一元三次函数性质总结

1、o三次函数的图像及性质自变量，a,b,c,d是常数。它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，f (x):个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，应的导函数全部共六种图像：! f (x)! f (x)7 /Vi7、/ x ： x/f(x)/ff(x)a 0a 0 yfcx)£f(x)/ V入x! f (x)If (x)3ax2 2bx c,它的零点下面是二次函数及其对:f (x) : >x:=:：5 EAW/： f(x) f f(x)MT:if (x)形如f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的函数叫做三次函数，其中x是-可编辑修改-2、零点个数

2、若方程f (x) 0的判别式 0 ,则f (x)在R上是单调函数，无极值，值域为(，)，故有唯一的零点。若方程f(x) 0的判别式0,方程有两个不等的实根 xi、X2,它们是函数f(x)的极值点,则:0时，f(x)有一个零点;(iii)当f(xi) f(x2) 0时,f(x)有三个零点f(x)3a2条3条1条1条3条2条1条f(x)3、对称中心三次函数f(x) ax3bx2 cx d(a 0)一定有对称中心。其对称b ,中心的横坐标为 x 。(三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a 项的图象的对称中心在其导函数 V (x)=3ax 2+2bx+c 的图象对称轴上.若三次函数f(x)

3、=ax 3+bx 2+cx+d(a 制)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点.)4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数-可编辑修改-三次函数的三大性质初探随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质， 不仅方便实用， 而且三次函数的性质变得十分明朗， 本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性32三次函数 f (x) ax bx cx d (a 0) , 若b2 3ac 0,则f(x)在(,)上为增函数；(2)若b2 3ac 0,则f(x)在( 区)和(X2,)上为增函数，f (x)在(x1，X2)上为减函数，其中Xib . b2 3ac b .

4、b2 3ac；,x2 ;3a3a证明f'(x)_2_,2,_八 2_、3ax 2bx c, 4b 12ac 4(b 3ac),0 即b2 3ac 0时，f'(x) 0在R上恒成立， 即f(x)在()为增函(2)当 0 即b2 3ac 0时，解方程f'(x) 0,得b . b2 3ac b . b2 3acxi-, x2-3a3af'(x) 0 x xi或 x x2f (x)在(，xi)和(x2,)上为增函数f'(x) 0 x1 xx2f (x)在(x1,x2)上为减函数32由上易知以下结论：二次函数f(x) ax bx cx d(a 0),2若b 3ac

5、 0,则f (x)在R上无极值;(2)若b2 3ac 0,则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在x x1处取得极大值，在x x?处取得极小值2 根的性质32三次函数 f (x) ax bx cx d (a 0)(1) 若b23ac 0 ，则 f (x) 0恰有一个实根；(2) 若 b2 3ac 0,且 f (x1) f(x2)0 ，则 f (x)0 恰有一个实根；(3) 若 b23ac 0,且 f (x1) f(x2)0 ，则 f (x)0 有两个不相等的实根；2(4) 若 b2 3ac 0,且 f (x1) f(x2)0 ，则 f (x) 0 有三个不相等的实根证明 (1)(2) f (x

6、)0含有一个实根的充要条件是曲线y f(x)与X轴只相交一次，即f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一0.y f(x) 与 X 轴有三个公共点，即.所以 b2 3ac 0且 f(x1) f (x2) 032三次函数 f (x) ax bxf (x) 在 R 上 为 单 调 函 数 或 两 极 值 同 号 ， 所 以 b2 3ac 0 或 b2 3ac 0 ， 且f (x1) f (x2 )0.(3) f (x)0有两个相异实根的充要条件是曲线 y为切点，所以b2 3ac 0 ，且f (x1) f(x2 )(4) f (x)0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线f (x) 有一个极大值，

7、一个极小值， 且两极值异号由上易得以下结论:cx d(a 0)在 m,)上恒正的充要条件是f (m) 0(mRx2),或 f(m) 0且 f(X2) 0(m<x 2).3对称性 32.b b二次函数f(x) ax bx cx d(a 0)的图象关于点( ，f( 一)对称，并且 3a 3ab bf'(x)在x一处取得最小值，其图象关于直线x一对称.3a3a证 1 f (x) ax223,2,y ax(6mab)x(12ma 4mb c)x(8m a4mb 2mc d 2m) bx2 cx d a(x b-)3 (c )(x ) f( b) 3a 3a3a 3a3 b2易知g(x)

8、ax (c )x是奇函数，图象关于原点对称，则f(x)关于点 3a(T-, f ( 7)对称.3a 3a._2 一bf'(x) 3ax 2bx c, a 0 当 x 一时，f (x)取得最小值，显然 y f (x) 3a图象关于x对称.3a证2 设yf(x)的图象关于点(m,n)对称，任取 y f (x)图象上点A(x, y),则A关于(m, n) 的 对 称 点 A'(2m x,2n y) 也在 y f(x) 图象上32b 6ma b2c 12m a 4mb c32d (8m a 4mb 2mb d 2n)bm 一3af(b3a2n ya(2mx)b(2m x) c(2mx)

9、 d,由上又可得以下结论:yf(x)是可导函数，若 y f(x)的图象关于点(m, n)对称，则y f'(x)图象关于直线x m对称.证明 y f(x)的图象关于(m,n)对称，则f(x) f (2m x) 2n,f'(x) lim f(x x) f(x)x 0x.2n f (x x) 2n f (x)lim -x 0xf (2m x x) f (2m x)f '(2m x) lim x 0xlimx If(x) f(x x) f'(x)y f'(x)图象关于直线x m对称.若y f(x)图象关于直线x m对称，则y f'(x)图象关于点(m,0

10、)对称.证明 y f(x)图象关于直线x m对称，则f (x) f (2m x),f'(x) lim f(x x) f(x) x 0xf'(2m x) lim f(2m x x) f(2m x) x 0xlim f(xx)f(x)f,(x),x 0xf'(2m x) f'(x) 0 ,y f'(x)图象关于点(m,0)对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益 的.-可编辑修改-【常用结论】1 .（重点）三次函数的单调性由a来决定；b、c决定函数有没有极值。d确定函数图象与y轴交点。2 .（重点）函数f（x）的极值

11、由导函数 V （x）=3ax 2+2bx+c 的判别式决定：4位无极值，单调区间为 R>0既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。3 . （了解）三次函数图象的对称性：三次函数f（x）=ax 3+bx 2+cx+d（a w。）的图象是中心对称图形，其对称中心是bb（ ,f （ ）.（三次函数f（x）=ax 3+bx 2+cx+d（a 前）的图象经过平移后能得到奇函 3a3a数图象，可以用待定系数法求得）三次函数f（x）=ax 3+bx 2+cx+d（a w。）的图象的对称中心在其导函数f/ （x）=3ax 2+2bx+c 的图象对称轴上.若三次函数f（x尸ax 3+bx 2+cx+d（a

12、 w。）有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中与八、【典例精析】例题.设aC R,讨论关于x的方程x3+3x 2-a=0的相异的实根的个数？【实战演练】1 .若函数f(x)=ax 3+x恰有三个单调区间，则实数 a的取值范围是 。2 .函数f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_.3 .已知函数 y=f(x)=x 3+px 2+qx的图象与 x轴切于非原点的一点，且 y极小=-4,那么 p=,q=.4 .已知函数f(x)=-x 2+8x与g(x)=6lnx+m的图象有且只有两个不同的交点，求实数 m的值？5 .已知f(x)=x 3-3x,过点A

13、(1,m)(m w-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围？6 .设函数 f(x)=x 3-6x+5,x C R.1 )求函数 f(x) 的单调区间和极值2 )若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围(3)已知当xC(1,+ 8)时，f(x)冰(x-1)恒成立，求实数k的取值范围.三次函数与导数例题与练习答案例 1.(14 全国大纲卷文21,满分 12 分)函数 f(x) ax3 3x2 3x(a 0) .(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.22解：(I) f (x) 3ax 6x 3,

14、f (x) 3ax 6x 3 0的判别式 =36 (1-a).(i)当a-1时，,则f (x) 0恒成立，且f (x) 0当且仅当a 1,x1 ,故此时f (x)在R上是增函数.11a11a()当 a 1 且 a 0,时0, f (x) 0有两个根：x1 , x2 ,aa< 0 a 1,则 x2 x1，当 x (,x2)或 x (x1，)时，f (x) 0,故 f(x)在(,x2),(x1,)上是增函数；当 x (x2,x1)时，f (x) 0,故 f(x)在(x2,x1)上是减函数；若 a 0，则 x x2 当 x (,x1)或 x (x2,)时，f (x) 0,故 f(x)在(，x1

15、)和M ,)上是减函数；当 x (x1, x2) x (x2,x1)时，f (x) 0,故 f(x)在(x，x2)上是增函数；2(n)当 a 0 且 x 0时，f (x) 3ax 6x 3 0,所以当a 0时，f (x)在区间(1,2)是增函数f (1) 0 且 f (2) 0 ,解得当a 0时， f(x)在区间(1,2)是增函数，当且仅当综上，a的取值范围是).5,0) U (0,4例2.(14安徽文数20)(本小题满分13分)-可编辑修改-设函数 f(x) 1 (1 a)xx2 x3,其中a 0。(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(1)当 x 0,1时,f(x)取得最大值和最小值时的

16、x的值.(I) f(x)的定义域为),f (x) 1二 - 2a 2x 3x令 f (x) 0 ,得 x114 3a3,x21 .4 3a,x x2所以 f (x)3(x x1)(x x2)当 x X 或 x x2 时，f (x) 0 ；当 x1x2时，f (x) 0,故f(x)在(内)和(x2,)内单调递减，在(Xi,X2)内单调递增(n)因为a 0,所以为0,x2 04 时，x21,由(I)知，f (x)在0, 1上单调递增,所以f (x)在 x0和x 1处分别取得最小值和最大值(ii)当 0a 4时,x2 1,由(I)知， f (x)在0 , x2上单调递增，在x2,1上单调递减，因此f

17、 (x)在 xx21.4 3a处取得最大值 3又 f(0) 1, f (1) a ，所以a 1 时，f (x)在 x1处取得最小值;-可编辑修改-1时，f (x)在x 0和x 1处同时取得最小值;a 4时，f (x)在x 0处取得最小值。2 o例4. (14年天津文科19两分14分)已知函数f(x) x2 -ax3(a 0), x R 3(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的xi (2,),都存在x2 (1,),使得f(x1)f(x2)1,求a的取值范围2解：(I)由已知，有 f (x) 2x 2ax (a 0)1令f (x) 0,斛得x 0或x a当x变化时，f (x), f(

18、x)的变化情况如下表:x(,0)00 a1 a1, af (x)-0+0-f(x)0Z13a2、11、，、-、-1所以，f(x)的单调递增区间是 0-;单调递减区间是(，0),一,aa13a2当x 0时，f (x)有极小值，且极小值 f (0) 0 ;,1 ,一一.1当x 一时，f (x)有极大值，且极大值f aa(n)解:由0及(i)知，当 x 0£ 时，f (x) 0 ；当 x'2a32a时,f(x) 0设集合Af(x)|x (2,一一一 1一 )，集合 B |x (1,), f(x) 0,f(x)则“对于任意的x1 (2,),者B存在x2 (1,)，使得f(x1)f%)

19、 1”等价于A B ,显然，0 B.卜面分三种情况讨论：33_ 3(1)当士- 2,即0 a 时由f旦2a42a0可知，0 A,而0 B,所以A不是B的子集。.3_33 . .(2)当1 2,即 a 3时，有f(2) 0,且此时f(x)在(2,)上单调递减，故 A (, f (2)，因而 A (,0)；由f 0,有f(x)在(1,)上的取值范围包含(，0),则(,0) B所以，A B32(3)当上-1,即a=时，有f(1) 0,且此时f(x)在(1,)上单调递减，2a3一 1一 一 一，一故B ,0 ,A (,f(2),所以A不是B的子集。f (1)3 3综上，a的取值范围是3,4 2课后练习

20、、作业1.设 f (x)3x32(1)若 f(x)在(2,1x2 2ax.2)上存在单调递增区间，求a的取值范围;当0 a 2时,f(x)在1,4上的最小值为,求f (x)在该区间上的最大值.3解：(1)已知f xx2 x 2a函数fx 在 (I )存在单调递增区间,即导函数在)上存在函数值大于零的部分22f()()332a(2)已知02,f x在1,4上取到最小值163，而f xx 2a的图像开口轴为 x2a 2a 0,f 4162a2a120,则必有一点x01,4，使得fx00,此时函数1,xo上单调递增,在x0,4上单调递减，f 1f 4 f (1)124032a8af(x)min f(

21、4)8a402a0,2a16166a2721213272164162o 40 o8a 8a3o10y一，22.已知函数f(x) x3此时，由 f XoXoXo 2 0,x01 或x0 2 ,所以函数 f x max f 2ax2 x 1, a R. (1)讨论函数f(x)的单调区间;、一一 ，一、2(2)设函数f(x)在区间 2,3324 .解：(1) f(x) x ax x1 .一 .一1内是减函数，求a的取值范围.321 求导：f (x) 3x 2ax 1当a2 0 3时, .2当 a 3, f即f(x)在递减,< 0, f (x) > 0(x) 0求得两根为x,a哀3递增，3

22、f (x)在R上递增a、.a2 33a a2 3 aa2 333递增aa23 .2«0二-2-g、7(2) 3 3,且 a 3解得：a> -aa2314才 3.设函数 f(x) 1x3 x2 (m2 1)x,(x R,)其中 m 03(I )当m 1时，求曲线y f (x)在点(1, f (D )处的切线斜率(H)求函数的单调区间与极值；【解析】解：(09天津文21)(本小题满分12分)1 32/2(1)当 m 1时，f(x) -x x , f (x) x2x,故f (1) 13所以曲线y f(x)在点(1, f (。)处的切线斜率为1.2 2(2)解：f (x) x 2x m

23、 1,令 f (x) 0,得到 x 1 m,x 1 m因为m 0,所以1 m 1 m 一 ,、一 当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:x(,1 m)1 m(1 m,1 m)1 m(1 m,)一，f (x)+0-0+f(x)极小值/极大值 1f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。2 321函数f (x)在x 1 m处取得极大值 f(1 m),且f(1 m) = - m m 一3 32 321函数f (x)在x 1 m处取得极小值f (1 m),且f (1 m) = m m 一3 31 221(3)解：由题设， f (x) x( - x x

24、 m 1)- x(x x1)(x x2)33122所以方程 x2 x m2 1 =0由两个相异的实根x1，x2 ,故x1 x2 3,且 3421 人11 -(m1) 0,解得 m一(舍)，m 一3223因为 x x2,所以 2x2 x1 x23,故 x2-121右 x11x2,则f(1)-(1 x1)(1 x2) 0,而 f(x1)0,不合题意3若 1 x1x2,则对任意的x x1,x2有 xx10,x x20,一1则 f(x) x(x x1)(x x2) 0又 f(Xi) 0 ,所以函数 f(x)在 x Xi,X2的最 321小值为0,于是对任意的x xi,x2，f(x)f(1)恒成立的充要

25、条件是 f (1) m2 0 ,3.3.3解个于 m II 331 3综上，m的取值范围是(一，二)2 34.已知函数f xx3 3| x a|(a 0) ，若 f (x) 在 1,1上的最小值记为g(a) 。1)求 g(a) ； (2)证明：当x 1,1时，恒有f(x) g(a) 4解：(14浙江文21,15分)(I)因为a 0, 1 x 1,所以(i)当 0 a 1 时，若 x 1,a,则 f(x) x3 3x 3a, f (x) 3x2 3 0,故 f(x)在(1,a)上是减函数；32若 x a,1,则 f(x) x 3x 3a, f (x) 3x 3 0,故 f(x)在(a,1)上是增

26、函数；3所以 g(a) f(a) a332(ii)当 a 1 时，有 x a,则 f(x) x 3x 3a, f (x) 3x 3 0,故 f(x)在(-11)上是减函数，所以 g(a) f(1)2 3a-可编辑修改-综上， g(a)a3,0 a 12 3a,a 1(n)证明：令 h(x) f(x) g(a),3(i)当 0 a 1 时，g(a) a332若 x a,1,h(x) x 3x 3a a ,得 h (x) 3x 3 ,则 h(x)在(a,1)上是增函数，所以 h(x)在 a,1 设 的 最 大 值 是 h(1) 4 3a a3 ， 且 0 a 1 ， 所 以 h(1) 4 ， 故f

27、(x) g(a) 4332若 x 1,a, h(x) x 3x 3a a ,得 h (x) 3x 3 ,则 h(x)在(1,a)上是减函数，所以 h(x)。3在1,a设的最大值是h( 1) 2 3a a令 t(a) 2 3a a3 ，则 t (a) 3 3a20知 t(a)在(0,1)上是增函数，所以，t(a) t(1) 4,即 h(1) 4 ,故 f (x) g(a) 432(ii)当 a 1 时，g(a) 2 3a,故 h(x) x3 3x 2,得 h (x) 3x 3此时 h(x) 在( -1 ， 1 )上是减函数，因此h(x) 在-1 ， 1 上的最大值是h( 1) 4 ，故f(x)

28、g(a) 4综上，当 x 1,1时，恒有 f (x) g(a) 45.(14广东文数21)已知函数f(x) 1 x3 x2 ax 1(a R)(1)求函数f(x)的单调区问；111(2)当a 0时，试讨论是否存在x0 (0,-)U(-,1),使得f(x0)=f(-) 222.一 一 一 2_2解：(1) f (x) x2 2x a ,方程 x 2x a 0 的判别式 4 4a,所以，当a 1时， 0, f (x) 0,此时f(x)在(，)上为增函数；当a 1时，方程x2 2x a 0的两根为 1 JTT当x (, 1 JTT)时，f (x) 0 ,此时f(x)为增函数；当x( 1ba,1 J1

29、a )时,f (x) 0,此时f(x)为减函数;当x( 16 a,)时，f (x)0,此时f(x)为增函数；综上a 1时，f (x)在(，)上为增函数;当a 1时，f (x)的单调递增区间为(1. 1 a),( 1 , 1 a,),-可编辑修改-f(x)的单调递减区间为(1 Via113(2) f(x°) f(-) -x0 232x0ax0-(1)33 21 2(2)1 a(2)11 33 x°(歹2x0(2)2a(x0112(X0)(X032Xo，1、，1、，1、（Xo 二）（x0 二）a（X0 二）2221 y 2 / I w Xo (Xo -)(-23Xo112Xo”

30、)1 /1'/ 212 (Xo-)(4 X014xo12a),一，11所以，若存在X0 （0,）U（,1）,使得f（X0）22,1 . 1 ，一在（0）U（，,1）上有解,22 , 1、2 / /f (一),必须 4 X014 X027 12a 0Qa 0,142 16(7 12a)4(21 48a) 014 2.21 48a方程的两根为 721 48a因为X00,所以Xo只能是721 48a依题意,7+ ,21 48 a 0 1,即7.21 48a 11所以4921 48a 121,25a12712又由"J2178a = 1,得 a所以，当a （2255、，一, )U (1

31、245,故欲使满足题意的 X0存在，则a4）时，存在唯一的当a (，25U 172，0)U125 一， 一.-时，不存在4X。11Xo (0,) U (,1)满足 f (Xo) 22(0)U(,1)使彳导f (Xo) f22-可编辑修改-6.已知函数 f (x) (x3 3x2 ax b)e x .(1)若 a b 3 ，求 f (x) 的单调区间；若£他)在(,),(2,)单调增加，在(，2),(,)单调减少，证明：<6.(21 )解：(09海南宁夏理21)(本小题满分12分)(I)当 a b 3 时，f(x) (x3 3x2 3x 3)e x,故f'(x) (x3 3x2 3x 3)ex (3x2 6x 3)e xe x(x 3 9x)x(x 3)( x 3)e x当 x3或 0 x 3时,f'(x) 0;当 3 x 0或x 3时,f'(x) 0.从而f(x)在(，3),(0,3)单调增加，在(3,0) , (3,)单调减少.(n)f'(x)(x33x2 axb)ex (3x2 6x a)ex e xx3(a 6)x b a.由f'(2) 0,即 232(a6) b a 0,故 b