第五章概率统计

1、1/18随机数应用实验随机数应用实验 随机数与统计直方图随机数与统计直方图相遇问题及其统计试验相遇问题及其统计试验计算面积的蒙特卡罗方法计算面积的蒙特卡罗方法平面多边形填充图平面多边形填充图2/18随机数注记随机数注记rand(m,n)产生区间产生区间(0,1)上均匀分布的上均匀分布的mn个随机个随机数数. 工作原理是随机数发生器用其储存的工作原理是随机数发生器用其储存的种子种子 按一定规律产生数据按一定规律产生数据. .在默认状态下在默认状态下, ,每次启动每次启动Matlab调用调用rand函数将产生重复的随机数。为函数将产生重复的随机数。为发生发生器器指定一个不同初始指定一个不同初始种子

2、种子可避免重复，如：可避免重复，如：rand(state,sum(100*clock);产生整型随机数方法产生整型随机数方法产生产生 “0” 或或 “1” 随机数随机数: fix(2*rand)产生产生“1”到到“100”整型随机数整型随机数: 1+fix(100*rand)3/18均匀分布随机数均匀分布随机数MATLAB产生均匀随机数方法产生均匀随机数方法: rand(m，n) 产生产生mn个个 0,1 之间之间均匀随机数均匀随机数.随机数等可能落入区随机数等可能落入区间间0，1内长度相等子区间中。内长度相等子区间中。引例引例1. 观察观察12个个1 14 4整型随机数情况整型随机数情况 1

3、+ fix(4*rand(1,12) ans= 4 1 3 2 4 4 2 1 4 2 3 4引例引例2. 观察观察1000个随机点分布情况个随机点分布情况P=rand(2,1000);x=P(1,:);y=P(2,:);plot(x,y,b.)O14/18统计直方图统计直方图其中其中,data是需要处理的数据块是需要处理的数据块,绘图原理绘图原理:利用利用data中最小数和最大数构成一区间中最小数和最大数构成一区间,将将区间等分为区间等分为n个小区间，统计落入每个小区间的数据个小区间，统计落入每个小区间的数据量。以数据量为高度绘小矩形，形成直方图。如果省量。以数据量为高度绘小矩形，形成直方图

4、。如果省略参数略参数n，MATLAB将将n的默认值取为的默认值取为10。 直方图也可以用于统计计算直方图也可以用于统计计算N=hist(data，n)计算结果计算结果N是是n个数的一维数组，分别表示个数的一维数组，分别表示data中各个中各个小区间的数据量。这种方式只计算而不绘图。小区间的数据量。这种方式只计算而不绘图。直方图绘图命令直方图绘图命令: hist(data，n)123450100020005/18N5 = 1969 2010 2018 1999 2004例例5.1 统计统计10000个均匀随机数在五个均匀随机数在五个小区间的分布个小区间的分布 。data=rand(10000,1

5、);figure(1),hist(data,5)N5=hist(data,5)figure(2),bar(N5,r)1234505001000150020002500即观察即观察10000 个随机数在个随机数在0,0.2,0.2,0.4, 0.4,0.6,0.6,0.8,0.8,1分布情况分布情况00.20.40.60.81050010001500200025006/18例例5.2:5.2:相遇问题相遇问题: :甲、乙两船在甲、乙两船在2424小时内独立地随机到小时内独立地随机到达码头达码头. .如果甲船到达码头后停留如果甲船到达码头后停留2 2小时小时, ,乙船到达码头乙船到达码头后停留后停

6、留1 1小时小时. .问两船相遇的概率有多大？问两船相遇的概率有多大？ S1S2XYO242422122424),(SSDYXP 21225 . 0 S22235 . 0 S24,0 , 21| ),( yxxyxyxD设两船到达码头时刻分别为设两船到达码头时刻分别为 X X 和和 Y Y。均匀分布随机变量均匀分布随机变量 X U(0 , 24), Y U(0 , 24)1&| ),(2 yxxyyxD2&| ),(1 xyyxyxD21DDDy x = 2x y = 17/1821225 . 0 S22235 . 0 S22122424),(SSDYXP = 0.1207模拟

7、求解模拟求解向此正方形区域内均匀投两个点向此正方形区域内均匀投两个点X X，Y Y，则，则X X，Y Y落在带形内的概率为落在带形内的概率为p p（即所求）。（即所求）。随机实验：随机实验：现在做现在做n n次实验，其中次实验，其中m m次实验次实验X X，Y Y落在带形内，则落在带形内，则m mn np模拟算法：模拟算法：m=0;for i=1:n, 均匀投点均匀投点X，Y 若若X，Y落在带形落在带形内，内， 则则m=m+1;endmyp=m/n8/18function F=shipmeet(N)if nargin=0,N=2000;endP=24*rand(2,N);X=P(1,:);Y=

8、 P(2,:);I=find(X=Y&Y=X+2);J=find(Y=X&X=Y+1);F=(length(I)+length(J)/Nplot(X,Y,b.) ,hold on相遇问题的统计试验相遇问题的统计试验F = 0.118521225 . 0 S22235 . 0 S1&| ),(2 yxxyyxD2&| ),(1 xyyxyxD22122424),(SSDYXP = 0.12079/18例例5.3计算两条抛物线计算两条抛物线 y =x2 ，x = y 2 所围图形的面积所围图形的面积. 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基，或称

9、计算机随机模拟方法，是一种基于于“随机统计随机统计”的计算方法。方法源于美国在第二次的计算方法。方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划曼哈顿计划”。在正方形区域在正方形区域D内投入内投入N个点，统计坐标满足个点，统计坐标满足 xyx 2的点的点P(x，y)的数目的数目M。面积近似。面积近似计算公式为：计算公式为：S=M/N data=rand(N,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(y=x.2);M=length(II);S=M/N S = 0.327610/18例例5.4 计算计算 其中其中D为为y= x 2与与y2 =

10、 x 所围所围 D的边界曲线交点为的边界曲线交点为：(1，1)，(4，2)，被积函数在求被积函数在求积区域内的最大值为积区域内的最大值为1616。积分值是三维体积，该三维积分值是三维体积，该三维图形位于立方体区域图形位于立方体区域0 x 4，1 y 2，0 z 16内，立方体区域的体积为内，立方体区域的体积为1 192。 data=rand(10000,3); x=4*data(:,1); y=-1+3*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x=y.2&x=y+2&z=x.*(y.2); M=length(II); V=192*M/10000 D

11、dxdyxy211/18例例5.55.5. .求求 | ln x | + | ln y | = 1所围平面图形的面积所围平面图形的面积。 分析分析：由曲线方程由曲线方程，| ln x | 1，| ln y | 1，1/e x e，1/e y e 正方形域：正方形域：D =(x，y) | 0.3x2.8，0.3y 2.8 S=(2.8-0.3)2;Sk=;for k=1:5 data=0.3+2.5*rand(10000,2); x=data(:,1); y=data(:,2); II=find(abs(log(x)+abs(log(y)=1); M=length(II); s=S*M/N;Sk

12、=Sk,s;endSk12/18二维多边形填充图二维多边形填充图 fill() 使用格式使用格式用用c所指定的颜色对多边形填充所指定的颜色对多边形填充.其中其中,多边形的多边形的顶点由顶点由x,y确定确定. c 指定颜色不允许省略指定颜色不允许省略;x,y确定确定的点必须形成封闭的多边形的点必须形成封闭的多边形.fill(x,y,c)填充图绘制方法填充图绘制方法:13/18x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1);x2=1:-.01:0;y2=x2.2;fill(x1,x2,y1,y2,r) 填充图绘制方法填充图绘制方法y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1;x11=y1.*y1;x

13、22=y2+2;fill(x11,x22,y1,y2,r) y =x2 , x = y 2 所围区域所围区域 y2 = x与与 y= x 2 所围区域所围区域14/18 该计划的主持人之一、数学家冯该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的诺伊曼用驰名世界的赌城赌城摩纳哥的摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法来命名这种方法, ,为它蒙为它蒙上了一层神秘色彩。上了一层神秘色彩。蒙特卡罗蒙特卡罗方法方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的世纪，人们就知道用事件发生的“频率频率”来来决定事件的决定事件的“概率概率”。19世纪人们用投针试验的方法来世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率。决定圆周率。20世纪世纪40年代电子计算机的出现，特别是年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电