2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至3页，第II卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A=1,3,5,7,B=x|2ExW5,则AlB=（）A.1,3B.3,5C.5,7D.1,72 .设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中

2、a为实数，则a=（）A. -3B. -2C. 2D. 33 .为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（1A.一31B.22C.一3)5D.64 .MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=J5,c=2,cosA=Z,则b=()3A.2C.2D.35.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,1若椭圆中心到l的距离为其短轴长的一，则该椭圆的离心率为4()1A.一31B.22C.一33D.一46.n将函数y=2sin(2x)61.的图像向右平移一个周期后，所得图像对应的函数为（4A.C.y=2sin

3、(2x)43Ty=2sin(2x-)4nB.y=2sin(2x)3D.y=2sin(2x-)37.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28、一，则它的表面积是（）3A.17二B.18;C.20二D.28二8.若abA0,0<<1,则()A.logac：logbcB.logca：logcbc,cC.a:bD.cc9.函数y=2x2即在-2,2的图像大致为（）A10.执行右面的程序框图，如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足（）A. y=2xB. y=3xC. y=4xD. y=5x11 .平面a过正方体ABCDABG

4、Di的顶点ABBA=n，则m,n所成角的正弦值为（.2B.25C.312 .若函数f(x)=xA.-1,1B.C结束）丙三Ijt=x+y=yA,H/平面CBD1,ctn平面ABCD=m,Ctn平面1D.31.一sin2x+asinx在（9,收）单倜递增，则a的取值范围是（3一r11C.-,33第II卷二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a_Lb,则x=，一一一一一二3,一二14 .已知8是第四象限角，且sin（8+）=-，则tan（8-一）二45415 .设直线y=x+2a与圆C:x2+y22ay2=0相交于A,B两点，若|AB|=2J3

5、,则圆C的面积为16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.5kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元，该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A,产品B的利润之和的最大值为三、解答题（共70分）1.17. （12分）已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足h=1,b2=,anbn书+bn=nbn3（I）求an的通项公式；（II）求bn的前n项和18. （12分）如图，已知正三棱锥P

6、-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G（I）证明：G是AB的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积19. （12分）某公司1f划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间更换的易损零件数，得下面柱状图：y表示1台

7、机器在购买易损零件上所需设x表示1台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数,的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(I)若n=19,求y与x的函数解析式；(II)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均值，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？220. (12分)在直角坐标系xOy中，直线11:y=t(t#0)交y轴于点M,交抛物线C:y=2px(p>0)于点P,M关于P

8、的对称点为N,连结ON并延长交C于点H小十|OH|(I)求J;|ON|(II)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.x221. (12分)已知函数f(x)=(x2)e+a(x1)(I)讨论f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个零点，求a的取值范围选做题22. (10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AOAB是等腰三角形，/AOB=120；以O为圆心，10A为半径作圆2(I)证明：直线AB与圆O相切；(II)点C,D在圆O上，且A,B,C,D四点共圆，证明AB/CD23. (10分)选修4-4:坐标系与参数方程x=acost在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为i(t为参数,a

9、>0),在以坐标原点为极点，y=1asintx轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=4cos(I)说明Ci是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为日=%,其中4满足tan。=2,若曲线Ci与C2的公共点都在C3上，求a24. (10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x1|-|2x-3|(I)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像；(II)求不等式|f(x)|>1的解集2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)B

10、(2)A(3)C(4)DB(6)D(7)A(8)B(9)D(10)C(11)A(12)C第II卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分.24(13)-(14)-(15)4冗(16)216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1 1(17) (I)由已知，ab+b2=匕，匕=1,b2=，得a1b2+b2=匕，匕=1,b2=，得a=2,所以数列a33n是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为an=3n-1.b1(II)由(I)和anbn+bn+=nbn,得必中=，因此如是首项为1,公比为一的等比数列.记333的前n项和为S,则1-(1)nSn=n-1.31-13(18)因为P在

11、平面ABC内的正投影为D,所以AB_LPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB_LDE.所以AB_L平面PED，故AB_LPG.又由已知可得，PA=PB,从而G是AB的中点.(II)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB1PA,PB_LPC,又EF/PB，所以EF±PC，因此EF1平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.2由(I)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG.321由题设可得PC，平面PAB,DE，平面PAB,

12、所以DE/PC因此PE=PG,DE=PC.33由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2j2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.114所以四面体PDEF的体积V=父一父2M2M2=.323(19)(I)分xM19及x.19,分别求解析式；(II)通过频率大小进行比较；(III)分别求出您9,n=20的所需费用的平均数来确定。试题解析：(I)当xW19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x19)=500x-5700,3800,x<19,所以y与x的函数解析式为y=,'(xWN).500x-5700,x>19,(n)

13、由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.(出)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上1所需费用的平均数为(4000M90+4500父10)=4050100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买(20)(I)由已知得M(0,t),P(,t).2p又N为M关于点P的对称点，故N(,t),P2c22t2px一2tx=0,解得为=0,x2=,因此P19个易损零件.ON的方程为y=px,代入y2

14、=2px整理得2t2H(,2t).P所以N为OH的中点，即LOH1=2|ON|(n)直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：D2t2_22_直线MH的万程为y-t=x即x=(y-t).代入y=2px得y4ty+4t=0,解得2tp、yi=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.(21) (I)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)(i)设a之0,则当xw(-°0,1)时，f'(x)<0;当xw(1,十无)时，f'(x)>0.所以在(,1件调递减，在(1,依肖L调递增.(i

15、i)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).ex-若a=-2,则f'(x)=(x-1Me-e),所以f(x)在(,2)单调递增.e若aa万，则ln(-2a)<1,故当x=(-«,ln(-2a)U(1/Hc)时，f'(x)>0;当xW(ln(2a),1)时，f'(x)<0,所以f(x)在(*,ln(2a),(1,代)单调递增，在(In(-2a)1)单调递减.若a<£,则ln(2a)>1,故当x(-00,1)U(l(na2y,)时，f'(x)>0,当xj1,l(na2)时,f

16、9;(x)<0,所以f(x)在(*,1),ln(2a),+°0；)单调递增,在(1,ln(2a)单调递减.(ll)(i)设a>0,则由(I)知，f(x)在(-°0,1弹调递减，在(1产厚调递增.ba又f1=e,f2=a,取b满足b<0且一<ln,22则f(b)>a(b-2)+a(b-12=a'b33b>0,所以f(x)有两个零点.2.2x(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e所以f(x盾一个零点.e一(iii)设a<0,若a之2,则由(l)知，f(x施(1产弹调递增.e一一又当xw1时，f(x)<0,故f(x)不存

17、在两个零点；右a<,则由(I)知，f(x)在(1,ln(-2a)单调递减，在(ln(-2a),y)单调递增.又当x1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,y(22) (I)设E是AB的中点，连结OE,因为OA=OB,ZAOB=120°,所以OE1AB,/AOE=60*.1 _在RtMOE中，OE=AO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与。O相2切.(n)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心，设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O

18、9;在线段AB的垂直平分线上，所以OO'_LAB.同理可证，OO'_LCD.所以AB/CD.x=ac0st(23)<(t均为参数)y=1asintx2+(y-12=a2222Ci为以(0,1)为圆心，a为半径的圆.方程为x+v-2y+1-a=0 -x2+y2=产，y=PsinP2-2Psin9+1-a2=0即为G的极坐标方程C2:P=4cos两边同乘P得P2=4Pcose<P.综上，x<一或1<x<3或x>5=x2+y2,Pcose=x22xy=4x22-即(x2)+y=4C3:化为普通方程为y=2x由题意：Ci和C2的公共方程所在直线即为C3一得：