理学固体物理晶格振动与晶体的热学性质学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)固体物理晶格振动与晶体的热固体物理晶格振动与晶体的热学性质学性质第一页，共69页。你知道你知道(zh (zh do)do)哪些？哪些？02222tuYxu第1页/共69页第二页，共69页。kvks,/2是常数/kvs波速kkvs线性色散线性色散(ssn)关系关系)(txkiAeuck第2页/共69页第三页，共69页。k第3页/共69页第四页，共69页。第4页/共69页第五页，共69页。xmqqqkxxmH,2121212122222一般一般(ybn)的，晶体有的，晶体有N个原子，个原子，3N个自由个自由度，对应度，对应3N个位移分量个位移分量ui。引入约化坐标。引入约

2、化坐标NiuMqiii3 , 2 , 1,NiiqT31221第5页/共69页第六页，共69页。32 6121)()(0000qVqVqVaVqaV0, 0)(00VaVV221qV第6页/共69页第七页，共69页。N个原子个原子(yunz)：jijiijjijijiNqqqqqqVqqV,02312121,jijiijiiqqqH,221213N3N个耦合个耦合谐振子谐振子Niqqjjiji3 , 2 , 1, 0 221qV第7页/共69页第八页，共69页。处理这样的问题，有标准的线性代数处理这样的问题，有标准的线性代数(xin xn di sh)方法：方法：（1）求本征值）求本征值0,2

3、jjijitiiiCCeCq（2 2）坐标）坐标(zubio)(zubio)变换变换tiiiiiiiCeQQQH,2122Qi：简正坐标，它表示：简正坐标，它表示(biosh)所有原子所有原子q以以同样的频率振动，称为简正模（单模）同样的频率振动，称为简正模（单模）第8页/共69页第九页，共69页。tRqiqjleAq:原子振动形成平面波，由于原子振动形成平面波，由于(yuy)只在格只在格点处有振动，称为格波点处有振动，称为格波 N个原子振动，等于个原子振动，等于(dngy)3N个独立谐个独立谐振子，等价于振子，等价于3N个独立的格波个独立的格波第9页/共69页第十页，共69页。第10页/共6

4、9页第十一页，共69页。all-1l-2l+1lu2lu1lu1lu第11页/共69页第十二页，共69页。一般一般(ybn)(ybn)方法：方法：pllplplluuuMH,222121NluuuMplplpl, 2 , 1, 0 最近最近(zujn)(zujn)邻近似：邻近似：NluuuuMllll, 2 , 1,211 第12页/共69页第十三页，共69页。ddVfNluuuuMllll, 2 , 1)2(11 )()(11llllluuuuuM 第13页/共69页第十四页，共69页。)(laqtilAeuaqMaqM21sin4cos1222 aqMq21sin2第14页/共69页第十五

5、页，共69页。 aqMq21sin2波的（群）速度波的（群）速度(sd)： aqaMdqqdvg21cos波的速度与频率有关，且有周期性：波的速度与频率有关，且有周期性： hKqhaqq2第15页/共69页第十六页，共69页。这对应这对应(duyng)(duyng)固体中的声，无色散固体中的声，无色散qMaaqmq 02sin2aMcqc,第16页/共69页第十七页，共69页。qq2, 0短波短波(dunb)(dunb)极限极限下：下：aqaq22, 驻波驻波(zh b)(zh b)，波，波速是速是0 0第17页/共69页第十八页，共69页。BZaaq1,例：晶格例：晶格(jn )(jn )对

6、对下面两种波的下面两种波的“感受感受”完全一样完全一样aqaaqa25,542,42211第18页/共69页第十九页，共69页。第19页/共69页第二十页，共69页。iaqaqNiee)1(2hNaq 2,2,2NNhhNaq11uuN第20页/共69页第二十一页，共69页。第一布里渊区共有第一布里渊区共有N N个振动模式个振动模式, ,均匀分布。均匀分布。定义（态）波矢密度定义（态）波矢密度(md)(md)：单位波矢数内的：单位波矢数内的模数模数aa 22LNaq NdqLdqLdqqaa22*第21页/共69页第二十二页，共69页。)(laqtilAeuq取决于边界条件：取决于边界条件：2

7、,2,2NNhhNbhNaq第22页/共69页第二十三页，共69页。第23页/共69页第二十四页，共69页。取决于运动取决于运动(yndng)方程得到的色散关方程得到的色散关系：系： aqMq21sin2波振幅波振幅(zhnf)A取决于能量取决于能量晶格中任意晶格中任意(rny)振动，可以分解为这些格波振动，可以分解为这些格波的线性叠加的线性叠加单链的频率谱成为带，即有最低、最高频单链的频率谱成为带，即有最低、最高频率率第24页/共69页第二十五页，共69页。第25页/共69页第二十六页，共69页。l-1l+1ll+2lulv在最近在最近(zujn)(zujn)邻近似下，运动方程：邻近似下，运

8、动方程：)2()2(11llllllllvuuvmuvvuM 第26页/共69页第二十七页，共69页。取行波解取行波解: :只假设两种原子只假设两种原子(yunz)(yunz)振幅不振幅不一样一样)()(tqlailtqlailBevAeu0211222BAmeeMiqaiqa0211222meeMiqaiqa第27页/共69页第二十八页，共69页。iqaemAB1222/12222sin411qaMmmMmMMm02cos4)(22224qaMmmM第28页/共69页第二十九页，共69页。 hKqhaqq2BZaaq1,第29页/共69页第三十页，共69页。2.2.声学声学(shngxu)(

9、shngxu)支支2/12222sin411qaMmmMmMMm长波长波(chngb)(chngb)极限：极限：q0q0， 1,2ABcqqmMa色散关系是线性关系，故称色散关系是线性关系，故称为声学支为声学支元胞中两原子运动一致，像元胞中两原子运动一致，像刚体分子一样，它们的质心刚体分子一样，它们的质心(zh xn)振动和单原子链等振动和单原子链等价。价。第30页/共69页第三十一页，共69页。,aq, 0,2ABM第31页/共69页第三十二页，共69页。3.3.光学光学(gungxu)(gungxu)支支2/12222sin411qaMmmMmMMm长波长波(chngb)(chngb)极限

10、：极限：q0q0， MmmM,2mMAB第32页/共69页第三十三页，共69页。第33页/共69页第三十四页，共69页。,aqABm,2第34页/共69页第三十五页，共69页。2,2,2NNhNahq三、波恩三、波恩(b n)冯卡门边界条件冯卡门边界条件NllNllvvuu,第35页/共69页第三十六页，共69页。每个波矢量每个波矢量q，有，有2个独立个独立(dl)模，共有模，共有2N个独个独立立(dl)模模2,2,2NNhhNbhNaq2/12222sin411qaMmmMmMMm第36页/共69页第三十七页，共69页。晶格晶格(jn )中任意振动，可以分解为这些格中任意振动，可以分解为这些

11、格波的线性叠加波的线性叠加两种模分别形成两种模分别形成(xngchng)两个带，带间有两个带，带间有带隙带隙第37页/共69页第三十八页，共69页。第38页/共69页第三十九页，共69页。22,333222111iiiNhNbNhbNhbNhq第39页/共69页第四十页，共69页。倒格子原胞的体积NNbNbNb1332211 33022VNvq每个每个q q，有，有3n3n个独立模个独立模s s ，它们形成，它们形成3 3个个声学声学(shngxu)(shngxu)支，支，3-33-3光学支光学支第40页/共69页第四十一页，共69页。也可以定义也可以定义(dngy)态密度：波矢空间中态密度：

12、波矢空间中，单位体积元的模数，单位体积元的模数 33022nVNvnqm第41页/共69页第四十二页，共69页。2/012/321.1.补充知识：谐振子量子补充知识：谐振子量子(lingz)(lingz)理论理论2222221212121qqkxxmH, 1 , 0,21nnn第42页/共69页第四十三页，共69页。关于关于(guny) (guny) ，有两种等价的观点，有两种等价的观点：1 1）激发态：谐振子处在第）激发态：谐振子处在第n n个激发态个激发态2 2）声子：体系）声子：体系(tx)(tx)有有n n个声子个声子n第43页/共69页第四十四页，共69页。iiiiQQH2221 ,

13、 1 , 0, 121qssqsqsnnsqn第44页/共69页第四十五页，共69页。3.3.声子的统计声子的统计(tngj)(tngj)理论理论T=0KT=0K时，声子数时，声子数n=0n=0（谐振子处在基态（谐振子处在基态(j ti)(j ti)）。）。T0KT0K时，声子的数目在平时，声子的数目在平均数上下变化。其中，有均数上下变化。其中，有nqsnqs个声子的个声子的概率：概率： qssqssqsnkTqnkTqnqsieenP/配分函数配分函数T0KT0K时，平均时，平均(pngjn)(pngjn)声子数：声子数： qsniqsqsqsnnTn 11TkqqsBseTn第45页/共6

14、9页第四十六页，共69页。 声子的能量声子的能量(nngling)(nngling)由于不同由于不同(b tn)(b tn)模是独立的，晶格振模是独立的，晶格振动的总声子平均数，总平均热激发能：动的总声子平均数，总平均热激发能： qnTsqsqs21)( sqsqssqqsqnTUTnTn,21)(第46页/共69页第四十七页，共69页。4.4.声子的准动量声子的准动量(dngling)(dngling)声子是一种能量子，有粒子声子是一种能量子，有粒子(lz)(lz)性，有性，有能量，还有准动量：能量，还有准动量：电子、光子等与晶格振动的作用，可以电子、光子等与晶格振动的作用，可以描述为声子的

15、吸收和发射描述为声子的吸收和发射(fsh)(fsh)。如光。如光的散射过程：的散射过程：q qkEkEKqkkshkqqkk第47页/共69页第四十八页，共69页。第48页/共69页第四十九页，共69页。kTRNkNkTTTECvv333与温度和材料无关，但实验上测定，当与温度和材料无关，但实验上测定，当 T T 00k k 时，时，C C 00第49页/共69页第五十页，共69页。 11,21)(,TkqqssqsqsVBseTnqnTU 2/2,1,TkqTkqBsBssqsVVBsBseeTkqkqCqCTUTC晶格振动的平均晶格振动的平均(pngjn)热能热能第50页/共69页第五十一

16、页，共69页。 sqsVqCTC,要得到比热，必需先知道晶格振动的本征波矢要得到比热，必需先知道晶格振动的本征波矢，然后完成求和，然后完成求和(qi h)。困难在于，实际晶格的本征波矢困难在于，实际晶格的本征波矢q很难得到。很难得到。第51页/共69页第五十二页，共69页。 Esq 2/213TkTkBEBEVBEBEeeTknNkTCBEEkT 2/213TTTTEBEVEEeeTTnNkTC第52页/共69页第五十三页，共69页。ETT /第53页/共69页第五十四页，共69页。（1 1）高温）高温(gown)(gown)极限：极限： BEVEnNkCTT3,03,/2TTEBEVEEeT

17、TnNkCTT第54页/共69页第五十五页，共69页。成功：能够成功：能够(nnggu)(nnggu)定性说明固体比热和定性说明固体比热和温度的关系，特别是低温时趋于温度的关系，特别是低温时趋于0 0。不足：在低温时，不足：在低温时， 趋于趋于0 0的速度过快的速度过快原因：其假设过于简单，缺少低能声子原因：其假设过于简单，缺少低能声子爱因斯坦模型的实质：该模型的声子对应爱因斯坦模型的实质：该模型的声子对应光学声子。光学声子。第55页/共69页第五十六页，共69页。要得到比热的精确结果，需要完成求和要得到比热的精确结果，需要完成求和(qi h)(qi h)。由于。由于q q在倒空间是准连续的在

18、倒空间是准连续的，求和，求和(qi h)(qi h)用积分代替：用积分代替： ssqssVqCqdVqCTC*3,2四、声子态密度四、声子态密度(md) 32,*VqqdqCqss q波矢密度波矢密度：在：在q q空间单位体积元内空间单位体积元内的模式数的模式数第56页/共69页第五十七页，共69页。 dCTCV0转换到对频率转换到对频率(pnl)(pnl)积分积分 声子态密度声子态密度 表示单位频率间隔内的表示单位频率间隔内的模式数。约束条件：模式数。约束条件： nNd30 ssqqdSV32第57页/共69页第五十八页，共69页。推导推导(tudo)(tudo) dqqdVCdqCqdVq

19、CqdVTCssssssV*333222 ssqqdV*32第58页/共69页第五十九页，共69页。qdSSdS ssqqdV*32 dqqddqdSqdsq, sssqssqqddSVqdqdSV3322 ssqqdSV32第59页/共69页第六十页，共69页。不同不同(b tn)维度的表达：维度的表达： ssDssqDssqDdqqdLqdlSqdSV222212233例：爱因斯坦模型例：爱因斯坦模型(mxng) Esq EssqnNqdSV323qEE 第60页/共69页第六十一页，共69页。ttllcqcq,假设二：有截止假设二：有截止(jizh)(jizh)波矢，波矢，qqDqqD的波不的波不存在存在312*36,34VNqqDD第61页/共69页第六十二页，共69页。在截止频率内