2013数理统计复习题

1、补充内容2参数的点估计例2.1设总体服从泊松分布XP(，)，X1,X2,凡为来自X的样本，求上的矩估计量与九的极大似然估计。解因E(X)=九，D(X)=£.。所以上的矩估计量为?=X或?=4。xe工XP(?J,其分布律为P(X=x)=±_J,x=0,1,2,.x!设xi,x2,xn为样本观察值，则似然函数i1nnL(xi,x2，xn,)=i1lnL-n-.，二为In-'In为n'、xi幽L=5+二=0,解得人的极大似然估计0<x<1,其中e>0为未知参其它d例2.2设总体X的概率密度函数为f(x,Q)=，x数，Xi,X2，Xn为来自X的样本

2、，试求6的矩估计与极大似然估计。解因为EX=xf(x)dx=xOx&dx=f6x%x=.001!-：'-!令X=EX=,解得9的矩估计量为?=j。1u-1-XnInL=nln1(1-1尸In4iWnnxInxiiWnn.似然函数L(x1,x2，川xn,e)=nHx*=en(nk产,i=4i=1令dlnL=n+g1nxi二。解得q的极大似然估计di-i4i,练习题2.1 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测验，得到如下数据(单位:h):105011001130,1040,1250,1300,1200,1080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计2.2 设X1,X2,

3、Xn是容量为n的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量。已知总体的分布密度如下：(1) f(x；Ct)=(Ct+1)xa0<x<1其中3是未知参数f(x；6)=3恶'"，°外&,其中9>0为未知参数；0,其它§3区间估计例3.1车间生产滚珠直径服从正态分布，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：mm）14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若该天产品直径的方差</=0.06,求该天生产的滚珠平均直径州置信区间（口=0.01;口=0.05）。解因为。2=0.06,由式（2.2.2）知用J

4、1y的置信区间为（X-U、n当OF0.01时，查正态分布表得Uq=2.58,计算得X=14.95,将X=14.95,1=0.06,in=6,U0.005=2.58,代入上述置信区间，得N的99%置信区间为(14.95-2.580.06,14.95+2.580.06)=(14.69,15.21)6.6当0=0.05时，查正态分布表得ua=1.96,类似求得N的95%的置信区间为(14.75,15.15)。2例3.2水体中的污水和工业污染的多少会通过减少水中被溶解的氧气而影响水体的水质，生物的生长与生存有赖于正中氧气。两个月内，从污水处理厂下游1英里处的一条小河里取得8个水样。检测水样里溶解的氧气

5、含量，数据列表2.2.1。表2.2.1-zjcff12345678氧（ppm）5.14.95.64.24.84.55.35.28根据最近的研究，为了保证鱼的生存，水中溶解的氧气的平均含量需达到百万分之五，即5.0ppm.试求两个月期间平均氧气含量的95%的置信区间（假定样本来自正态总体）。解Q2未知，所以由式（2.2.3）知N的1-a置信区间为（X_Sta（n-1）,X+-Sta（n-1），由-n2Jn-2已知n=8,1-a=0.95,查附表2得t0.025（7）=2.3646,由样本计算得X=4.95,S=0.45,故2的1-豆的置信区间为（4.78,5.12）。例3.3从自动机床加工的同类

6、零件中随机地抽取10件测得其长度值为（单位：mm）12.15,12.12,12.10,12.28,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.11.假定样本来自正态总体，试求方差c2的95：的置信区间。解已知«=0.05,查附表3得岂（n-1）=温75=2.7,一2心（n-1）=热侬=19.023,又由已知数据算得S=0.076,于是2=0.003,二0.019'_2_(n-1)S_90.0762(n-1)-19.0232(n-1)S290.0762：二(n-1)-2.722所以，方差o2的95%的置信区间是(n?S,(n?S广0.003,0.019。2

7、1二22练习题2.3 某乡农民在联产承包责任制前，人均纯收入XN（300,252）（单位：元），推行联产承包责任制后，在该乡抽得n=16的样本得X=325元，假设仃2=252没有变化，试确定科的95%的置信区间。2.4 为了估计一分钟一次广告的平均费用，抽取了15个电台作为一个简单随机样本，算得样本均值X=806元，样本标准差S=416o假定一分钟一次的广告费XN(也oj,试求R的0.95的置信区间.2.5 1990年在某市调查14户城镇居民，得平均户人士!购买食用植物油为x=8.7kg标准差为S=1.67kg。假设人均食用植物油量XN(R,cr2,求(1)总体均值口的95%的置信区间；2.(

8、2)总体方差仃的90%的置信区间。4参数假设检验例4.1正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅中毒患者的脉搏数(次/分)如下54,67,68,78,70,66,67,65,69,70已知人的脉搏次数服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异?(：=0.05)解以X表示脉搏次数，依题意设XN(Ra2)(o2未知)，要检验假设Ho：P=72,Hi：g2。由式(3.2)知Ho的拒绝域为T0=-t2(n-1)万由样本算得又=67.4，S=5.929查表ta(n1)=t0.025(9)=2.2622工T0=2.4532.262267.4-725.929V10故拒绝

9、H。，认为乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。例4.3某工厂生产的保健饮料中游离氨基酸含量(mg/100ml)在正常情况下服从正态分布N(200,252)。某生产日抽测了6个样品，得数据如下：205,170,185,210,230,190试问这一天生产的产品游离氨基酸含量的总方差是否正常。解建立原假设Ho：仃2=4=252由口=0.05,n=6,查附表3得看025(5)=12.833,裔975(5)=0.831,由样本均值算得X=198,S2=477,所以雷=什一!后2=学2=3576,由于t.975<70</；.025，故接受Ho,即二o25这一天生产的产品中游离氨基酸

10、含量的总体方差正常。类似于均值的检验，方差也有单边检验的问题，见表3.2.1。例4.4一个混杂的小麦品种，株高标准差5=14(cm),经提纯后随机抽取10株，株高(单位：cm)为：90,105,101,95,100,100,101,105,93,97,考察提纯后的群体是否比原来群体整齐？(口=0.01)解已知小麦株高服从正态分布，现在要检验假设2222H。：。=14,H"。<14小麦经提纯后株高只能更整齐，不会变得更离散，即02不会大于142。2现取0=0.01,检验统计重选为丫_(n1)S片(n_1),由附表3知7i(n1)=工0.99(9)=2.088,CT得出的拒绝域为他

11、<Z12n-1),由样本算得72-218.1=1113<2088在拒绝域内，故拒绝142H0接受H1，即提纯后的株高高度更整齐。练习题3.1某砖厂生产的砖头的抗断强度X(105Pa)服从正态分布，设方差仃2=1.21,从产品中随机地抽取6块，测得抗断强度值为32.66,29.86,31.74,30.15,32.88,31.05试检验这批砖头的平均抗断强度是否为32.50x105Pa(a=0.05)?3.2 某批矿砂的5个样品中的馍含量，经测定为(%):3.25,3.27,3.24,3.26,3.24,设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在a=0.01下能否接受假设：这批矿砂的

12、馍含量的均值为3.25。3.7 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩70分？3.8 考察一鱼塘中的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量(单位：mg)为0.81.60.90.81.20.40.71.01.21.1设鱼的含汞量服从正态分布N(巴仃2),试检验假设H0:NM1.2,H1:口>1.2("=0.10).3.9 某电工器材厂生产一种保险丝.测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时

13、间并计算得X=62.24s2=404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异(：=0.05，假定熔化时间服从正态分布)?教材内容第2章试验数据的描述性统计分析例2.1.1从19个杆塔上的普通盘形绝缘子测得该层电导率(的数据如表2.1.1。表2.1.1数据表8.988.006.406.175.397.279.0810.4011.208.576.4511.9010.309.589.247.756.208.958.33计算该层电导率的X,R,s2,S,CV%，并解释所得结果。均值力差标准差极差变异系数偏度峰度8.42953.30291.81746.5121.55980.11524-0.6

14、9683补充例题：某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉罐头，由于随机性，每个罐头的净重有差别，现从中随机取10个罐头，试由这批数据构造经验分布函数并作图。344,336,345,342,340,338,344,343,344,343解：顺序统计量336,338,340,342,343,344,3450a<3360.1336宝r33s0.233sd003340<x<3420,4342<x<3430.60.9344>x<3451345<xL34735136273701383639264006417则管理人员的年薪的茎叶图见图:978989

15、6例2.4.1根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪数据如表2.4.1（单位:千元）。表2.4.1数据表40.639.637.836.238.838.639.640.034.741.738.937.937.035.136.737.137.739.236.938.3根据数据构造茎叶图。解：先将数字顺序化得表2.4.2。表2.4.2顺序化数据表34.735.136.236.936.73737.137.737.837.938.338.638.838.939.239.639.64040.641.7例2.5.1某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分，下面是50位应聘人员的测试成绩（已经过

16、排序），见表2.5.1.表2.5.1应聘人员测试成绩64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133试做综合性分析。见书P34-2.6习题22.1调查两个小麦品种的每穗小穗数,每品种计数10个麦穗，经整理后的数据如下甲：13141517181819212223乙：16161718181818192020分别计算两个品种的x,R,S2,S,CV%,并解释所得结果。2.2以下是某工厂通过抽样调查得到的10

17、名工人一周内生产的产品数，试由这批数据构造经验分布函数并作图。149,156,160,138,149,153,169,156,1562.4对表2.2数据构造茎叶图。表2.2数据表472425447377341369412399400382366425399398423384418392372418374385439408429428430413405381403479381443441433399379386387第3章试验数据误差的统计分析例3.1.1在森林资源调查过程中，为分析测量者的测量误差，该测量者测量某森林木胸径15次，数据列于表3.1.1,检验并舍去异常数据。表3.1.1胸径测量值

18、序号Xi序号Xi序号Xi120.42620.431120.42220.43720.391220.41320.40820.301320.39420.43920.401420.39520.421020.431520.40解计算得：X=20.4042m,?00.033cm,本题中与X时差最大值xb=x8=20.30,X8-x|=0.1043?=0.099按拉依达法则，X8属异常数据应剔除。余下数据再计算X0=20.411cm,；?0=0.0162m数据中与X。误差最大值是X7=20.39,而x7-X0=0.021=0.048,故合理。或：将数据先顺序化20.3020.3920.3920.3920.4

19、20.420.420.420.4120.4220.4220.4320.4320.4320.43计算得：X=20.4042m,必=0.033cm,本题中与又“差最大值20.30,20.30-X=0.104a36=0.099按拉依达法则，20.30属异常数据应剔除。余下数据再计算X0=20.411cm,1?0=0.016?Cm数据中与X。误差最大值是20.39,而20.39-X0|=0.021<3?0=0.048,故合理。例3.1.2对某物理量进行15次等精度测量，测量值为如表3.1.2。表3.1.2测量数据序号Xi序号Xi序号Xi128.39628.431128.43228.39728.4

20、01228.40328.40828.301328.43428.41928.391428.42528.421028.421528.43试判断该测量数据的坏值，并剔除。例3.2.1某厂进行技术改造，以减少工业酒精中甲醇的含量的波动性。原工艺生产的工业酒精中甲醇含量的方差。2=0.35,技术改造后，进行抽样检验，样品数为25个，结果样品甲醇含量的方差s2=0.15,问（1）技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性较以往是否有显著性差异？（2）技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性是否更小？（。=0.05）解（1）是双尾检验H0；<j2=0.35,H1:t/w0.35;二（n-1）s2240.150.

21、35=10.3ot=0.05,由附表2知7：025（24）=39.364,75（24）=12.975,显然”落在区间（12.975,39.364）之外，故拒绝H0,即技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性较以往是有显著性差异。（2）技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性是否更小，只要检验技改后的方差有显著性减小即可。是左尾检验H0：<t=0.35,H1:O2V0.35。由0=0.05,-95（24）=13.848>工2=10.3,故拒绝H0,接受曰。说明技改后产品中甲醇含量的波动较之前有显著减少，技改对稳定工业酒精的质量有明显效果。例3.2.3用原子吸收光谱法（新法）和EDTA（旧法）

22、测定某废水中AL3+的含量（）,测定结果如下：新法：0.163,0.175,0.159,0.168,0.169,0.161,0.166,0.179,0.174,0.173旧法：0.153,0.181,0.165,0.155,0.156,0.161,0.175,0.174,0.164,0.183,0.179试问：（1）两种方法的精密度是否有显著差异？（2）新法比旧法的精密度是否有显著提高？（：=0.05）解（1）依题意，新法的方差可能比旧法大也可能小，所以采用F双尾检验，即检验22.-一H0：%=仃2，根据试验值计算出两种方法的方差及F值:s2=3.8610,sf-1.1110，=3.348S2

23、3.8610JI_，.2-4S21.1110一由显著性水平a=0.05,查F分布表得F0.975（9,10）=0.252,F0.25（9,10）=3.779。所以F0.975（9,10）<F<F0.25（9,10）,两种测量方法的方差没有显著性差异，即两种方法的精密度是致的。（2）依题意，要判断新法是否比旧法的精密度更高，只要检验新法比旧法的方差有显著性减小即可，这是F单尾（左尾）检验。由a=0.05,查F分布表得F0.95（9,10）=0.319o所以F>F0.95（9,10）,说明新法比旧法的方差没有显著性减小，即新法比旧法的精密度没有显著提高。习题33.2对同一铜合金，

24、有10个分析人员分别进行分析，测得其中铜含量（）的数据为：62.20,69.49,70.30,70.65,70.82,71.03,71.22,71.25,71.33,71.38（%）,问这些数据中哪个（些）数据应被舍去，试检验。（”=0.05）3.3一个混杂的小麦品种，株高标准差C0=14（cm）,经提纯后随机抽取10株，株高（单位：cm）为：90,105,101,95,100,100,101,105,93,97,考察提纯后的群体是否比原来群体整齐？（0=0.01）3.5A,B两人用同一分析方法测定金属钠中的铁，测的铁含量（科/g）分别为：分析人员A:8.0,8.0,10.0,10.0,6.0

25、,6.0,4.0,6.0,6.0,8.0;分析人员B:7.5,7.5,4.5,4.0,5.5,8.0,7.5,7.5,5.5,8.0,试问A与B两人测定铁的精密度是否有显著差异？=0.05）第4章试验数据的方差分析例4.1.1某公司采用四种方式推销其产品。为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样得表4.1.3。表4.1.3某公司产品销售方式所对应的销售量销1W求序号方式一方式四力式一方式二177957180286927684381786879488968170583897482解检验假设H0:1=-2=口3=4,即推销方式对销售量影响不显著；Hi:1,2,3,L不全相等,即推销方式对销售量有显著

26、影响。表4.1.4方差分析表方差来源偏差平方和自由度力差F值F“显著性组间SSA=6853MSA=228.3333F0=7.3360F0.05(3,16)=3.24高度显著组内SSE=49816MSE=31.125F0.01(3,16)=5.29总和SST=118319由于F0>F0.0i(3,16),故拒绝H0,即推销方式对销售量有显著影响。表4.1.6各均值比较表水平平均数xiA3Xi-X3A4xi一X4A1XiX1A2A9016*11*7*A1839*4A4795A374由表4.1.5比较结果说明A2与A3、A2与A4差异高度显著，Ai与A3、A2与Ai差异显著。LSD法只适用于等

27、重复试验两两独立子样间的均值检验，只不过是找到一个公共的LSDa多次重复使用而已。习题44.1有四个不同的实验室试制同一型号的纸张，为比较各实验室生产纸张的光滑度,测量了每个实验室生产的8张纸，测得光滑度见表4.1。表4.1四个实验室生产纸张的光滑度实验室纸张光滑度A138.741.543.844.545.546.047.758.0A239.239.339.741.441.842.943.345.8A334.035.039.040.043.043.044.045.0A434.034.834.835.437.237.841.242.8假设上述数据服从方差分析模型，试检验各个实验室生产的纸张的光滑

28、度是否有显著差异?如果显著，显著的差异存在于哪些水平对？4.2在饲料对样鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选30只雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。实验结果如表4.2。表4.2鸡饲料试验数据饲料A鸡重(克)A11073105810711037106610261053104910651051A21016105810381042102010451044106110341049A31084106911061078107510901079109411111092在显著

29、性水平口=0.05下，进行方差分析，可以得到哪些结果?5章试验数据的回归分析例5.1.1为研究某合成物的转化率T与实验中的压强p(atm)的关系，得到如表5.1.1的试验数据。试建立转化率与压强之间一元线性回归方程。表5.1.1转化率y与压强x数据表x/p/atm24589y/T/%2.012.983.505.025.07解根据表5.1.1数据，由式(5.1.1)计算得：b=0.45729,a=1.1552,所以回归直线方程为?=1.15520.4573x假设Ho：b=0;H1：bw0。SSRSST:7.0325-0.9936表5.1.3方差分析表方差来源偏差平方和自由度力差F比Fa显著性回归

30、6.942616.9426231.5319Fo.0i(1,3)=34.1162高度显著剩余0.08995630.029985Fo.05(1,3)=10.128总和7.03254由表5.1.3知，回归方程是高度显著的。拟合程度的测定:r很接近于1,表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高。由表5.1.3知，MSE=0.029985,故估计标准误差为S=.MSE=0.1732表明回归标准误差很小。预测当压强为x=6atm时，转化率y0的点估计为y?0=1.1552+0.457296=3.8989这里，S=.MSE=0.1732转化率y0的置信度为0.95的置信区间为(3.89894-2=<0.

31、1732,3.89894+2M0.1732),即(3.5525,4.2453)。例5.4.2炼钢过程中用来盛钢水的钢包，由于受钢水的侵蚀作用，容积会不断扩大，表5.4.4给出了使用次数x和容积增大量y的15对试验数据。已知两个变量x和y之间存在相关关系，试找出x与y的关系式，并研究其相应的统计推断问题。表5.4.4实测试验数据表使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)26.4269.7010:10.491410.6038.20710.001110.591510.9049.5889.931210.601610.7659.50

32、99.991310.80解散点图：11rxhIi466in121416通过比较双曲线拟合的剩余标准误差小、可决系数大，效果最佳。效果最好。拟合曲线方程是y=11.3944-9.6006/x方差分析表方差来源'偏差平方和'自由度，回归，19,03251乘除Q.63021总和，19.6627R=0.9838,Sy=0.2202，方差，喧*FffJ"显著性,19,0325392,62234,6672'高度显著'Q0485口90TT38口口习题55.2考察温度对产量的影响，测得下列10组数据，如表5.2。表5.2数据表温度x(C)202530354045505

33、56065广里y(kg)13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3（1）试建立x与y之间的回归方程式；（2）对其回归方程进彳T效果检验；（3）预测x=42七时产量的估计值及预测区间（置信度95%）。5.5混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加。现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护时间X（天）及抗压强度y（kg/cm2）的数据如表5.5。表5.5数据表x（天）234579121417212856y(kg/cm2)354247535965687376828699试求y=alnx+b型回归方程，并求出误差标准差Sy.5.6在彩色显像管中卞!据以往经验，形成染

34、料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式：y=ae'x+苒ba0现对y及x同时作11次观测，得11组数据（xi,yi）如表5.6。表5.6数据表x0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47y0.100.140.230.340.590.791.001.121.191.251.29试求回归曲线方程。第6章正交试验设计例6.2.1烟灰砖折断力试验需要通过正交试验寻找用烟灰制造醇的最佳工艺条某研究组为了提高烟灰砖的折断力,件。解本例以折断力作为试验指标,根据生产经验和专业技术人员的分析，来评价烟灰制造醇的最佳工艺条件，影响烟灰砖折断力

35、主要有成型水分、碾压料重三个因素，每个因素分别取了三个水平进行试验，得因素水平表见表折断力越大越好。碾压时间和一次6.2.1。表6.2.1因素水平表水平因素成型水分A（%）碾压时间B（分）一次碾压料重C（公斤）1873402101037031213400表6.3.1烟灰砖折断力试验安排与结果运算分析表因素ABC空列试验结果Xi、列号试验号123411(8)1(7)1(340)116.8212(10)2(370)218.9313(13)3(400)316.542(10)12318.85223123.46231220.273(12)13226.28321321.99332124.1T152.261

36、.858.964.3T=186.8T262.464.261.865.3T372.260.866.157.2优水平323R203.47.2主次顺序ACB表6.3.4烟灰转折断力试验结果的方差分析表方差来源偏差平方和自由度力差F值Fa显著性因素A66.6756233.337818.40921Fo.05(2,6)=5.14r显著因素B*2.035621.01780.2567Fo.0i(2,6)=10.92因素C18.748924.374411.10341误差e*13.002226.50111.6399误差e23.786763.9644总和90.46228由表6.3.4可见，因素A显著，因素B,C不显

37、著，因素作用的主次顺序是ACB。例6.4.3某厂生产水泥花醇，其抗压强度取决于三个因素：A水泥的含量，B水分，C添加剂，每个因素都有两个水平，具体数值如表6.4.5所示。表6.4.5因素水平表'因素水平'、'、一、.水泥含量A水分B添加剂C1602.51.1:12803.51.2:1每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为抗压强度（kg/cm2）,越高越好。解选用正交表L8（27）安排试验得试验方案及试验结果见表6.4.6。表6.4.6试验方案及试验结果分析表列号试验号ABAMBCAMCBMC抗压强度（kg/cm）123456711(60)ri(2.5)11(11:1)111166.221112(12:1)22274.331r2(3.5)2112273.041:222121176.452(80)12121270.26212212175.072r211122162.38221211271.2Ti289.9285.7274271.7285.4284279.9T2287.7282.9294296.9283.2284.6288.7优水平112极差R值11.22.820.625.22.20.6主次顺序AXB