考研概率论复习古典概型中几种研究模型

1、古典概型中研究的几类基本问题：抛硬币、掷骰(t)子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中，有着十分重要的意义.一方面，这些随机试验，是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律.另一方面，这种模型化的处理方法，思想活泼，应用广泛，具有极大的普遍性不少复杂问题的解决，常常可以归结为某种简单的模型.因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机

2、取数问题和选票问题)，给出它们的一般解法，指出它们的典型意义，介绍它们的常见应用.一、摸球问题例1袋中有a个白球,3个黑球：(1)从中任取出a+b个(a,bN,aa,b3,试求所取出的球恰有a个白球和b个黑球的概率；(2)从中陆续取出3个球(不返回，求3个球依次为“黑白黑”概率；(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止，求最后是白球留在袋中的概率.思考方法这里的三个小题，摸球的方式各不相同，必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点，对应着从“+3个球中任取a+b个球的一种取法，无需考虑顺序，属于组合问题.(2)中的每一个样本点，对应着从a+3个球中依次

3、取出三个球的一种取法，需要考虑先后次序，属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了a种不同情形：摸剩a个白球，a-1个白球,1个白球.因此，必须对各种情形分别加以考虑.解(1)设A表示事件“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.从“+3个球中任意摸出a+b个，有ca，B=种不同取法，此即样本空间所包含的样本点总数.而事a+bj件A所包含的样本点数，相当于从a个白球中任取a个，从3个黑球中任取b个的取法种数共cacb=所以abC1C:P(A1)=-C：H：(aYP、I1aAbJ&+p、a+bj(2)设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从a+3个球中依次任取3个，有Q邛种

4、取法，此即样本点总数.对于有利场合，第一个和第三个黑球可在3个黑球中依次取得，有A种取法，第二个白球可在a个白球中任取，有A1种取法.因此,A2所包含的样本点数P(A2)=(:-1)仁；7)(_：)1)(二)2)(3)袋中只剩白球时(设此事件为A),取出的球必为3个黑球，i个白球(i=0,1,a-1).用Bi表示事件“取出3个黑球，i个白球，袋中留下的全是白球”(i=0,1,”-1),则事件B0,Bi,B-1,3必两两互不相容，且A3=B0+B+,+B-i.依概率的有限可加性，有P(A3)=P(B0)+P(Bi)+P(B2)+P(B”-1)依事件Bi的含义，对于确定的i,它的样本空间就是从“+

5、3个球中任取i+3个球的排列.所以，样本点总数为A卷.注意到i+3个球取出后，留在袋中的全是白球，因而在这i+3个球中，最后取出的一个应是黑球.这样，事件B的有利场合，就是i+3-1个球的全排列(3个黑球中扣除1个，以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i个白球可从“个白球中取得，有C种取法；3-1个黑球可从3个黑球中取得，有Cg种取法,.从而事件Bi所包含的样本点数P(Bi)=C-.二！：！(一I-J)Ci中把诸P(Bi)的值代入(1)式，并注意到Cm2+,Cm-n二Cn-1mn即得二！012.i_：!：!.j二：P(A3尸c0c1c21,C.L=rJ=评注如果把题中的“白球”、“黑球”换为

6、“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等，我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会，我们再来看下面的例子：(1)一批灯泡40只，其中3只是坏的，从中任取5只检查.问：5只都是好的概率为C3C2C37c3C5C40多少？5只中有2只坏的概率为多少?C5答案：C7C5C40(2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12得的两个数构成的分数为可约的概率及13的8张相同的卡片中，任意取出2张，求由所取C;答案：话)C82(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张，求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率答案:C26c26C2(4)用火车运载两类产品，甲类n件，乙类m件.有消息证实，

7、在路途中有2件产品损坏求损坏的是不同产品的概率.c1c)答案：C4cm)C(5)一个班级有2n个男生和2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率.答案:C2nC21nC2nC4n(6)从数1,2,n中任取两数，求所取两数之和和偶数的概率(答案：当2C2,c021)/2n为偶数时，p=仝臀；当n为奇数时,p=C：C(n)/2)On不难发现，上述各个问题的解决，都可以归结为摸球问题(例1(1).我们说摸球问题具有典型意义，原因也正在于此.,二、分球入盒问题例2把n个球以同样的I率分配到N(nN)个盒子中的每一个中去，试求下列各事件的概率：(1) A：某指定n个盒子

8、中各有一球；(2) B:恰有n个盒子，其中各有一球；(3) C:某指定盒子中恰有m(mcn)个球.思考方法解答本题时，要发掘“n个球以同样的概率分配到N个盒子中的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说，每一个球，被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有N种不同的去向.解因为n个球中的每一个球，都以同样的概率进入N个盒子中的任意一个，所以样本点总数为W(1)n个球分别分配到N个预先指定的盒子中去，相当于n个球的全排列，因此事件A所包含的样本点数为A,于是P(A尸n!Nn(2)对于事件B,n个盒子可自N个盒子中任意选取，有CN种选法，因而事件B包含cnh个样本点，于是P(B尸卫:一

9、NNnNn(N-n)!(8)事件C中的m个球，可以从n个球中任意选取有Cnm种选法，其余的n-m个球可以任意分配到另外N-1个盒子中去，有(N-1)n-m种分配法.因而事件C包含C;(N-1)n个样本点.这样P(C)=C:(N-1)njmn_m评注不难发现当n和N确定时P(C)只依赖于m.如果把P(C)记彳Pm,依二项式定理有n1111Pm八Cnm(：)m(1-：)n*(：1-：)n=1.mHNNNN上述等式的概率意义是十分明显的.就是对于某个指定的盒子来说，进入盒子中的球数不外是0,1,.,n;从而这n+1种情形的和事件为必然事件，其概率必为1.这个问题实质上就是贝努利(Bernoulli)

10、概型.n个球在N个盒子中的分布，是一种理想化的概率模型，可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点，我们列举一些貌异质同的试验：(1)生日.n个人的生日的可能情形，相当于n个球放入N=365个盒子中的不同排列(假定一年有365天).(2)性别.n个人的性别分布，相当于把n个球放入N=2个盒子中.(3)意外事件.如果把n个意外事件按其发生在星期几来分类，相当于n个球放入N=7个盒子中.(4)掷骰子.掷n颗骰子的可能结果，相当于把n个球放入N=6个盒子中.(5)质点入格.n个质点落于N个格子中的可能情形，相当于n个球分入N个盒子中.(6)旅客下站.一列火车中有n名旅客，它在N个站上都

11、停.旅客下站的各种能情形，相当于n个球分到N个盒子中的各种情形.(7)住房分配.n个人被分配到N个房间中去住，则人相当于球，房间相当于盒子.(8)印刷错误.n个印刷错误在一本具有N页的书中的一切可能的分布，相当于n个球放入N个盒子中的一切可能分布(n必须小于每一页的字数).从上面所列举的部分试验，我们不难体会分球入盒的模型的意义.因而使例2成为古典概率中的典型问题之一，为一类实际问题的求解，提供了有效的途径.作为练习，读者可利用本题的思想方法，解答下列各题：(1)同时掷4颗质量均匀的骰子，求出现完全不相同的点数的概率.A(答案：令)64(2)设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集

12、中在一星期中任意两天但不是都在同一天的概率.答案:C72(26-2)76(3)有n个质点，每个质点都等可能地落于N(nb,试求下列事件的概率：(1) A:在计票过程中，甲、乙的票数在某个时刻相等；(2) B:在计票过程中，甲的票数总比乙的票数多(3) C:在计票过程中,甲的票数总不落后于乙.思考方法本题结构比较复杂，不大容易入手.为了便于分析，我们不妨考虑一个简化问题，比如，令a=3,b=2.这时，样本空间就是3张属于甲的选票和2张属于乙的选票的全排列.显然这是一个不尽相异元素的全排列问题,其排列种数为(3+2)！=10.如果把样本点具体3！2！写出来，就是乙乙甲甲甲，乙甲乙甲甲，乙甲甲乙甲，

13、乙甲甲甲乙，甲甲乙乙甲，甲乙乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙甲甲乙，甲甲乙甲乙，甲甲甲乙乙.为了直观地反映事件A,B,C的情形，我们可以利用平面坐标的思想，建立样本点和平面折线的对应关系.具体地说，以横轴表示计票张数，纵轴表示计票过程中甲、乙两候选人所得票数之差；先依样本点在计票过程中的情形，在坐标平面上确定点的位置，再用线段把各点连成折线.如图3-31所示，点0(0,0)表示计票起点；点A(1,-1)表示第一张选票是属于乙的，甲、乙票数之差等于-1;点B(2,-2)表示第二张选票也是属于乙的，这时共计了两张选票，甲、乙票数之差等于-2;点C(3,-1)表示第三张选票是属于甲的，这时共计了三张选票，甲

14、、乙票数之差等于-1;点D(4,0)表示第四张选票是属于甲的，这时共计了四张选票，甲、乙票数之差等于0,即两人得票数相等；点E(5,1)表示第五张选票也是属于甲的，这时共计了五张选票，甲、乙票数之差等于1.这样，图3-31的折线就形象地刻划了样本点“乙乙甲甲甲”在计票过程中的情形.同样，图3-32至10的各条折线，刻划了其余九个样本点在计经过上述处理，我们从图3-3就可以形象地看到：事件A包含的样本点，它们所对应的折线，除起点外，与横轴至少有一个公共点；事件B包含的样本点，它们所对应的折线，除起点外，图形全在横轴的上方，与横轴没有其余的公共点；事件C的样本点，它们所对应的折线，在横轴的上方，且

15、与横轴允许有其余的公共点.这样，从图中容易得到，A的样本点数为8,B的样本点数为2,C的样本点数为5.于是P(A)=8/10=0.8;P(B)=2/10=0.2;P(C)=5/10=0.5.分析到这里，简化问题得以解决.为了能用于指导原题的解答，我们还需对简化问题作进一步的考察.细酌题中的各个事件，从图3-3可以得到以下结论：1 .在计票过程中，甲的票数总比乙少的情形是不可能发生的.事实上，如果甲的票数总比乙少，那么甲的得票总数将比乙少，与条件ab相矛盾.这就表明，事件A与B必为互逆事件.2 .事件B的样本点，对应于图3-39、10所示的折线.这两个样本点的共同特点是:甲先得一票；如果把这一票

16、扣除，那么余下的四票就组成甲得2票、乙得2票时，事件“在计票过程中，甲的票数总不落后于乙”的样本点.这样，我们就可把事件B与事件C联系起来，相互转化.3.从1、2可知，解题的关键,在于推求P(A);而计算P(A)的关键,又在于确定A的样本点数.从图3-3不难看出,A的样本点可以分为两类：一类是第一张选票属于乙的；另一类是第一张选票属于甲的.前一类样本点数，相当于3张属于甲的选票和2-1=1张属于乙的选票的全排列数：(3+1)!=4.后-一类样本点数，似难直接推算.但从图3-3可以看出.如果把这一3!1!类样本点所对应的折线，从起点到首次触到横轴的部分，对横轴作一次反射，那么就得到第一类样本点(

17、参考图3314与58.这就是说，两类样本点在所作的反射下是一一对应的.所以，第二类样本点数等于第一类样本点数.分析到这里，原题就不难解出了.解依题设，样本空间就是a张屋于甲的选票与b张属于乙的选票的全排列.这是一个不尽相异元素的排列问题，排列种数为(ab)!,这就是样本点的总数.a!b!(1)为了计算A的样本点数.我们把A的每个样本点表示成形如图33的折线，横标为计票张数，纵标为甲、乙票数之差；斜率为1的线段表示计票过程中甲得票，斜率为-1的线段表示计票过程中乙得票.这样，可以把A的样本点分成两类：第一类为第一张选票属于乙的，在这种场合，于某个时刻必然会出现甲、乙两人的票数相等(因为ab)；第

18、二类为第一张选票属于甲，且在某时刻甲、乙两人的票数相等.这里，第一类样本点数，相当于a张属于甲的选票与b-1张属于乙的选票的全排列数，有(种a!(b-1)!对于第二类样本点的任一折线，从起点到首次触到横轴的部分对横轴作一次反射，其余部分保持不变，就得到第一类样本点的一条折线(图3-4).不难证明，用这样的方法可以建立起第一类与第二类样本点之间的一一对应关系.所以，第二类样本点数也是(a+b_1)!.这a!(b-1)!样,事件A的样本点数为2(a-1)!.于是a!(b-1)!2(ab-1)!P(A)=a!(b-1)!2b(ab)!aba!b!(2)在ab的条件下，事件B是事件A的逆事件，所以2b

19、a-bP(B)=1-P(A)=1-=abab(3)为了方便起见，我们用G,b记事件“在计票过程中，甲的票数总不落后于乙”；用Ba,b记事件“在计票过程中，甲的票数总比乙多”(足码a,b表示在计票过程中一共有a+b张选票，其中a张属于甲的,b张属于乙的).容易看出，Ba,b的样本点，它们所对应的折线，全在横轴的上方.所以，如果把第一张属于甲的选票去掉(相当于把横轴向上平移一个单位，那么余下(图3-5),从而必是Gib的样本点.的折线仍在新横轴的上方，最多与新横轴有若干个公共点也就是说，Ca-1,b的样本点数与B,b的样本点数相等.因此,Ca-1,b的样本点数为(ab)!_2(ab-1)!_(ab-1)!(a-b)a!b!-a!(b-1)!-a1b!而对应