初中几何必做经典难题含答案

1、1.已知：如图,初中几何经典题、解答题（共20小题，满分0分） 。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CDXAB , EFXAB , EGXCO.2 .已知：如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD=/PDA=15°.求证：4PBC是正三角形.（初二）?2010-2014 菁优网3 .如图，已知四边形 ABCD、AiBiCiDl都是正方形，42、B2、C2、D2分另U是AA 1、BBi、CCi、DDi的中点.求证：四边形 A2B2c2D2是正方形.（初二）F.4 .已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC , M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN于E、

2、求证：/ DEN= / F.5 .已知：4ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心，且 OM，BC于M.（i）求证：AH=2OM ;（2）若/ BAC=60 °,求证：AH=AO .（初二）A6 .设MN是圆。外一直线，过。作OALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于 B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ .（初二）7 .如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q.求证：AP=AQ .（初二）8 .如图，分别以 4ABC的边AC、BC为一边，

3、在 4ABC外作正方形 ACDE和CBFG ,点P是EF的中点，求证: 点P到AB的距离是AB的一半.9 .如图，四边形 ABCD为正方形，DE / AC , AE=AC , AE与CD相交于F. 求证：CE=CF.BC10 .如图，四边形 ABCD为正方形，DE /AC,且CE=CA ,直线EC交DA延长线于F. 求证：AE=AF .（初二）FAD11.设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点, 求证：PA=PF.（初二）PF± AP, CF 平分/ DCE .12 .如图，PC切圆O于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC ,

4、 BC=AD .13 .已知：4ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA=3, PB=4, PC=5. 求：/ APB的度数.（初二）14 .设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA=/PDA.求证：/ PAB=/PCB.15 .设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB ?CD+AD ?BC=AC ?BD .（初三）16 .平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE=CF.求证：/DPA=/DPC.（初17 .设P是边长为1的正4ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：V3<<2.BC19. P为正方形ABCD内的一点，并且

5、18 .已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB+PC的最小值.PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的边长.20.如图，4ABC 中，/ ABC= / ACB=80 °, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA=30 °, / EBA=20 °,求/ BED 的度数.初中几何经典题一、解答题（共1.已知：如图， 求证：CD=GF .参考答案与试题解析20小题，满分0分）。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CDXAB , EFXAB , EGXCO.（初二）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理.分析： 首先根据四点共圆的

6、性质得出GOFE四点共圆，进而求出 GHFsOGE,再利用GH/CD,得出，四!=更=口，即可求出答案.GF GH CD解答：证明：作GHXAB ,连接EO. EFXAB , EGXCO,/ EFO= / EGO=90 °,G、O、F、E四点共圆, 所以/ GFH=ZOEG, 又. / GHF=Z EGO, . GHFA OGE, CDXAB , GHXAB , GH / CD,1=-1='GF GH CD'又 CO=EO, CD=GF .GOFE四点共圆是解题关点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出 键.2.已知：如图， P是正

7、方形 ABCD内点，/ PAD=/PDA=15°.求证：4PBC是正三角形.（初二）BC考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定.专题：证明题.分析： 在正方形内做 4DGC与4ADP全等，根据全等三角形的性质求出4PDG为等边，三角形，根据 SAS证出 DGCAPGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC ,根据等边三角形的判定求出即可.解答：证明： 正方形ABCD ,AB=CD , / BAD= Z CDA=90 °, . / PAD=/ PDA=15 °, .PA=PD, / PAB=/PDC=75 °,在正方

8、形内做 ADGC与ADP全等，DP=DG , / ADP= / GDC= / DAP= / DCG=15 °, ./ PDG=90 - 15 - 15 =60°,PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），DP=DG=PG , . / DGC=180 - 15 - 15 =150°, .Z PGC=360° - 150 - 60 =150°=Z DGC ,在 DGC和 PGC中fDG=PG NDGC=NPGC ,lgc=gc . DGCA PGC,PC=AD=DC ,和/ DCG= Z PCG=15 °,同理 P

9、B=AB=DC=PC , / PCB=90 - 15 - 15 =60°, . PBC是正三角形.点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求.3 .如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分另U是AA 1、BB1、CC1、DD1的中点.求证：四边形 a2b2c2d2是正方形.（初二）考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析： 连接BCi和ABi分别找其中点F, E,连接C2F与A2E并延长相交于 Q

10、点，根据三角形的中位线定理可得 A2E=FB2, EB2=FC2,然后证明得到/ B2FC2=/A2EB2,然后利用边角边定理证明得到B2FC2与4人2£32全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2c2,再根据角的关系推出得到/A2B2 C2=90°,从而得到A2B2与B2c2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2c2D2是正方形.解答：证明：如图，连接 BCi和ABi分别找其中点F, E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由 A2E=-AlBl=-BlCl=FB2, EB2=-

11、AB=-BC=FC2,2222. / GFQ+/Q=90 °和 / GEB2+/Q=90 °,. .所以/ GEB2=Z GFQ, lZ B2FC2=/A2EB2, 可得B2FC204 A2EB2, 所以 A2B2=B2c2, 又/ HB2c2+/HC2B2=90 °和/ B2c2Q=/EB2A2, 从而可得/ A2B2 c2=90°, 同理可得其它边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2c2D2是正方形.BC点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅 助线构造出全等三角形是解题的关键.4 .已知：

12、如图，在四边形 ABcD中，AD=Bc , M、N分别是AB、cD的中点，AD、Bc的延长线交 MN于E、F. 求证：/ DEN= / F.考点：三角形中位线定理.专题：证明题.连接AC ,作GN / AD交AC于G,连接MG ,根据中位线定理证明 MG / BC ,且GM=BC,根据AD=BC证明GM=GN ,可得/ GNM= Z GMN ,根据平行线性质可得：/ GMF= Z F, / GNM= / DEN从而得出 / DEN= / F.解答： 证明：连接 AC ,作GN / AD交AC于G,连接 MG .N是CD的中点，且NG/AD,2又. M是AB的中点,NG= 1AD , G 是 A

13、C 的中点，MG / BC,且 MG=1bC. 2 AD=BC , NG=GM , GNM为等腰三角形, ./ GNM= / GMN , GM / BF, ./ GMF= / F, GN / AD , ./ GNM= / DEN , ./ DEN= / F.点评： 此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明 4GNM为等腰三角形.5.已知：4ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，。为外心，且 OM，BC于M.(1)求证：AH=2OM ;(2)若/ BAC=60 °,求证：AH=AO .(初二)A30度角的直角三角形；平行四边形的:三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；

14、等腰三角形的性质；含 判定与性质；垂径定理；圆周角定理.:证明题.(1)过。作OFLAC,于F,则F为AC的中点，连接 CH,取CH中点N,连接FN, MN ,得出平行四边形OMNF ,即可得出答案.解答:(2)根据圆周角定理求出/ BOM ,根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可.证明：(1)过。作OF，AC ,于F, 则F为AC的中点，连接CH ,取CH中点N,连接FN , MN ,贝U FN / AD , AH=2FN , MN / BE,AD ±BC, OM ± BC , BE LAC, OFXAC, OM / AD , BE / OF, M为BC中点，

15、N为CH中点，MN / BE,OM / FN, MN / OF, 四边形OMNF是平行四边形， OM=FN , AH=2FN , AH=2OM .(2)证明：连接OB, OC, / BAC=60 °, ./ BOC=120 °,/ BOM=60 °, ./ OBM=30 °,OB=2OM=AH=AO ,即 AH=AO .点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作 辅助线.6 .设MN是圆。外一直线，过。作O

16、ALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于 B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ .（初二）考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；轴对称的性质.专题：证明题.分析： 作E点关于GA的对称点F,连FQ、FA, FC,根据轴对称和平行线性质推出/FAP=Z EAQ , / EAP= / FAQ,FA=EA ,求出/ FCQ=Z FAQ,推出FCAQ四点共圆，推出/ PEA= Z QFA ,根据ASA推出 PEA和QFA 全等即可.解答:证明：作E点关于GA的对称点F,连FQ、FA,FC,AOA ± MN , EF &

17、#177; OA ,则有/ FAP=/ EAQ , / EAP= / FAQ, FA=EA , E, F, C, D 共圆 ./ PAF=/AFE=/AEF=180/ FCD, . / PAF=180-Z FAQ, / FCD= / FAQ , FCAQ四点共圆，/ AFQ= / ACQ= / BED , 在AEPA和FQA中 "ZPEA-ZQFA' AF-AE , lzpae=zqaf . EPAA FQA, AP=AQ .点评：本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出/AEP=/AF

18、Q,题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等.7 .如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q.求证：AP=AQ .（初二）考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质.分析： 作 OFXCD, OGXBE,连接 OP, OA, OF, AF, OG, AG , OQ,证明 ADF AABG ,所以/ AFC= / AGE ,AOP= / AOQ ,进而得至U AP=AQ .再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内

19、对角，证得/解答： 证明：作 OFXCD, OGXBE ,连接 OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ.由于 AP AC CD 2FD Fg / fda= / abq ,AB'AE-BE_2BGBGADFA ABG , ./ AFC= / AGE ,四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，/ AFC= / AOP ; / AGE= / AOQ ,/ AOP= / AOQ , AP=AQ .D点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对 角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形.8 .如图，分别以 ABC的边AC、

20、BC为一边，在 4ABC外作正方形 ACDE和CBFG ,点P是EF的中点，求证: 点P到AB的距离是AB的一半.考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析： 分另1J过E, F, C, P作AB的垂线，垂足依次为 R, S, T, Q,贝U PQ=1 (ER+FS),易证RtAAER RtACAT,2贝U ER=AT , FS=BT , ER+FS=A T+BT=AB ,即可得证.解答：解：分别过 E, F, C, P作AB的垂线，垂足依次为 R, S, T, Q,则ER / PQ / FS, P是EF的中点，Q为RS的中点， PQ为梯形EFSR的中位线， PQ=1 (

21、ER+FS),2 AE=AC (正方形的边长相等)，/ AER= /CAT (同角的余角相等)，/R=/ATC=90°, RtAAERRtACAT (AAS ), 同理 RtABFSRtACBT ,ER=AT , FS=BT , ER+FS=AT+BT=AB , pqJab .2DRQIBr59.如图，四边形 ABCD为正方形, 求证：CE=CF.点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键.DE / AC , AE=AC , AE 与 CD 相交于 F.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定

22、与性质.专题：证明题.分析： 把4ADE顺时针旋转90得到4ABG ,从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明4AGB与 CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG ,所以4AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出/ CEF=ZCFE=75°,从而得解.解答： 证明：如图所示，顺时针旋转AADEg。°得至ij 4ABG ,连接CG . . / ABG= Z ADE=90 +45 =135 °, .B, G, D在一条直线上， ./ ABG= Z CBG=180 - 45 =135 °, rAB=BC AGB 与 CGB 中，&#

23、39; ZABG=ZCBG , IBG二BG AGBA CGB (SAS),AG=AC=GC=AE , . AGC为等边三角形，AC ± BD （正方形的对角线互相垂直），/ AGB=30 °,/ EAC=30 °, AE=AC , / AFC- /-30。_7/ 乙 AEC=乙 ACE-/5 ,2又. / EFC= Z DFA=45 +30 =75 °, CE-CF.点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解 题的关键.10.如图，四边形 ABCD为正方形，DE /AC,且CE-CA ,直线EC交

24、DA延长线于F. 求证：AE-AF .（初二）Fd D考点：正方形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定.专题：计算题.分析： 连接BD ,作CH LDE于H ,根据正方形的性质求出正方形DGCH ,求出2CH-CE ,求出/ CEH=30 °,根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出/AEC= ZCAE=15 °,求出/ F的度数即可.解答：证明：连接BD,作CHLDE于H, 正方形ABCD ,/ DGC=90 °, GC=DG , AC / DE, CHIDE,/ DHC= / GCH= / DGC=90 °

25、,，四边形CGDH是正方形.由 AC=CE=2GC=2CH , ./ CEH=30 °, ./ CAE= Z CEA= ZAED=15 °,又. / FAE=90 +45 +15 =150 °, ./ F=180 - 150 - 15 =15°, ./ F=ZAEF , AE=AF .点评:本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等卜口识点，此题综合性较强，但难度适中.PF± AP, CF 平分/ DCE.11.设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点, 求证：PA=PF.（初二）考点：正方

26、形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析： 根据已知作FGCD, FELBE,可以得出GFEC为正方形.再利用全等三角形的判定得出AABPA PEF,进而求出PA=PF即可.解答： 证明方法一：作 FGXCD, FELBE,可以得出 GFEC为正方形.令 AB=Y , BP=X , CE=Z ,可得 PC=Y - X.tanZ BAP=tan Z EPF=-=-,可得 YZ=XY - X2+XZ ,Y Y-X+Z即 Z (Y X) =X (Y X),即得 X=Z ,得出ABPA PEF,PA=PF.方法二：在 AB上截取 AG=PC ,连接PG ABCD是正方形AB=BC，- DC

27、B= / APF=90 °AG=CPBG=BP , / BGP= / BPG=45 ° / AGP=180 - / BGP=135 ° . CF 平分/ DCE/ FCE=45 ° ./ PCF=180 - Z FCE=135°/ AGP= / PCF . / BAP+ ZAPB=90 °/ FPC+Z APB=90 ° ./ BAP= ZFPC,'/BAP 二 NFPC在 AGP 和 PCF 中' AG=PC,AGP =/PCFAGPA PCF (ASA )PA=PF.12 .如图，PC切圆O于C, AC为

28、圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC , BC=AD .考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质.分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可.解答： 证明：作 CQLPD 于 Q,连接 EO, EQ, EC, OF, QF, CF,所以PC2=PQ?PO （射影定理），又 PC2=PE?PF,所以EFOQ四点共圆，/ EQF= / EOF=2 / BAD ,又/ PQE=ZOFE=Z OEF=Z OQF ,而 CQ± PD,所以/ EQC=/FQ

29、C,因为/ AEC= / PQC=90 °,故B、E、C、Q四点共圆，所以/ EBC= / EQC=-Z EQF=-Z EOF=Z BAD ,22CB / AD ,易证AOD0COB,所以BO=DO ,即四边形 ABCD是平行四边形，AB=DC , BC=AD .点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键.13 .已知：4ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA=3, PB=4, PC=5.求：/ APB的度数.（初二）考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质.专题：计算题.分析： 先把4A

30、BP旋转60彳导到ABCQ,连接PQ,根据旋转性质可知 BCQBAP,由于/ PBQ=60°, BP=BQ , 易知 BPQ是等边三角形，从而有 PQ=PB=4 ,而PC=5, CQ=3 ,根据勾股定理逆定理易证 PQC是直角三 角形，即/ PQC=90°,进而可求/ APB .解答： 解：把4ABP绕点B顺时针旋转6071ij4BCQ,连接PQ, . / PBQ=60 °, BP=BQ , . BPQ是等边三角形，PQ=PB=4,而 PC=5, CQ=4,在 PQC 中，PQ2+QC 2=PC2, . PQC是直角三角形， ./ BQC=60 +90 =150

31、°, ./ APB=150 °, 小 丁Q点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑 把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标.14 .设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA=/PDA.求证：/ PAB=/PCB.考点：四点共圆；平行四边形的性质. 专题：证明题.分析：根据已知作过 P点平行于AD的直线，并七点 / ABP= / ADP= Z AEP,E,使 PE=AD=BC ,禾1J用 AD / EP, AD / BC ,进而得出得出AEBP共圆，即可得出答案.解答： 证明：作过P点平

32、行于AD的直线，并选一点 巳使PE=AD=BC , AD / EP, AD / BC. 四边形AEPD是平行四边形，四边形 PEBC是平行四边形，AE / DP, BE / PC, ./ ABP= ZADP= ZAEP,AEBP共圆（一边所对两角相等）. ./ BAP= ZBEP=Z BCP, ./ PAB=Z PCB.点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键.15 .设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB ?CD+AD ?BC=AC ?BD .（初三）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理.分析： 在 BD 取一点 E,使/ BCE=

33、/ ACD ,即得BECsADC ,于是可得 AD ?BC=BE ?AC ,又: / ACB= / DCE ,可得ABCsDEC,既得a二/，即AB ?CD=DE ?AC ,两式结合即可得到 AB ?CD+AD ?BC=AC ?BD . AC DC解答： 证明：在 BD取一点E,使/ BCE=/ACD,即得BECsadC,可得： 壁二也，即AD?BC=BE?AC,BC AC又 / ACB= / DCE ,可得 ABC DEC ,即得包=辿，即AB?CD=DE?AC,AC DC由 + 可得：AB?CD+AD ?BC=AC ( BE+DE ) =AC ?BD ,得证.D-,5ABD上取一点E,使点

34、评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在 / BCE= / ACD ,此题难度一般.16 .平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE=CF.求证：/DPA=/DPC.（初考点：平行四边形的性质；角平分线的性质.专题：证明题.'析,过D作DQAE, DGXCF,由S乙ADE='平行四边3AB'）=SvDFC,可得：旦巴驾丝1跑，又< AE=FC , -2-22可得DQ=DG ,可得/ DPA=/DPC （角平分线逆定理）.解答： 证明：过 D作DQAE, DGXCF,并连接DF和DE,如右

35、图所示：MS -四.'则 SAADESADFC，2ae-dq=dg-fc ? 22又 AE=FC ,DQ=DG ,PD为/ APC的角平分线，/ DPA= / DPC （角平分线逆定理）.点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质 进行证明.17 .设P是边长为1的正4ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证： Vs<<2.考点：等边三角形的性质；三角形三边关系；旋转的性质.专题：证明题._分析：只要AP, PE, EF'在一条直线上，可得最小 L=J5;过P点作BC的平行线交AB , AC于点D, F,可得

36、AD>AP,BD+DP>BP,PF+FOPC,DF=AF,从而得出结论.解答： 证明：（1）顺时针旋转 BPC60°,可得4PBE为等边三角形.即得要使 PA+PB+PC=AP+PE+EF最小，只要 AP, PE, EF'在一条直线上，即如下图：可得最小 L=（2）过P点作BC的平行线交 AB , AC于点D, F.由于/ APD>Z AFP= ZADP ,推出AD >AP又BD+DPaBP和 PF+FOPC又 DF=AF由 可得：最大Lv2;由（1）和（2）即得：V3<<2.AFr点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关

37、系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键.18 .已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB+PC的最小值.考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质.分析： 顺时针旋转 BPC60度，可得4PBE为等边三角形，若 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP , PE, EF在一条直线上，求出 AF的值即可.解答： 解：顺时针旋转 BPC60度，可得4PBE为等边三角形.即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF .BM=BF ?cos30 =BC?cos30 ="2则A

38、M=1+亚=生/1,22 AB=BF , / ABF=150 ° ./ BAF=15 °既得af=一雪_=返电. coslS4 2点评：本题主要考查轴对称-路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般.19. P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的边长.考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质.专题：综合题.分析： 把4ABP顺时针旋转90°得到aBEC,根据勾股定理得到 PE=2五a,再根据勾股定理逆定理证明APEC是直角三角形，从而得到/BEC=135 °,过点C作C

39、FLBE于点F, CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长.解答： 解：如图所示，把 4ABP顺时针旋转90°得到ABEC,APBACEB,BE=PB=2a ,PE= 巳 p： =2 ./ 二a，在 PEC 中，PC2=PE2+CE2=9a2, . PEC是直角三角形， ./ PEC=90 °, ./ BEC=45 +90 =135 °,过点C作CFXBE于点F,则CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=a,22在 RUBFC 中，bcRbf' + cFJ'+ （亭a） 即正方形的边长为. .：a.|D k H I点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出 辅助线构造出直角三角形是解题的关键.20.如图，4ABC 中，/ ABC= / ACB=80 °, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA=30 °, / EBA=20 °,求/ BED 的度数.B C考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析： 作/ BCF=60 °,分别交AB、BE于点F、G,构造出等边三角形 BCG,可以求出/ DCF