数值分析例题

1、数数 值值 分分 析析第一章第一章 绪论与误差分析绪论与误差分析1 1 绪论：数值分析的研究内容绪论：数值分析的研究内容2 2 误差的来源和分类误差的来源和分类3 3 误差的表示误差的表示4 4 误差的传播误差的传播5 5 算法设计的若干原则算法设计的若干原则 例例1-3 1-3 设设 x*=2.18是由精确值是由精确值x 经过四舍五入得到的经过四舍五入得到的近似值。问近似值。问 x的绝对误差限的绝对误差限和相对误差限和相对误差限各是多少？各是多少？解：解：因为因为 x=x * 0.005 ， 关于近似数误差的大小除了用绝对误差、相对误差关于近似数误差的大小除了用绝对误差、相对误差度量以外，还

2、可以用有效数字度量，下面给出有效数字度量以外，还可以用有效数字度量，下面给出有效数字的概念。的概念。 所以所以绝对误差限绝对误差限为为=0.005%23.018.2005.0* x 相对误差限相对误差限为为1415926. 3 001. 01 14159. 3,142. 3,14. 3321 三、有效数字三、有效数字一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得，例如一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得，例如取以下近似数取以下近似数 可以发现每一个近似数的绝对误差限都不超过近似数可以发现每一个近似数的绝对误差限都不超过近似数末尾数位的半个单位。如果一个近似数满足这个条件，末尾数位的半个单位。

3、如果一个近似数满足这个条件，就把这个近似数从末尾到第一位非零数字之间的所有数就把这个近似数从末尾到第一位非零数字之间的所有数字叫做字叫做有效数字有效数字。0004. 02 000002. 03 21021005. 0 310210005. 0 51021000005. 0 则分别得到这些近似数的绝对误差则分别得到这些近似数的绝对误差结论：结论：通过四舍五入通过四舍五入原则求得的近似数，原则求得的近似数，其有效数字就是从末其有效数字就是从末尾到第一位非零数字尾到第一位非零数字之间的所有数字。之间的所有数字。则称近似数则称近似数 x* 具有具有 n 位位有效数字有效数字。定义定义1.3 设数设数

4、x 的近似值可以表示为的近似值可以表示为mnx10. 021* 其中其中 m 是整数是整数,i (i=1,2, , n) 是是0到到9 中的一个数字，中的一个数字，而而1 0. 如果如果其绝对误差限为其绝对误差限为例如近似数例如近似数 x*=2.0004 ，其绝对误差限为其绝对误差限为由科学计数法由科学计数法 x* = 0.20004101 得到得到514*10211021 xx故，该近似数有五位有效数字故，该近似数有五位有效数字。*41102xx是末尾数是末尾数位的半个位的半个单位，即单位，即由四舍五由四舍五入得来入得来小结：由科学计小结：由科学计数法表示的数字数法表示的数字，若其绝对误差，

5、若其绝对误差限满足不等式，限满足不等式，则有则有n位有效数字位有效数字*1102m nxx 例例1-4 1-4 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：判定它们各有几位有效数字： 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。也可以通过绝对误差限来判断。有有5 5位有效数字。同理可以写出位有效数字。同理可以写出可以得出可以得出 x2 , x3 , x4 各具有各具有4、3、4 位有效数字位有效数字。 x1* =87540，x2*=875410, x3*

6、=0.00345, x4*= 0.3450 10-21112xx510.87540 10 x而55111021 xx所以1221102xx 520.875410 x 54221102xx 5331102xx 6441102xx 230.34510 x 240.345010 x -23331102xx 24441102xx 已已知知*11 02mnxx 例例1-4 已知已知 e =2.718281828, 试判断下面两个近似试判断下面两个近似数各有几位有效数字数各有几位有效数字？6110210000005. 00000001. 0 ee718281. 2,718282. 221 ee615210

7、211021000005. 00000008. 0 ee解解：由于由于而而11102718282. 0718282. 2 e所以所以7161102110210000005. 00000001. 0 ee e1有有7 7位有效数字。同理：位有效数字。同理：e2 只有只有6 6位有效数字。位有效数字。三、绝对误差、相对误差、有效数字的关系三、绝对误差、相对误差、有效数字的关系2 2、绝对误差与有效数字的关系、绝对误差与有效数字的关系xxxxexxxer*)(,)( ,)()(xxexer 得到得到：1 1、绝对误差与相对误差的关系、绝对误差与相对误差的关系nmxx 1021* 可以知道：有效数字位

8、数越多，绝对误差限越小。可以知道：有效数字位数越多，绝对误差限越小。由关系式：由关系式：)()(xxexer 或或者者mnx10. 0*213 3、相对误差与有效数字的关系、相对误差与有效数字的关系由近似数由近似数得到相对误差限得到相对误差限nmxx 1021* 可以看出：可以看出：有效数字位数越多，相对误差限越小。有效数字位数越多，相对误差限越小。及及12*0.10mnx112.10mn 1110m*(1)11111012( )10102m nnrmxxe xxaa 解解：由于由于 ，则近似值则近似值 x* 可写可写为为4.420 12*0.10nx = = L L041 例例 1-5 为了

9、使为了使 的近似值的相对误差小于的近似值的相对误差小于 10-3，问应取几位有效数字？问应取几位有效数字？ 20 x根据根据)1(111*1021101021)( nmnmrxxxxe 3)1(1010421 n只要只要即可即可,解得：解得：n4 ， 故只要取故只要取 n=4 , 就可满足要求就可满足要求。即应取即应取 4 4 位有效数字位有效数字，472135.420 准确数为准确数为：此时此时 x =4.472 . 练习练习1.1: 判断下列近似数个有几位有效数字，用判断下列近似数个有几位有效数字，用绝对误差限表示。绝对误差限表示。注意注意：精确值的有效数字可以认为有无限多位。如：精确值的

10、有效数字可以认为有无限多位。如：50000.021 x1*=24.67x2*=385010 3x3*=0.674210 -2x4*=0.000374x5*=0.8400 习习 题题 一一 1-1 1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000 1-2 下列近似值的绝对误差限都是下列近似值的绝对误差限都是0.005, a=-1.00031 , b=0.042 , c=-0.00

11、032试指出它们有几位有效数字。试指出它们有几位有效数字。 1-3 为了使为了使 的近似值的相对误差小于的近似值的相对误差小于0.01%，试，试问应取几位有效数字？问应取几位有效数字？10 1-4 求方程求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四位的两个根，使它们至少具有四位有效数字有效数字 .964.553132 1-6 设设 ,假定假定 g 是精确的，而对时间是精确的，而对时间 t 的测的测量有量有 0.1s 的误差。证明：当的误差。证明：当t 增大时增大时，S 的绝对误的绝对误差增大而相对误差减小差增大而相对误差减小. .221gtS 1-5 若取若取 及初始值及初始值 y

12、0=28 ,按递推公式按递推公式983.27783 , 2 , 1,78310011 nyynn 计算计算 y100，试估计试估计y100 有多大误差有多大误差。第二章第二章 代数插值代数插值求解求解 L1(x)=a1 x+a0ixiy0 x1x0y1y已知已知使得使得 f(x) L1(x), x x0 , x1.10100101yxxxxyxxxx 根据点斜式得到根据点斜式得到)()(0010101xxxxyyyxL )(1xLy )(xfy 0 x1xOxy如果令如果令1010)(xxxxxl 0101)(xxxxxl 则称则称 l0(x) , l1(x)为一次插值多项式的为一次插值多项式

13、的基函数基函数。这时。这时：并称其为一次并称其为一次Lagrange插值多项式。插值多项式。 0)(, 1)(1000 xlxl1)(, 0)(1101 xlxlf(x) L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)求解求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0使得使得 f(x) L2(x), x x0 , x2.关于二次多项式的构造采用如下方法：令关于二次多项式的构造采用如下方法：令已知已知ixiy0 x1x0y1y2x2y并由插值条件并由插值条件得到得到)(20100 xxxxyA )(21011xxxxyB )(12022xxxxyC L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0

14、)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2于是得到于是得到2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 则有则有 jijixlijij, 0, 1)( f(x) L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x) 2020jjijijiiyxxxx)()()(2010210 xxxxxxxxxl 如果令如果令)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 并称其为二次并称其为二次La

15、grange 插值多项式。插值多项式。 紧凑格式紧凑格式则称则称 l0(x) , l1(x)，l(x)为二次插值多项式的为二次插值多项式的基函数基函数。这时。这时：这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式 20202)(jjijijiiyxxxxxL紧凑格式紧凑格式 这样就得到在区间这样就得到在区间a,b上关于上关于 f(x) 的近似计算式的近似计算式 202)()(jjjxlyxL基函数表示基函数表示 jjjjyxxxxxL 20332)()()()( 3(x)表示式表示式 ,),()(202xxxxLxf 下面给出下面给出n次拉格朗日

16、插值多项式的构造次拉格朗日插值多项式的构造。已知已知n+1组离散数据组离散数据ixiy0 x1x0y1ynxny按照二次按照二次Lagrange插值多项式的构造方法，令：插值多项式的构造方法，令：)()()()()()()(110201210 nnnnnxxxxxxAxxxxxxAxxxxxxAxL将插值条件将插值条件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：代入，得到：)()(0201000nxxxxxxyA 同理，由插值条件同理，由插值条件 Ln( x1 )= y1 ，得到：得到：)()(1210111nxxxxxxyA ),(),()!1()()()()(1)1(baxnfxLxfxRnn

17、nn 对于误差估计式对于误差估计式当当n=1时时)(! 2)()()()(1011xxxxfxLxfxR 如果如果)(max,2xfMbax 存在，则可以估计误差限：存在，则可以估计误差限：)(max)(max21)(10,11010 xxxxxfxRxxxxxx 20122012)(814)(21xxMxxM 于是，得到如下于是，得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计插值多项式及其误差估计这里这里 f(x) =Ln(x)+Rn(x)当当 f(x) Ln(x) 时，误差为时，误差为Rn(x)。),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn njjijinjiinyxxxxxL

18、00)(jnjjnjnnyxxxxxL 011)()()()( )()()(2103xxxxxxx 例例2 已知已知分别用线性插值和二次插值计算分别用线性插值和二次插值计算 sin0.3367.352274. 036. 0sin,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin 解：设解：设36.0,34.0,32.0210 xxx352274. 0,333487. 0,314567. 0210 yyy（1）取）取 x0 ,x1 作线性插值作线性插值101001011)(yxxxxyxxxxxL )32. 0(02. 0333487. 0)34. 0(02. 031456

19、7. 0 xx于是于是330365.0)3367.0(3367.0sin1 L关于误差，由关于误差，由)(2sin)(!2)()(10101xxxxxxxxfxR 得到：得到：)34. 03367. 0)(32. 03367. 0(333487. 021)3367. 0(1 R510918923. 0 0.320.3250.330.3350.3400.20.40.60.810.320.3250.330.3350.340.310.3150.320.3250.330.3350.34)(max)(max21)(10,11010 xxxxxfxRxxxxxx （2 2）. .取取 x0 ,x1 ,x2

20、 作二次插值作二次插值330374.0)3367.0(3367.0sin2 L2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 得到得到 关于误差，由关于误差，由)()(6cos)()(! 3)()(2102102xxxxxxxxxxxxfxR )()(6cos)()(! 3)()(2102102xxxxxxxxxxxxfxR 得到得到)36. 03367. 0)(34. 03367. 0)(32. 03367. 0(161)3367. 0(2 R610107000. 0 0.320.330.340.350.36

21、-0.200.20.40.60.811.20.320.330.340.350.360.310.3150.320.3250.330.3350.340.3450.350.355本节本节(2 )要点要点1. 掌握掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构插值多项式的构造方法及具体结构2. 掌握掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和结果插值多项式误差分析方法和结果3. 编写编写Lagrange插值多项式计算程序进行实际计算插值多项式计算程序进行实际计算练习练习 ：已知函数已知函数y=f(x)的如下离散数据的如下离散数据x012y2312(1). 试用线性插值求函数在试用线性插值求函数在

22、 x= 1.5处的近似值。处的近似值。(2). 试用二次插值求函数在试用二次插值求函数在 x= 1.5处的近似值。处的近似值。1)(5 xxxf2,2,2,2,2,2543210f2,2,2,2,2,2,26543210f)!1()(,)1(10 nfxxxxfnn ! 5)(2,2,2,2,2,2)5(543210 ff 1! 5! 5 !6)(2,2,2,2,2,2,2)6(6543210 ff 0 ,)()(,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN )4)(3)(2)(1(5 . 0)3)(2)(1(2)2)(1(4)1

23、(20)(4 xxxxxxxxxxxN28125. 0329)5 . 1()5 . 1(4 Nf)5)(4)(3)(2)(1( 1 . 0)()(45 xxxxxxNxN)5 . 1()5 . 1(5Nf )55 . 1)(45 . 1)(35 . 1)(25 . 1)(15 . 1(1 . 0)5 . 1(4 N328125. 028125. 0 609375. 0 关于离散数据：关于离散数据：构造了构造了lagrange插值多项式：插值多项式：),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn njjijinjiinyxxxxxL00)(Newton插值多项式：插值多项式：,)()(

24、,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN 根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍面加以介绍ixiy0 x1x0y1ynxny4.2 4.2 分段线性插值分段线性插值为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼近为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼近原函数。原函数。oxy1 ixix0 xnx设设 y=f(x) 在节点在节点a = x0 x1 xn= b 处的函数值为处的函数值为yi = f (xi) , i=0,1,2,n . 这时的插值函数为分段函数：这

25、时的插值函数为分段函数： , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxxxsxxxxsxSnixxxxyxxxxyxSiiiiiiiii, 2 , 1,)(1111 在区间在区间 上的线性函数为上的线性函数为,1iixx 误差为：误差为：)(! 2)()()()(1iiiiixxxxfxSxfxR iiixx 11 iiixxh,8)(412221iiiiihMxxM 则有：则有：)(2)()(1iiiixxxxfxR 令令1max( ) ,iiixxxMfx )(max)(max211,11iixxxxxxxxxxxfiiii 可以按如下的方式考虑：可以按如下的方式考虑：关

26、于整体误差：关于整体误差：)()()(xSxfxR 于是于是, ,当当 h 0 时，分段线性插值时，分段线性插值S(x) 收敛于收敛于f(x) 。值值得注意的是：分段线性插值虽然有很好的收敛性质，得注意的是：分段线性插值虽然有很好的收敛性质，但却不是光滑的。也就是说，但却不是光滑的。也就是说，S(x)的导数不一定存在！的导数不一定存在！)(max)()()(1xRxSxfxRini 211maxmax81iniinihM 28hM 若记若记 则对任一则对任一 x a,b 都有都有,max1inihh ,max1iniMM 下面我们就考虑在节点处可导的插值多项式的构造。下面我们就考虑在节点处可导

27、的插值多项式的构造。4.3 分段分段Hermite 插值插值 分段线性插值多项式分段线性插值多项式S(x),在插值区间在插值区间a,b上只能保上只能保证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分段插值多项式，可采用分段段插值多项式，可采用分段Hermite插值。插值。 如果已知函数如果已知函数y=f(x) 在节点在节点a = x0 x1 xn= b 处处的函数值和导数值：的函数值和导数值：则在小区间则在小区间x i-1 , xi 上有四个插值条件：上有四个插值条件：故能构造一个三次多项式故能构造一个三次多项式 Hi(x) 并称其为并称其为三次

28、埃尔米三次埃尔米特特(Hermite)插值多项式插值多项式。 yk=f(xk), yk=f (xk) , k=0,1, ,n yi-1=f(xi-1), yi=f (xi) , y i-1=f (xi-1), yi=f (xi) , iiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxH3211321)( 2)( 2)( 代入下式代入下式)()()()()(1111xyxyxyxyxHiiiiiiiii 得到得到iiiiiiiiyhxxxxyhxxxx 2211221)()()(这样，便求出了分段三次这样，便求出了分段三次Hermite插值多项式：插值多项式： , )(, )(, )()(12

29、12101nnnxxxxHxxxxHxxxxHxH关于误差，若关于误差，若f(x)在在a,b具有具有4阶连续导数，可推阶连续导数，可推得得 221)4()()(! 4)()()()(iiiiixxxxfxHxfxR iiixx,1 其中其中如果记如果记)(max)4(1xfMiixxxi 则有：则有：21,)(max!4)(1iixxxiixxxxMxRii 224! 4 iihM4438416! 4iiiihMhM 即即., 2, 1,384)(4nihMxRiii 关于整体误差，若关于整体误差，若 f(x) C4a,b , ,则可按如下方式考虑：则可按如下方式考虑：)(max)()()(1

30、xRxHxfxRini 41384maxiinihM411maxmax3841iniinihM 记记iniMM 1maxinihh 1max则有：则有：4384)(hMxR 于是于是,当当h 0 时，时，R(x) 0.说明分段说明分段三次三次Hermite插值插值 H(x) 收敛于收敛于f(x) 。 本节本节( (4 )4 )问题问题2.2.分段线性插值有何优缺点？如何估计误差？分段线性插值有何优缺点？如何估计误差？ 4.4.如何分段线性插值算法的程序设计？如何分段线性插值算法的程序设计？1.1.何为高次插值的何为高次插值的Runge 现象，应如何避免？现象，应如何避免？ 3.3.分段三次分段

31、三次Hermite插值有何优缺点插值有何优缺点, ,如何估计误差如何估计误差221)4()()(! 4)()()()(iiiiixxxxfxHxfxR ix0 x1x2x)(ixf0y1y2y)(ixf 0y 5.5.如何构造满足以下条件的插值多项式并估计误差？如何构造满足以下条件的插值多项式并估计误差？ 2. 三次样条函数的定义三次样条函数的定义 已知函数已知函数y=f(x) 在节点在节点a = x0 x1 xn= b 处的函处的函数值为数值为如果函数如果函数 S(x) 满足条件：满足条件：（2）S(x) 在子区间在子区间xi-1 ,xi上是不超过上是不超过三次的多项式；三次的多项式； 则称

32、则称S(x) 是三次样条插值函数。是三次样条插值函数。（3）S(x) 在在a,b具有二阶连续导数；具有二阶连续导数；yk =f( xk) , k=0,1,2, ,n（1） S(xk)=yk ， k=0,1,2, ,n；常用的边界条件有以下几种：常用的边界条件有以下几种：边界条件边界条件1m： 00(),()nnS xyS xy 00 )(,)(nnyxSyxS 边界条件边界条件2M： )0()0()0()0()0()0( 0 00nnnxSxSxSxSxSxS边界条件边界条件3：假定函数假定函数y=f(x)是以是以b-a 为为周期的周期函周期的周期函数，这时要求数，这时要求S(x) 也是周期函

33、数，即也是周期函数，即 这样我们便可以具体求出样条函数来这样我们便可以具体求出样条函数来。1, 2 , 1,211 nigmmmiiiiii 11 iiiihhh 令：令：11 iiiiihhh iiiiiiiiihyyhyyg1113 iiiiiixxfxxf,311 于是于是11hhhnn 1hhhnnn ),(3110nnnnnxxfxxfg 得到得到00,nnmymy 这样，我们只需要求出这样，我们只需要求出 m0 ,m1 ,m n 即可即可。 边界条件边界条件1： 00(),()nnSxySxy 这时方程这时方程 11121232212121101222nnnnnngmmmgmmmg

34、mmm 改写为：改写为： nnnnnnygmmgmmmygmm11121232212011211222 或者，表示为矩阵方程或者，表示为矩阵方程 112201112211222212222nnnnnnnnnygggygmmmm (2.4)由于由于 k+k =1 , ,方程方程（2.4）的系数矩阵是严格对角占优矩的系数矩阵是严格对角占优矩阵，方程阵，方程（2.4）有惟一解，并可用追赶法求解。有惟一解，并可用追赶法求解。便得到三次样条函数：便得到三次样条函数： 解出解出m0 ,m1 ,m n 以后，代入下式以后，代入下式iiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxS3211321)( 2)

35、( 2)( iiiiiiiimhxxxxmhxxxx2211221)()()( , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxxxsxxxxsxSnni, 1, 2 , 1 也就是：也就是：00(),()nnSxySxy边界条件边界条件2： 00 1)0(yxS )0(nnnyxS 已知：已知：故可以得到故可以得到 )(642)0(121 iiiiiiiiiyyhmhmhxS)(624)0(121111 1iiiiiiiiiyyhmhmhxS 2)(32 0110110yhhyymm 0g 2)( 32 11nnnnnnnyhhyymm ng 将将 11121232212121

36、101222nnnnnngmmmgmmmgmmm 2)(32 0110110yhhyymm 0g ng 2)( 32 11nnnnnnnyhhyymm 与前面得到的方程组与前面得到的方程组结合，可以给出求解结合，可以给出求解 m0 ,m1 ,m n 的方程组：的方程组： nnnnnnggggmmmm1101101111212212 求解此方程组，也可以求出三次样条函数。求解此方程组，也可以求出三次样条函数。 nnnnnnnnngmmgmmmgmmmgmm2222111121121101010 (2.5)或者表示为矩阵方程或者表示为矩阵方程 )0()0()0()0()0()0( 0 00nnnx

37、SxSxSxSxSxS由第一个等式和第二个等式得到由第一个等式和第二个等式得到 y0=yn ,m0=mn边界条件边界条件3：周期边界条件周期边界条件由第三个等式说明由第三个等式说明)0()0( 0 1 nnxSxS11hhhnn 1hhhnnn ),(3110nnnnnxxfxxfg 令令得到得到nnnnngmmm 112 结合得到结合得到与与 11121232212121101222nnnnnngmmmgmmmgmmm 将将nnnnngmmm 112 nnnnnnnnnnngmmmgmmmgmmmgmmm11111121232212112112222 表示为矩阵方程：表示为矩阵方程： nnn

38、nnnnnggggmmmm1211211122112222 (2.6) 其系数矩阵称作周期三对角矩阵，也是严格对角占其系数矩阵称作周期三对角矩阵，也是严格对角占优优 ，因而方程组有唯一解。，因而方程组有唯一解。三次样条函数三转角算法的实现流程三次样条函数三转角算法的实现流程Step1: 输入节点输入节点x0 ,x1 , xn ,函数值函数值y0 ,y1 , yn、 边界条件及边界条件及 x.Step3: 根据边界条件，求解相应的方程组得到根据边界条件，求解相应的方程组得到 m0 , m1 , , mnStep2: 计算计算1, 2 , 1 ni11 iiiihhh 11 iiiiihhh ii

39、iiiiixxfxxfg,311 Step4: 判断判断 xx i-1 , xi ?Step5: 计算计算 y si(x)Step6: 输出输出 y0)3(, 1)0(, 1)3(, 0)2(, 1) 1 (, 0)0( ffffff212121 hhh 例例4 4 已知函数已知函数y=f(x) 的如下数据的如下数据, ,试求其在区间试求其在区间0,30,3上的三次样条插值函数上的三次样条插值函数S(x)。 解解 这里边界条件是这里边界条件是0)3(, 1)0( SS3, 2, 1, 03210 xxxx设设1, 0, 1, 03210 yyyy求得求得1321 hhh21111 213232

40、 hhh 0),( 31012111 xxfxxfg 21122 0),( 32123222 xxfxxfg 已知已知0, 130 mm nnnnnnygmmgmmmygmm11121232212011211222 由方程组由方程组及及100 my033 my得到方程组得到方程组 0221212122121mmmm解得解得151,15421 mm这样便求得这样便求得 1 , 0),1(154) 1()1( 21 )(2221 xxxxxxxxS0,151,154, 13210 mmmmiiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxS3211321)( 2)( 2)( iiiiiiiimh

41、xxxxmhxxxx2211221)()()( 代入表达式代入表达式便得到所求的三次样条函数便得到所求的三次样条函数3 , 2)3)(2(151)2)(3( 21 )(223 xxxxxxS222)2)(1(154)2)(1( 21 )( xxxxxS2 , 1 ),2() 1(1512 xxx本节本节(5-1、2 )要点要点1. 什么是三次样条函数？什么是三次样条函数？2. 三次样条函数的边界条件是如何给出的？三次样条函数的边界条件是如何给出的？3. 三次样条函数的三转角算法是如何构造的？三次样条函数的三转角算法是如何构造的？4. 如何设计程序实现三转角算法？画出流程图。如何设计程序实现三转

42、角算法？画出流程图。5. 三对角线性方程组和一般线性方程组如何求解？三对角线性方程组和一般线性方程组如何求解？6. 完成完成P49习题习题2-12、2-13。2. 三弯矩算法三弯矩算法 只要求出在区间只要求出在区间x i-1 , x i 上的三次多项式上的三次多项式 Si (x) i=1 , 2, , n，并满足前面四类条件并满足前面四类条件 即可即可。在这里我们采用在这里我们采用另一种方法进行求解，并称为另一种方法进行求解，并称为三弯矩算法三弯矩算法。加边界条件构成的三次样条函数为分段函数加边界条件构成的三次样条函数为分段函数 , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxx

43、xsxxxxsxSa = x0 x1 0 范围内，只需要从范围内，只需要从 22312)(Mnab2212)()(MhabTdxxffRbann 则有则有22312)(Mnab 12)(23Mabn 解出中出解出中出即可。即可。例例 4.3 4.3 用四点复化梯形公式计算用四点复化梯形公式计算 10214dxxI解：四点复化梯形公式就是将区间解：四点复化梯形公式就是将区间0，1三等分，如图，三等分，如图，于是于是 10214dxxI 322312)1()0(3121ffff 11)(2)()(2nkkxfbfafh 941429114224610131323)114014(20114102 d

44、xx而梯形公式的结果为而梯形公式的结果为1230.3 例例 4.4 4.4 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 ，应将区间，应将区间0,10,1多少等分，才可以使其截断误差不超过多少等分，才可以使其截断误差不超过 10dxeIx41021 解：复化梯形公式的误差为解：复化梯形公式的误差为)(12)()(23 fnabTdxxffRbann 而而xexf )( 1 , 0,)( xexf从而从而22312)(12)01(nefnfRn 令令42102112 ne30.676104 en68 n于是，只要将区间至少于是，只要将区间至少6868等分等分, ,就可以达到需要的精度要求。就可以

45、达到需要的精度要求。二、复化抛物线二、复化抛物线（ Simpson ）公式公式已知定积分的抛物线公式及其误差为已知定积分的抛物线公式及其误差为 nkxxbakkdxxfdxxf11)()(如果对于积分如果对于积分 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 在每个小区间上都采用在每个小区间上都采用Simpson公式，则得到复化公式，则得到复化Simpson公式。公式。于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为： nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(

46、2880)()4(4bafhabfRn 这时，做近似计算用：这时，做近似计算用： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(6四点公式四点公式( (n= =3等分等分) )的节点如：的节点如：4452880)(MnabfRn b ba21xx1211 xx2212 x做误差限估计用：做误差限估计用：最后，总结出抛物线公式和复化抛物线公式最后，总结出抛物线公式和复化抛物线公式1.1.抛物线公式及其误差抛物线公式及其误差 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 2.2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差

47、nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 例例4-5 4-5 试利用函数试利用函数 的数据表（表的数据表（表4-14-1）分）分别用复化梯形公式、复化别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算下列积分的近似公式计算下列积分的近似值值 。 xxxfsin 10sindxxxI表表4-1 4-1 数据表数据表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101

48、/20.958811也就是也就是 718)(2) 1 ()0(2iihfffhT945690.0 )84(2)83(2)82(2)81(2) 1 ()0(2ffffffh )87(2)86(2)85(2fff 解解: : 两种复化公式分别计算如下：两种复化公式分别计算如下： 81 h根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式： 945690.0sin10 dxxx)1()(2)21(4)0(631414fihfhiffhSii 以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一致，定以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一致，定积分精确到小数点后七位的

49、值是积分精确到小数点后七位的值是0.9460831，Simpson公式公式精度要高一些。精度要高一些。)87(4)85(4)83(4)81(4)0(241fffff 9460833. 0)1()43(2)21(2)41(2 ffff对于复化抛物型公式：对于复化抛物型公式： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(641 h在这里在这里n=4 , ,步长步长 例例4-6 4-6 利用复化梯形公式和复化利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别求公式分别求下列定积分下列定积分 ，若要使精度达到，若要使精度达到 =10=10-6-6 ，问各需将区间，问各需将区间0,10,1

50、多少等分？多少等分？ 10sindxxxI解解 由于由于 10)cos(sindttxxxxf从而从而 ,sin10 txdttxf 1033sintxdttxf于是有于是有 31cos102 dttxtxf 51cos1044 dttxtxf 102costxdttxf 1044costxdttxf由复化梯形公式和复化由复化梯形公式和复化Simpson公式的误差表示式公式的误差表示式)(12)()(12)(232 fnabfhabfRn )(2880)()(2880)()4(45)4(4 fnabfhabfRn 4428801MnfRn 得到得到22121MnfRn 312 M514 M根据

51、上面的估计分别取根据上面的估计分别取则只要则只要621031121 n64105128801 n可分别解出可分别解出，67.16636106 n89. 2144001046 n可可见见满满足足同同样样的的精精度度要要求求复复化化梯梯形形公公式式需需将将区区 间间167等等分分复复化化抛抛物物线线公公式式只只需需将将区区间间 3等等分分本节本节( (3)3)小结小结 11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2bafabhfRn 2.2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差 nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)()

52、,(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 1.1.复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差3 Gauss型求积公式关于数值积分公式关于数值积分公式0( )()(3.1)nbkkakf x dxA f x 除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精度来除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面先给出代为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。数精度的概念。一、代数精度一、代数精度是区间是区间-1,1 上关于权函数上关于权函数 (x)=1 的正交多项式，即的正交多项式，即三、常用的正交多项式

53、三、常用的正交多项式 , 2 , 1 , 0,1 , 1,) 1(!21)(2 nxxdxdnxLnnnnn1 1. . 勒让德（勒让德（Legendre）多项式）多项式而且具有递推性质：而且具有递推性质： 11,122,0)()(),(nmnnmdxxLxLLLnmnm0111( )1,( )21( )( )( ),111kkkL xL xxkkLxxL xLxkkk 2.契比晓夫契比晓夫( (Chebyshev)多项式多项式, 2 , 1 , 0,1 , 1, )arccoscos()( nxxnxTn是区间是区间-1，1 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式的正交多项式, , 211)

54、(xx 1211(,)( )( )1mnmnT TTx T x dxx 即即其首项系数为其首项系数为 2n-1 , ,具有下面的性质具有下面的性质: 0,0,2, 0coscos0nmnmnmdnm , 2, 1),()(2)()(, 1)(1110kxTxxTxTxxTxTkkk（2 2）Tn(x) 在在-1,1上具有上具有n个零点个零点nknkxk, 2 , 1,212cos （1 1）三项递推关系）三项递推关系这其实很容易由这其实很容易由 Tn(x)=cos(n arc cosx) 计算出来：计算出来：令令0)arccoscos()( xnxTn2arccos kxn则有则有nkx2)1

55、2(arccos nknkxk, 2 , 1,2)12(cos 3 3Laguerre（拉盖尔）多项式（拉盖尔）多项式( )(),0,0,1,2,nxnxnndL xex exndx 为区间为区间 0,+ ) )上关于权函数上关于权函数(x)=e -x 的正交多项式，即的正交多项式，即200,(,)( )( )( !) ,xmnmnmnLLeLx L x dxnmn 01211( )1,( )1( )(12)( )( ),1,2,kkkL xL xxLxkx L xk Lxk 而且而且 Ln(x) 的首项系数为的首项系数为 (-1)n 。具有性质：。具有性质：4.4.Hermite多项式多项式

56、, 2 , 1 , 0,) 1()(22 nxdxedexHnxnxnn是区间是区间(-,+)(-,+)上关于权函数上关于权函数 的正交多项的正交多项式式，即，即2)(xex 20,(,)( )( )2!,xmnmnnmnHHeHx Hx dxnmn 0111( )1,( )2( )2( )2( ),1,2,kkkHxHxxHxxHxkHxk 而且而且 Hn(x) 的首项系数为的首项系数为 2n ,具有性质具有性质：也就是说对于积分公式也就是说对于积分公式如果我们取插值节点如果我们取插值节点 x1 ,x2 , , xn 为关于权函数为关于权函数 (x) 正正交多项式交多项式 gn(x) 的零点

57、，则所得到的求积公式可达到的零点，则所得到的求积公式可达到 2n-1 阶代数精度。阶代数精度。 bankkkxfAdxxfx1)()()( baknknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1 这时称上面的公式为这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称型求积公式，并称x1 , x2 , , xn 为为 Gauss 点。点。 下面给出构造下面给出构造Gauss型求积公式的步骤型求积公式的步骤。 bankkkxfAdxxxfI1 第三步：第三步：求出求积公式的系数：求出求积公式的系数： 第一步第一步：给出关于权函数给出关于权函数(x) 正交多项式正交多项式 gn

58、(x) ;第四步：第四步：给出给出 Gauus 型求积公式并计算积分近似值：型求积公式并计算积分近似值： 第二步：第二步：求出求出 gn(x) 的的 n 个零点：个零点： x1 ,x2 , , xn ; baknknbaknknkdxxgxxxgxdxxxxxxA)()()()()()()()( 对于积分对于积分 badxxfxI)()( 构造构造 Gauss 型求积公式的步骤如下：型求积公式的步骤如下：五 几种常用Gauss型求积公式1 1、Gauss-Legendre(勒让德勒让德) )求积公式求积公式 构造构造Gauss型求积公式除需要求出正交多项式外，型求积公式除需要求出正交多项式外，

59、还需求出正交多项式的零点和求积系数，当还需求出正交多项式的零点和求积系数，当n3 时，这时，这些工作均很困难，下面给出几种常用的些工作均很困难，下面给出几种常用的Gauss型求积公型求积公式式.关于定积分关于定积分 11)(dxxfI权函数权函数(x)=1, 已知已知LegendreLegendre多项式在多项式在-1，1上关于上关于(x)=1正交，由正交，由Gauss型求积公式的构造，选型求积公式的构造，选Gauss点点xk为为n次次Legendre多项式多项式 的零点，的零点，求积系数求积系数nnnnnxdxdnxL) 1(!21)(2 11( )()()nkknkxAdxxxx 11(

60、),1,2,()()nknkL xdxknxx Lx Gauss-Legendre求积公式中的各阶求积公式中的各阶Gauss点及求积系点及求积系数已经算出，使用时只需要查表数已经算出，使用时只需要查表即可，看下表。即可，看下表。这时，这时，Gauss型求积公式型求积公式)()(111knkkxfAdxxf 称为称为Gauss-Legendre求积公式。求积公式。nxkAknxkAk10260.93246951420.6612093865 +1.2386191816036076157300.467913934620.5773502692 130.774596669200