比的长度与自己飞船长度之比?解: (1)设飞船1为S,飞船2为S，静长分别为L10，L20，飞船1测飞船2的长度为L2 ,飞船2测飞船1的长度为L1 由题意:5/2/102LL由长度收缩:2202)/(1cuLL2)/(152121020cuLL(2)1 .

13、 0)/98. 0(1212)/(1210210201ccLcuLLL19例例5：一光源在：一光源在S系的原点系的原点O发出一光线，其传播方向在发出一光线，其传播方向在xy平面内与平面内与x轴夹角为轴夹角为，试求在，试求在S系中测得的此光线的传系中测得的此光线的传播方向，并证明在播方向，并证明在S系中此光线的速率仍为系中此光线的速率仍为c。解：在S系中光的传播速度u = c. 由洛伦兹速度变换可得在S系中光的两个分速度分别为：22coscoscoscos111xxxuvuvcvuuvvu vccc 222222221sin1sin1coscos111yyxuvcuvccvcuvu vuvccc

14、 2022sin1arctanarctancos/yxuvcuv c 由此得在中光线与轴的夹角为：而光的速率为 221222222122222cossin1coscos2coscosxyvuucvvcccvccvvcccvc 21例例6：思考：两把米尺，各相对于地面以思考：两把米尺，各相对于地面以u远离远离, 求在一把尺求在一把尺上测得的另一把尺的长度。上测得的另一把尺的长度。解：则a尺相对于地面（S系）的速度为：取向右为正，uvx以b尺为S系，则可求得a尺相对于S系的速度为：22)(121cuucuvuvvuxxxu2020)(11LcuLL从而，022)(1)(1LcucuuuSab例例7

15、： 一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a，宽为，宽为b，质量质量 为为m0，由此可算得其面积密度为，由此可算得其面积密度为m0/ab，假定该薄板沿，假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动，此时再测算作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积该矩形薄板的面积 密度为多少？密度为多少？22/v1caabam解解:根据相对论长度收缩效应，将测得沿运动方根据相对论长度收缩效应，将测得沿运动方向长度收缩为向长度收缩为22220/v1/v1cabcm22v1c2223解 : 根据功能原理, 要作的功AE 根据相对论质能关系式222

16、1Em cm c 根据相对论质量公式0221mmvc 10,mm 022221mmvc ( 1 ) 当 10,v 20.1vc 时22160022234.12 1012.58 10m cAm cJvcMeV 例例 8. 一个电子从静止加速到一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要做多少功的速度需要做多少功? 速度从速度从 0.9c 加速到加速到 0.99c又要做多少功又要做多少功? me = 9.109389710-31 Kg, 1 J = 6.2415061012 MeV.24,u122101cmm22202u1cmm( 2 ) 当 ,9 . 0u1cc99. 0u2时2212022220

17、u1u1ccmccmA133.93 102.46JMeV25例例9 9. . 静能为静能为0.5110.511MevMev的电子具有的电子具有5 5倍于它的静能的总能量，倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率试求它的动量和速率 。解：解：222240 EP cm cE = 5m0c2224210/1.335 10/pEm cckg m s220.98EcpvvpccE质能关系式质能关系式动量公式动量公式2Emcpmv26例例10. 已知二质点已知二质点A, B静止质量均为静止质量均为m0，若质点，若质点A静止，质点静止，质点B以以6m0c2的动能向的动能向A运动运动, 碰撞后合成一粒子碰撞后

18、合成一粒子, 无能量释放。求无能量释放。求: 合成粒子的静止质量合成粒子的静止质量M0?解: 二粒子的能量分别为202020B20A76cmcmcmEcmE ，由能量守恒, 合成后粒子的总能量为20BA8cmEEE 由质能关系: E=Mc2 08mM 由质速关系:220220/18/1cvmcvMM关键求复合粒子的速度v = ?由动量守恒:BBApppp 27MpvMvpBB ，对B应用能量与动量关系, 即42022B2BcmcpE 2202B48cmp 22022022B2436448cmcmMpv 022004/18mcvmM28例例11： 请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。1phec2p证明：证明：12hpepc(1)222422241020p cm chp cm c(2)根据余弦定理根据余弦定理(1)式式2222221122p chch p ep c 即：即：2222221122cosp chp chp c(3)1p2p设相互作用前后电子的动量分别为设相互作用前后电子的动量分别为 和和 ，光子的频率为光子的频率为 ，电子的静止质量为，电子的静止质量为 m0 。根据动量守恒定律和能量守恒定律可知：根据动量守恒