2.1-第三节 一阶微分方程应用ppt课件

1、第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例例例 1 1 设曲线过点设曲线过点 (1, 1)(1, 1)，且其上任意点，且其上任意点 P P 的切线在的切线在 y y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程线方程. .解设所求的曲线方程解设所求的曲线方程为为 y = y(x)y = y(x)，P(x, y) P(x, y) 为为其上任意点，其上任意点， 则过点则过点 P 的切线方的切线方程为程为),(xXyyY 其中其中 (X, Y) (X, Y) 是切线上动点是切线上动点,(x, y) ,(x, y) 是曲线上任意固定的点是曲线上任意固定的点. .

2、xyOP(x, y)L令令 X = 0 X = 0 ，得切线在，得切线在 y y 轴上的截距为轴上的截距为 Y = y - Y = y - xyxy，y - xy = 3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为这是一阶线性齐次方程，其通解为.2xCy 因曲线过点因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得代入方程，得 C = 1.所 以 曲 线所 以 曲 线方程为方程为.12xy 由题意得由题意得例例 2 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比与他下落的速度成正比 ( (比例系数为常数比例系数为常数 k 0)k 0)，起跳时的速度为起跳时的速度为 0.

3、求下落的速度与时间之间的函求下落的速度与时间之间的函数关系数关系.解设下落速度为解设下落速度为 v(t)v(t)， 则 加 速 度则 加 速 度 a = v a = v (t)(t)运动，物体所受的外力为：运动，物体所受的外力为：F = mg kv，于是，由牛顿第二定律可得于是，由牛顿第二定律可得 mg - kv = mv ， 又由题意得初始条件又由题意得初始条件v |t = 0 = 0，可见，初值问题可见，初值问题 0)0(,vkvmgvm 是一个一是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为阶线性非齐次微分方程，其通解为.etmkCkvmg 由由 v(0) 0 v(0) 0 得得 C mg. C

4、 mg. )1(tmkkmgv e即为所求的函数关系即为所求的函数关系. .所以，特解所以，特解例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设旋转轴设旋转轴 ox如图如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL为为上上任任一一点点，设设),(yxM,yMT 斜斜率率为为为为切切线线, ,1yMN 斜斜率率为为为为法法线线, ,NMROMN , 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN yNMRyxyxyyOMN1tan11tan由夹由夹角正角正切公

5、切公式得式得xyoMTNRL，xyu 令令,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，221tu 令令,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 例例 4 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却， 物体的初始物体的初始温度为温度为 200C ，且由，且由 200C 冷却到冷却到 100C 需要需要

6、40 s.知知(冷却定律冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成：冷却速率与物体和介质的温度差成正比正比.其介质其介质(冷却剂冷却剂)温度始终保持为温度始终保持为 10C， 并求物并求物体温度降到体温度降到 20C 所需的时间所需的时间.解设物体温度为解设物体温度为 q = q (t)， 则物体的冷却速率则物体的冷却速率为为 q (t) . 由冷却定律可得由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程应满足的微分方程为为q q (t) kq (t) 10 (k 0) (t) kq (t) 10 (k 0) ，试求物体温度试求物体温度 q 与时间与时间 t 的函数关系的函数关系,另由题意知另由题

7、意知 q(t) 所满足的初始条件为所满足的初始条件为q |t 0 200.q |t 0 200.于是，初值问题是于是，初值问题是 .200|,10)()(0ttktq qq qq q解此初值问题，得特解解此初值问题，得特解q(t) 10 190ekt .q(t) 10 190ekt .因而，得因而，得.199ln401 k由于由于 (40) = 100， 即即 100 = 10 + 190e-40k ，最后，将最后，将 q = 20 代入上式，代入上式，. s 1589ln19ln19ln40 t即物体温度降到即物体温度降到 20C 大约需要大约需要 2 min38 s . 从而得物体温度从而得物体温度 q 与时间与时间 t 的函数关系为的函数关系为 199ln40e19010)(ttq q40199lne19010t 4019919010t 并解出并解出例例5 5 如下图，平行与如下图，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, , 求曲线求曲线 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxy