第3讲对角互补模型解析版

1、中考数学几何模型3:对角互补模型名师点睛拨开云雾开门见山共顶点模型,即四边形或构成的几何图形中,相对的角互补.主要：含90°的对角互补,含120°的对角互补,两种类型,种类不同,得出的个别结论会有所区别.解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线类型一：含90°的对角互补模型(1)如图,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,那么有以下结论:CDCE；ODOE=2OC；12SqOCD+9=产B作法1(2)如图,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,当/DCE的一边与AO作法2的延长线交于点D时,那么有以下结论

2、:作法1作法2类型二：含120°的对角互补模型(1)如图,/AOB=2/DCE=120,OC平分/AOB,那么有以下结论:CDCE；2)ODOE=OC；一；3一S二OCD+S&OCE一OC4oB作法1(2)如图,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,当/DCE的一边与AO作法2的延长线交于点D时,那么有以下结论：CDCE；OE-OD=2OC；12S.OCE-S.,OCD=OC2作法1作法2启迪思维探究重点典题探究例题1.如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中央,正方形OMNP绕O点旋转,证实：无论正方形OMNP旋转到何种

3、位置,这两个正方形重叠局部的面积总是一个定值,并求这个定值.【解答】解：当OP/AD或OP经过C点,重叠局部的面积显然为正方形的面积的,即25,当OP在如图位置时,过O分别作CD,BC的垂线垂足分别为E、F,如图在RtOEG与RtAOFH中,/EOG=/HOF,OE=OF=5,OEGAOFH,"S四边形OHCG=S四边形OECF=25,即两个正方形重叠局部的面积为25.变式练习>>>1.角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上AEVBE,且/EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证：OM=ON.2假设正方

4、形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.【解答】解：1二.四边形ABCD是正方形,£如图,过点.作WJ-.W于点,'.,正方兆的边长有4,"5出二后为CM的中点,OA=OB,/DAO=45°,/OBA=45°, ./OAM=ZOBN=135°, ./EOF=90°,/AOB=90°, ./AOM=/BON,OAMAOBN(ASA), .OM=ON;例题2.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角ABD和直角CBD,其中/A和/C都是直角,另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.【解答】解：将ABC

5、绕点A旋转90°,使B与D重合,C到C'点,那么有/CDC'=/ADC+/ADC'=ZADC+ZABC=180°所以C、D、C'在同一直线上,那么ACDC'是三角形,又由于AC=AC',所以ACC'是等腰直角三角形,在ABC和ADC'中rAB=ADZBAC=ZDAC/tAC=ACJABCAADC'(SAS),四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC'的面积,所以S四边形abcd=S"cc,=X2X2=2.变式练习>>>12,贝UBC+CD=2.如图,在四边形ABC

6、D中,/A=ZC=90°,AB=AD,假设这个四边形的面积为答案：43例题3.如图,在RtABC中,/ABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,/MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=3.如图作MPN2AQ2x+3x=3xCABDOCBFEFXBE4PQ/BC四边形ABCD是矩形四边形PQBR是矩形如图,连接AC上,连接PQ=2PR=2BQ3.如图,在矩形ABCD故答案为3OB=OFAP=AB:BC:AC=3:4:5EFXBE,垂足为EBF的中点O,连接AB=CD=3,BC=AD=5PQ=4xBEF=/B

7、CF=90AB=3,BC=5,点E在对角线(2)互E=C7r仍然成立.证实：在Race和中,：AWA-AACD-6,-,AWC=6t)e,：.£ADF-1,在上£三和AMF卬2FAA/CAE*AC=AD>：.C£=Df*.3ECF.OE=OB=OF=OC,.B,C,F,E四点共圆,./EBF=ZECF,.tan/EBF=tanZACD,.阳=巫=2EBCD3E作两垂线亦可】应选：B.【此题两种方法解答,过例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点

8、与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.1当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,如图1,通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论直接写出结论,不用证实；2当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时如图2,你在1中得到的结论还成立吗说明理由；3在上述情况中,AEC的面积是否会等于273?如果能,求BE的长；如果不能,请说明理由.【解答】解：(1)BE=CF.证实：在ABE和4ACF中, .ZBAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60°,./BAE=ZCAF. AB=AC,/B=/ACF=60°,A

9、BEAACF(ASA).BE=CF;(3)能._ AEC的CE边上的高为签边ABC的高,为275,.AEC的面积等于2盛j,底边CE=2,BE=6或2.变式练习>>>4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点(1)假设点A(x,y)是“完美点,且满足x+y=4,求点A的坐标；(2)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),连接OB,E点从O向B运动,速度为2个单位/秒,到B点时运动停止,设运动时间为t.不管t为何值,E点总是“完美点；如图2,连接AE,过E点作PQx轴分别交AB、OC于P、Q两点,过点E作£5,人£交【解答

10、】解(1)二.点A(x,y)是“完美点x=yx+y=4,x=2,y=2二.A点坐标(2,2)(2)二四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),AO=AB=BC=4B(4,4)设直线OB解析式y=kx过B点.4=4kk=1直线OB解析式y=x设点E坐标(x,y)点E在直线OB上移动x=y不管t为何值,E点总是“完美点例题5.,点P是/MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使/APB+ZMON=180°.(1)利用图1,求证：PA=PB;(2)如图2,假设点C是AB与OP的交点,当Sapob=3Sapcb时,求PB与PC的比

11、值；(3)假设/MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且/PBD=/ABO,请借助图3补全图形,并求OP的长.轴于点F,问：当E点运动时,四边形AFQP的面积是否发生变化假设不改变,求出面积的值；假设改变,请说明理由.X点总是"完美点.,.£0=00ZBAO-ZAOC-9Q"jPQ,上轴,四边形4Q2P是矩形/.AP=OQfAO-PQ4AP=EQWiZlZF乙FEQ=9Y,/EAF-乙iEP=9."/ZKty-Z2L4P"AP-EQfFEQ-AEAPf妆F=9Q"：.44P岂叁8EFQ：.PE-FQ二3三事心

12、曲工.(AP+FQ0,二2(PE-EO)=2X=82.,当X息运动时四边形XFQP的面积不变,面积为8图1BnOB图图3【解答】解：(1)作PEXOM,PFXON,垂足为E、F.四边形OEPF中,/OEP=/OFP=90°,./EPF+/MON=180°,/APB+/MON=180°,./EPF=/APB,即/EPA+ZAPF=ZAPF+ZFPB,./EPA=ZFPB,由角平分线的性质,得PE=PF,EPAAFPB,即PA=PB;(2)Sapob=3S>apcb,.PO=3PC,由(1)可知PAB为等腰三角形,那么(180°-/APB)="

13、;k/MON=/BOP2ZPBC=2又BPC=ZOPB(公共角),.PBCAPOB,上一POFB'作垂足为a,=褒'工,-4上二1二.,：,由取二阳,(1S3"ZAPS)=302又：/PED二乙i承,/尹初一/尸的-44BO=lgO*；,/川用.二Usoc-和°)-7S°,2那么上.呼二=105",在<?班中,£与£2?=30",ZBA7=45",在RTG038中,河=工.8=».口=五2在Nt&PBK中；P衽二B聋二1；：-OP=OH-PH=4l.PC即PB2=PO?PC=

14、3PC2,领悟提升强化落实达标检测1 .如图,在等腰RtABC中,/C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在ACBC边上运动,且保持AD=CE连结DE、DF、EF,在此运动变化的过程中,以下结论：ADEF是等腰直角三角形；四边形CDF4可能为正方形；四边形CDFE的面积保持不变；DE长度的最小值为4;CDE面积的最大值为8,其中正确的结论是.fB答案：2 .如图,在四边形ABCD中,AB=BCZABC=ZCDA=90°,BEXAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,求BE的长.答案：223 .如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC,BD的交点,点E

15、在CD上,且DE=2CE,连接BE.过点C作CFLBE,垂足为点F,连接OF.求：(1) CF的长；(2)OF的长.【解答】解：(1)如图,在BE上截取BG=CF,连接OG, RTABCE中,CFXBE, ./EBC=ZECF, ./OBC=ZOCD=45°, ./OBG=ZOCF,在OBG与OCF中,rOB=OC、Z0BG=Z0CF, .OBGQOCF(SAS),.OG=OF,/BOG=ZCOF, OGXOF,在RTABCE中,BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,在等腰直角.丘尸中2FL,5 -BE=正+2之=2A, BC2=BF?BE,贝U62=BF?27T5解得：BF=Jb

16、01,5EF=BE-BF=, CF2=BF?EF,.cf=JZl；54.如图,/QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,/QPN=",将/QPN绕点P旋转,旋转过程中/QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重(1)如图,当a=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是(2)如图,将图中的正方形ABCD改为/ADC=120°的菱形,DE+DF=AD;其他条件不变,当“=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=请给出证实;,/PAM=30°,./MPD=60°(3)在(2)的条件下,假

17、设旋转过程中/QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证实.【解答】解：(1)正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,PA=PD,ZPAE=ZPDF=45°, .ZAPE+ZEPD=ZDPF+ZEPD=90°, ./APE=ZDPF,在APE和DPF中'NAPE=/DPF卜A±PD卜/PAE=/PDFAPEADPF(ASA),AE=DF,DE+DF=AD;(2)如图,取AD的中点M,连接PM,.四边形ABCD为/ADC=120°的菱形,BD=AD,/DA

18、P=30°,ZADP=ZCDP=60°, .MDP是等边三角形,PM=PD,ZPME=ZPDF=60°,(3)如图,在整个运动变化过程中?当点E落在dD上时,DEDF=4D当点后常在功的延长线上时,df-deXad.2(如图L取名卬点连接PAf,证实即)./QPN=60°,./MPE=/FPD,在MPE和DPF中,NPME0DF,PM=PDKmpe=ZffdMPEADPF(ASA)ME=DF,DE+DF=AaD;25.“如图1,在RtABC中,/ACB=90°,CDLAB于点D.这里,根据已学的相似三角形的知识,易证:里:整在图1这个根本图形的

19、根底上,继续添加条件“如图BDBC2,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD,ED,交直线BC于点F,m(1)探究发现：如图,假设m=n,点E在线段AC上,那么迦=DF(2)数学思考：如图3,假设点E在线段AC上,那么祟=(用含m,n的代数式表示)；Drm当点E在直线AC上运动时,中的结论是否仍然成立请仅就图4的情形给出证实;(3)拓展应用：假设AC=d亏,BC=2/E,DF=4T,请直接写出CE的长.【解答】解：(1)当m=n时,即：BC=AC, ./ACB=90°,.A+ZABC=90°, .CDXAB, ./DCB+ZABC=90°, ./A=ZDC

20、B, ./FDE=ZADC=90°, /FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即/ADE=ZCDF,ADEACDF,-DFDC./A=/DCB,ZADC=ZBDC=90°,ADCACDB,DCBC£故答案为1.(2)./ACB=90°,.A+ZABC=90°, .CDXAB, ./DCB+ZABC=90°, ./A=ZDCB, ./FDE=ZADC=90°, /FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即/ADE=/CDF,ADEACDF,里=里,DFDC ./A=/DCB,/ADC=/BDC=90°,ADCACDB,

21、如一KCn.比_门DC,BCmDFm'故答案为卫m成立.如图,/Z.4CB-90",心=90.又二8L电ADCB-ABC90d./.Za-ZDCB,；2FDE=/HDC=9.,二Z.FDEZC£>£=ZADC+Z.CDE?即/3E=/CDF,DFDCZa=ZDCB,ZADC=ZDC=90.MCs/kcOE.-AD-ACn*DEnft-='n'*DCBCmDFm(3)由(2)有,ADEACDF,当F在/匚延长线上E寸,在RtACJTF中,CF=2AE=2=2的十根据勾股定理得,»CF：二国,:,7卧2力CE/二40,C£；=-f或CZ=-2赤舍5如图4一1,当点万在d延K线上时,CF=2A£=2C£AC=2C£-根据勾股定理得,CFCF-=EF-f二CE-灰F=助：,CE=2或,或CE二一组E舍5艮口士CE-245.CF=2AE,在R