初三数学旋转相似讲义

1、专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件：CD/AB（本质即为OC及OAtB,将OC璘点O旋转到图1和图2的位置。结论：、OC8OABUOA8OBD即连接对应点所得的一对新三角形相似。E、B四点共圆）、延长AC交BD于点E,则/AEB1BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、。模型特例：共直角顶点的直角三角形相似AA当/AOBWCOD=90时，除、OC8OAB仁OA8OBD、延长AC交BD于点E,则/AEB4BOA=90（用蝴蝶形图证明）外，还有结论、BDOO-tan.OCD=tan.OABACOCOA、因为ACLBD于点E,那么，若连ADBC,则四边形ABCD寸角线互相垂直，则

2、1 .S四边形ABCD=_ACBD22222AD2BC2=AB2CD2例题讲解例1.已知ABC与DEF都是等腰三角形，AREF的中点均为O,且顶角/ACBhEDF.(2)如图2,3,、BF右tanZACB=,求=的值;4CD(1)如图1,若/ACB=90，探究BF与CD间的数量关系;12=a4(3)如图3,若ABC中AC=BC=a,将DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H,则SCH最大值为(用含a的式子表示)。分析:(1)连OCODOBfAOCDBF=CDO>D-F-AC(2)构造手拉手旋转相似。可证OB6OFD,AODCAOFBBFOB1/赤=KT，tan/ACBCDOC23.

3、1,问题转化为已知tan/ACB-,求tanZACB的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。,一一一1,_1由右图提示可得tan-ZACB=1；23(3)由(2)aOBaOFD,OD8AOFEB蝴蝶形图易得/CHBWCOB=90;又BC=a,定边定角,一，1,1点H在以BC为直径的圆上，易求(S由CHmax=3例2.如图1,已知在正方形ABCL口正方形求DF的值AGDBEFG中，求证：AG=CE;分析：如图2,证ABGCBE,AG=CE如图2,连接BD,BF,DF,易证里=变=J5,ZDBC=/FBE=45)BCBE/DBF/CBEADBF-ACBE.-2CEBCvAG=CE

4、.空二空2AGCE的值AH变式：如图3,正万形ABCDF口EFGHfr,O为BCEF中点(1)求证：AH=DG;(2)求CF分析：(1)连接OA,OH,OD,OG,易证：zAOH-ADOGAH=DG(2)OEEHOBABAABO-AHEO,AOB"HOE,AOH=.BOE,pOEOH又；一=,OBOA.OBEAOAH,也;"5BEBO易证BOE三COF,BE=CF,AHCfDE例3.如图，/ACB=ZDCE=90,/ABC=/CED=/CAE=30,AC=3,AE=8,求AD的长。分析：连接BE由基本图形易得3,可证AC及BCEAD=三BE/BAE=90在RtABEf乍，由

5、勾股定理求得BE=10则AD=103练习1.如图，点A是ADBC内一点，AB=2J3,BC=8,/ABC=600,/DAC=1200,AD=AC,求BD得长。一，JE法分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习2.如图，在ABC中，/ACB=90°,BG=2ACF、G分别为ACBC的中点，将CFGg点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.(1)求证：AF±BG(2)当旋转角小于90。时，求2A1BI的值;CI(3)若AC=4,直接写出ACI面积的最大值图1图Z分析：(3)需分析出I点轨迹，由A、CI、B四点共圆可得/AIC=/ABC又AC=4

6、定边定角得I轨迹为圆弧。练习3.将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，/A=90°,AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将ADE绕点A逆时针旋转(旋转角不超过180°),BD的延长线交直线CE于点P.(1)如图2,BD与CE的数量关系是,位置关系是;(2)在旋转的过程中，当ADLBD时，求CP的长；(3)当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长.图1图2分析：(1) BD=CEBDXCE(2) BDXCE,ADXBD,./ADP=/DPE=90°又/DAE=90°,AD=AE,二.四边形ADPE为正方形.AB=2AD=4,PE=AD=2.CE=BD=4AB2-AD2=25.CP=23-2(3)取BC中点O,连接OA、OP在旋转过程中，BDXCE,BPC=90°1.-OP=£BC=2.2.点P的运动路径是以O为圆心、半径为2址的一段圆弧即ABC外接圆的一部分则/AOP=2ZABP易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动当BP与半圆A相切于点D时，/ABP最大，从而/AOP最大1AD=2AB,，/ABP=30,AOP=60即当ADE从初始位置旋转60°时，点P沿