初中锐角三角函数知识点总结

1、 锐角三角函数及其应用某第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、 锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，C为直角，则A为ABC中的一锐角，则有对边邻边斜边ACBA的正弦：A的余弦：A的正切：2、 特殊角的三角函数值（1） 图表记忆法角三角函数三角 值函数3004506001（2） 规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值。（3） 口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三

2、、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉如tan60°=，tan45°=这种方法有趣、简单、易记考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线

3、所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度（坡比），用字母表示；坡面与水平线的夹角叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016某）已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，

4、连接AC、BC，则tanCAB的值为（）A B C D2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义【解析】先求出A、B、C坐标，作CDAB于D，根据tanACD=即可计算【解答】解：令y=0，则x22x+3=0，解得x=3或1，不妨设A（3，0），B（1，0），y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点C（1，4），如图所示，作CDAB于D在RTACD中，tanCAD=2，故答案为D（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016某）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分A一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8B运用科学计算器计算：3sin7

5、3°5211.9（结果精确到0.1）【考点】计算器三角函数；近似数和有效数字；计算器数的开方；多边形内角与外角【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52的近似值，再相乘求得计算结果【解答】解：（1）正多边形的外角和为360°这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°5212.369×0.96111.9故答案为：8，11.9例3、（2015某）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则A的度数约为27.8

6、76;（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可【解答】解：tanA=0.5283，A=27.8°，故答案为：27.8°【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大例4、(2014某)用科学计算器计算：+3tan56°10.02（结果精确到0.01）【考点】计算器三角函数；计算器数的开方【分析】先用计算器求出、tan56°的值，再计算加减运算【解答】解：5.5678，tan56°1.4826，则+3tan

7、56°5.5678+3×1.482610.02故答案是：10.02【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01例5、(2014某)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将ABD绕点B顺时针旋转45°得到ABD，此时AD与CD交于点E，则DE的长度为2【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出AD=AE，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可【解答】解：由题意可得出：BDC=45°，DAE=90°，DEA=45°，AD=AE，在正方形ABCD中，AD=1，AB=AB=1，BD=，AD

8、=1，在RtDAE中，DE=2故答案为：2【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出AD的长是解题关键（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015某）如图，在每一个四边形ABCD中，均有ADBC，CDBC，ABC=60°，AD=8，BC=12（1）如图，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则BMC的面积为24；（2）如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值；（3）如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC的值；若不存在，请说明理

9、由【考点】四边形综合题.【专题】综合题【解析】（1）如图，过A作AEBC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BCEC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接，则BN+NC=BN+NCBC=BN+，可得出BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+BC=BC+BC，求出即可；（3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，

10、根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆O于点M，连接MC，可得BPC=BMCBPC，即BPC最小，cosBPC的值最小，连接OB，求出即可【解答】解：（1）如图，过A作AEBC，四边形AECD为矩形，EC=AD=8，BE=BCEC=128=4，在RtABE中，ABE=60°，BE=4，AB=2BE=8，AE=4，则SBMC=BCAE=24；故答案为：24；（2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接，则BN+NC=BN+NCBC=BN+，BN

11、C周长的最小值为BNC的周长=BN+BC=BC+BC，ADBC，AEBC，ABC=60°，过点A作AEBC，则CE=AD=8，BE=4，AE=BEtan60°=4，CC=2CD=2AE=8，BC=12，BC=4，BNC周长的最小值为4+12；（3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，ADBC，圆O与AD相切于点P，PQ=DC=46，PQBQ，BPC90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆

12、O于点M，连接MC，BPC=BMCBPC，BPC最大，cosBPC的值最小，连接OB，则BON=2BPN=BPC，OB=OP=4OQ，在RtBOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4OQ）2，解得：OQ=，OB=，cosBPC=cosBOQ=，则此时cosBPC的值为【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键例7、（10分）(2014年某省)已知抛物线C：y=x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N（1）求抛物线

13、C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网所有【分析】（1）直接把A（3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示需要分类讨论【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，

14、3）两点，解得，故此抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）由（1）知抛物线的解析式为：y=x22x+3，当x=1时，y=4，xKb 1.C om M（1，4）（3）由题意，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是MN，MNMN且MN=MNMNNN=16，NN=4i）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是MNNM时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C；ii）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C【点评】本题考查了抛物线的平移变换、

15、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点第（3）问需要分类讨论，避免漏解例8、（12分）(2014某)问题探究（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长；（2）如图，在ABC中，ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，

16、现只要使AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网所有【专题】压轴题；存在型【分析】（1）由于PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以EF

17、为直径作O，易证O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长（3）要满足AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长【解答】解：（1）作AD的垂直平分线交BC于点P，如图，则PA=PDPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AB=DC，B=C=90°PA=PD，AB=DC，RtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4，BP=CP=2以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图

18、，则DA=DPPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，C=90°AB=3，BC=4，DC=3，DP=4CP=BP=4点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图，则AD=APPAD是等腰三角形同理可得：BP=综上所述：在等腰三角形ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4；若AP=AD，则BP=（2）E、F分别为边AB、AC的中点，EFBC，EF=BCBC=12，EF=6以EF为直径作O，过点O作OQBC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图ADBC，AD=6，EF与BC之间的距离为3OQ=3OQ=OE=3O与BC相切，切点为QEF为O的直径，E

19、QF=90°过点E作EGBC，垂足为G，如图EGBC，OQBC，EGOQEOGQ，EGOQ，EGQ=90°，OE=OQ，四边形OEGQ是正方形GQ=EO=3，EG=OQ=3B=60°，EGB=90°，EG=3，BG=BQ=GQ+BG=3+当EQF=90°时，BQ的长为3+（3）在线段CD上存在点M，使AMB=60°理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GPAB，垂足为P，作AKBG，垂足为K设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作O，过点O作OHCD，垂足为H，如图则O是ABG的外接圆，ABG是等边三角形，G

20、PAB，AP=PB=ABAB=270，AP=135ED=285，OH=285135=150ABG是等边三角形，AKBG，BAK=GAK=30°OP=APtan30°=135×=45OA=2OP=90OHOAO与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图AMB=AGB=60°，OM=OA=90OHCD，OH=150，OM=90，HM=30AE=400，OP=45，DH=40045若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=40045+3040045+30340，DMCD点M不在线段CD上，应舍去若点M在点H的右边，则DM=DHHM=40045304004530

21、340，DMCD点M在线段CD上综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使AMB=60°，此时DM的长为（4004530）米X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教

22、学中容易出现的几种“错误”进行分析：1对应关系混淆AB图9【1】如图9，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离AB为 （）A. 米B. 米C. 米D. 米解析：分别过点B，A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则ABC是直角三角形，且C=90°, CBA=,，故选B。ABCD图10错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2专用名词不清【2】如图10，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC10米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14米试求旗杆BC的高度 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作CEAD于E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE：AE=1:。，CAE=3