2019年4月清华大学标准能力测试数学附详细解答

1、2019年4月清华大学标准能力测试(数学)(附详细解答)一、任意项选齐遮(每小题s分，每题至少仃一个正确选顼，多选少选错选都不加分.)L设集合/=(”)|yqor'rA=(M力*-V2,C=«(瑞则7+4/式25口。已知b点(2/切恰好属于力，H.C中的两个集合.则。的值可能是()(A)6.25匚(R)4.12口(C)2.5匚(D)0(E)-2J6(F)-03752.设函数/(，)=上+4|-：*'?，恰好有三个零点，则实数口的值可能是()5-|OT-4hjr<0口(A)n口(B)x-2 (C)0 (D)41-4口(e)* (F)3C-及-旧3.设,是四次方项式

2、5"4是“幻与,的公因式,则爆二() (A)-1口(B)-4C(C)2口(D)1 (E)2 (F)44 .设/(x)=EXsin2x,则/'(x)=() (A)ex(sill2x+cos2x) (B)'X(sin2x-cos2x) (C)ex(cos2x-sin2x) (D)-ex(sin2x+2cos2x) (E)(2cos2a：-sin2a) (F)e-x(sin2x-2cos2x)5 .已知点尸与点。关于直线x+y-2=0对称，点。到圆(X3)z+(y+4)2=25上的点的最小距离为5,则点尸的坐标可能是() (A)(1,6) (B)(0,7) (C)(3,-4

3、) (D)(-2,5) (E)(5,-2) (F)(6,-1)6 .已知过点尸的直线，既与圆/+。+6)2=5相切，又与抛物线y=d相切，则点尸的坐标可能是() (A)(3,5) (B)(2,17) (C)(-3,-10) (D)(4,-9) (E)(0,-31) (F)(5,-14)7 .设/(x)=sin(x-G)+cos(x+w卜")，其中常数6w(；图，g(x)=/(x)+fx),则() (A)g(x)一定是奇函数 (B)g(x)一定是偶函数 (C)g(x)一定是周期函数(F)g(0)08.已知|0|>1,函数/（工）q6：+1|+|-4|在区间-|。|。|上的最小值为

4、6.则（。,6）可能的取位有() (A)(2,2.5) (B)闯 (C)(4,4.5) (D)(5,7.5) (E)(T-4.25) (F)(-5,5.2).minq也必+"22,%一1，。|>1，工4+4-1,lvq+4<2,则(max3也,4+瓦41,9.已知q=4=0.2,口（A）口（B）如9>6刈$口（C6M20>%19口（D）如8=心0口（E）/19>。2019口（F）/“十%”>2%i610,数列4的前项和记为4,若对所有正整数都有Sz=3S0-初臼=1,则（） （A）S©+%=2*2皿 (B)5101+S1M=2,OT (C

5、)品+50070G口(D)S101-25100=-l (E)口(F)11.数列/的前，项和记为S.若对所有正整数都有4“=如！S”，q=l,则( (A)Sjq>9Slg (B)5.=9/ (C>520<9S18 (D)5%>3,4(E)S9s20=3SiqS8匚CF)SgS*<3SqSr12.选考题(选修44坐标系与参数方程)已知点尸绕原戊逆时针旋转45度后的直加坐标湎3r=L+1足参数方程J,其中参数re(7,go),则尸的直向坐标可能是()v=r-z (A)(2,1) (B)(-4,2) (C)(4,-2) (D)卜心-&) (E)(3的 (F)(-1

6、,2)0<a<5；恰好属于A,B,C中的两个集合。解析：f(x)=0u，|ax+41=3,或x>0,ax-41=5,x<0.ax=-7或-1.或x>0,ax=9或-1,x:0,13.选考题(选修4-5不等式选讲)已知实数福人工辆足不等式|l-2m+|产-2田1和|x+z|+|x-r|i1*蛆黑'+尸？+:'的最大值() (A)大于135 (B)小于£3 (C)大于】匚(D)小于34口(E)大于工5C(F)小于g详细解答：1.答案：ACF,，C_、2八C1>1解析：点P(2a,a)WA=a<a(2a).2点P(2a,a)C：=a

7、4a_25a=a(a-5)_0：=将六个选项逐一代入检验，可知6.25,2.5,-0.3752.答案：DF-V10,不合题意;当a=0时，无零点，不合题意;a(2a1)(2a+1)之0yEaW0或a2；2222点P(2a,a)=Bu(2a)-a之12a=a(a-4)±0ua40或a之4；ax=9,x<0.uax=T或1当a=x2时，f(x)=0ux(x2)=1或小一2)=一7，或/x之0,x(x-2)=9,ux=1或x<0,_7ax=-7,或+x>0,当a=n时，不确定有几个零点，不合题意;当a二圾.於时，ux=5J2或x=7Q3V2)或x=9屈一%，符合题意;当a

8、=x72+$3时，方程ax=-1ux2+(V3-V2)x+1=0,=1276<0,无实根；方程ax=-7仁x2+(J3-<2)x+7=0,=-23-2V6<0,无实根；方程ax=9yx2+(J3J2)x9=0,恰有一个负实根，不合题意；当2=乂J2J3时，方程ax=1ux2(J3+J2)x+1=0,A=1+2，6>0,方程有两不相等的实根；方程ax=7=x2(J3+J2)x+7=0,小=？，？23<0,无实根；方程ax=9yx2-«3+42)x-9=0,恰有一个负实根，符合题意；综上所述，正确选项为DF.3.答案：A解析：由题意，可设f(x)=a(x2-

9、5x+4)(x2+bx+c)(a=0),则222f'(x)=a(2x5)(x+bx+c)+a(x5x+4)(2x+b),因为x5x+4是f'(x)的因式，2222_所以只有可能x+bx+c=x5x+4,即f(x)=a(x5x+4)(a/0),2、f(3)f'(x)=2a(2x-5)(x-5x+4),故(-=-1。f'(3)4 .答案：E解析：f'(x)=(e")'sin2xe*(sin2x)'-e*sin2xe*(2cos2x)=e*(2cos2x-sin2x)5 .答案：BDF解析：设点M(3,Y)关于直线x+y2=0的对称点

10、为N(a,b),则'b+4a-3a3T=1,-4b2-2=0,22解得N(6,1),故圆(x3)+(y+4)=25关于直线x+y2=0对称的圆为圆N:2.2(x-6)+(y+1)=25。由题意，点P到圆N上的点的最小距离为5,故点P到圆心N的最小距离为0或10,即点P与点22N重合，或在圆(x-6)+(y+1)=100上，经检验，点(0,7),(-2,5),(6,1)符合题意。6 .答案：ADE解析：由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y=kx+b,因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离d=华理=r=<5,1k2又将直线方程与抛物线方程联立，得x2-kx-b=0,所以=k2+4

11、b=0."b=-1,b=3解得或一卜=&，k=231,即圆与抛物线的公切线的方程为y=_2x_1或y=_2、31x-31.可知选项是ADE正确的.7 .答案：BD解析：f(x)=sin(x-i)cos仅r)=(cosr-sinr)(cosxsinx),.f'(x)=(cos?-sin)(-sinxcosx),g(x)=2(cossinu)cosx,设k=cose-sine,丁(一,).k<0,故g(x)=2kcosx,x=(-,).4222从而g(x)一定是偶函数，不是奇函数；又因为函数定义域为有限区间，故函数g(x)不是周期函数；2二、，二、，二、:k<

12、0,故g(x)在(,0)上递减，在(0,一)上递增，g(一)>g(-)=g(-一)，而2255531JIg(-):二g(-T);7 5很显然g(0)=2k：0.8 .答案：AF1一1.解析：|a|1,f(x)=|ax1|x-a|=|a|x|x-a|x|x-a|,aa1八11当且仅当|x+|=0，即x=(正(|a|,|a|)时取等号；aaa，111,1又因为|x+|+1xa户|(x+)(xa)|=|十a|,当且仅当(x十一)(xa)50时取等号aaaa一，1一,1_故当x=时，函数f(x)的最小值为|+a|,经代入检验，可知选项AF正确.aa9 .答案：ACDF解析：依次写出数列an和bn

13、的前19项为：0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.20.2;0.4;0.4;0.2;0.8;0.4;0.6;0.6;0.6;0.4;0.4;0.6;0.8;0.8;0.2;0.8;0.8;0.4;0.6可知,去掉前6项后，心)是周期为12的数列对.而2018=16712+8+6,故2018=a14=0.4,a2019=a15=0.8,瓯18=b)4=0.8,瓯19=“=0.2,瓯2。=“=0.8.经检验，选项ACDF是正确的.10 .答案：BF解析：由已知，得$=3§-2a

14、,即&+a2=3&2a1，故得a2=0.丫&干=3&2an,二S4=3Sn2s-SnJ),即，Sn+=Sn+2Sn,(n>2),二S.+S=2(S+S3(n2),以及Sn42S=(Sn2Sn)(n2),故数列Sn+SnJ和6-2&是等比数列，-Sn+&=($+S)2nn=2n，以及&-20=($-2S),(-1尸=(-1)n，S01S00=2100;S101-2S100-(-1)100-1.11 .答案：AE解析：由已知，得Sn=2n±3Sn,即Sn书=%上2&,nn二里=3xS故数列Sn是公比为3的等比数列，n1

15、nnSn=63n,=3n：即Sn=n3n.n1从而包=磔>10.9;Si81838191优=1039：18317=3,故选项小是正确的12 .答案：BCF解析：以原点为极点，*轴正半轴为极轴，建立极坐标系.设点P的直角坐标为（x,y）,极坐标为（p,e）,则点p绕原点逆时针旋转45度后，得到点P'的极坐标为P'（p,e+工），其直角坐标为4x'=：；cos(r(x',y'),于是彳42.2=5(：cosr-：-sin-).(x-y),y'二Psin(i了)二2、,一,2(:sinucos)二(xy),因为点P'在题设参数方程所表示的曲线上，所以x'=t3+t,3于y=t-t,丁3x'+y'=2t,x'y'=2t,即&x=2t3,-收y=2t,3消去参数t,得y=-2x,经检验，选项BCF是正确的.13 .答案：AE解析：由已知，得12z|=|(x+z)(xz)性|x+z|+|xz怪1,当且仅当(x+z)(xz)怪0时-21取等万,故zmax=一;4x<2y,x<2y,x_2y,x_2y,|x2y|+|y2x|W1uyW2x,或&qu