第八章时频分析(2009)

1、第八章第八章 时频分析时频分析8.1 8.1 引言引言8.2 8.2 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 8.3 8.3 维格纳分布（维格纳分布（WD)WD)中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 对一个给定的信号，我们可以用众多对一个给定的信号，我们可以用众多的方法来描述它。在这些众多的描述方法的方法来描述它。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即中，有两个最基本的物理量，即和和。显然，时间和频率与我们的日常生活。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳的存在

2、。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。述信号行为的两个最重要的物理量。 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系()( )j tX jx t edt 12( )()j tx tX jed8.1.18.1.1傅里叶变换的局限性傅里叶变换的局限性中国石油大学（北京

3、）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 1).sin(1).sin(10 .).sin()( 12321211NnNnNnNnNnnnx 103/)sin()sin()(sin()(2321 Nnnnnnx 思考：对上述信号做傅里叶变换，思考：对上述信号做傅里叶变换， 其频谱是什么样子？其频谱是什么样子？例1中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系Lfta.m中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系0200400600-1-0.500.510200400600-2-1012050100150050100150050100150

4、050100150200线性调频信号线性调频信号x(n)=sin(nn)x(n)=sin(nn)00.050.10.150.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81f(t)time (s)amplitude00.511.52x 10402468101214161820Spectrum of f(t)frequency (Hz)例2 傅里叶变换只能表示信号含有哪些频率成分，傅里叶变换只能表示信号含有哪些频率成分，无法告诉我们这些频率在什么时候出现。无法告诉我们这些频率在什么时候出现。Chirp.m中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 中国

5、石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系线性方法线性方法非线性方法非线性方法短时傅里叶变换短时傅里叶变换小波分析小波分析Gabor变换变换维格纳分布维格纳分布Cohen类分布类分布为了克服傅里叶变换不足，为了克服傅里叶变换不足，寻找新的方法，寻找新的方法，能将能将起来描述观察信号的时起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的频联合特征，构成信号的。这就是所这就是所谓

6、的谓的。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系在信号处理中，信号的在信号处理中，信号的 是非常重要的概念。它们分别说明了信号在是非常重要的概念。它们分别说明了信号在时域和频域的中心位置以及在两个域内的扩时域和频域的中心位置以及在两个域内的扩展情况。是讨论各种信号处理算法的基础。展情况。是讨论各种信号处理算法的基础。 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系信号能量信号能量：时间中心：时间中心：频率中心频率中心：Etx/)(2EX/)(2 时域能量密度：时域能量密度：频域能量密度：频域能量密度：时间均值时间均值频率均值频率均值中国石油大学

7、（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 djXdttxtxE22122| )(| )(|)(| 021| )(|)(tdttxttE 0221| )(|)(dXE 2022122012| )(| )(|)(tdttxtdttxttEEt dXE220212| )(|)( 202221| )(|dXE ttT 2 2B时宽和带宽时宽和带宽： 时间宽度：时间宽度：频率宽度：频率宽度：时宽带宽积：时宽带宽积：中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 令令 ：实高斯信号，：实高斯信号， 可求出可求出 ，归一化高斯信号。可求出：，归一化高斯信号。可求出：)e

8、xp()()(2241ttx 1E00 t0)( t 00 2222exp()2ttdt212t 2TB-40-30-20-1001020304000.050.10.150.20.250.30.350.4 Gauss signal x(t)-0.500.50246810121416 the Spectrum of x(t)例高斯信号的傅里叶变换仍然是高斯的。高斯信号的傅里叶变换仍然是高斯的。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系tjmetgtx )()(mttm )( mmEdttx 210| )(|例中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息

9、工程系)(tg 22222)exp( dttt00 t 212 t 0m-40-30-20-10010203040-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4 Gauss modulated signal x(t)00.10.20.30.40.50246810121416 the Spectrum of x(t)中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系mxsQQss00,0,2/22 品质因数信号的带宽品质因数信号的带宽/ /信号的频率中心信号的频率中心中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系0)(lim txtt21 t2

10、)(tAetx 7.1.3 7.1.3 测不准定理测不准定理中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 Dennis GaborDennis Gabor于于19461946年引入短时傅里叶年引入短时傅里叶变换，其变换，其是：用一个窗口函数，将是：用一个窗口函数，将信号划分成许多小的时间间隔，作每一时间信号划分成许多小的时间间隔，作每一时间间隔的傅里叶变换，以确定该时间间隔存在间隔的傅里叶变换，以确定该时间间隔存在的频率的频率中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系)(tg

11、 )( xt0TimeFrequency)()(2RLtx 其其STFTSTFT定义为定义为: : detgxtSTFTj )()(),(窗函数应取对称函数。窗函数应取对称函数。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系)()(3tgxx()0)()(1tgx)()(2tgx1t2t3tFTFTFT01t2t3tt中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 detgxtSTFTj )()(),( 令令 ，可以求出其，可以求出其 该例说明，该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数的时间分辨率由窗函数 的宽度的宽度而决定。而决定。)()(0 x00

12、0STFT ( ,)() ()()jjxtgt edgt e )(g例1 若若 ，则，则 STFT的频率分辨率由的频率分辨率由 频谱的宽度来决定。频谱的宽度来决定。0)(jex00()0STFT ( ,)()()jjtjxtegt edGe )(g例2中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系取反变换STFT的一维反变换表示 detgxtSTFTj )()(),( ddetgxdetSTFTjjx )(2121)()(),()()()()()(tgxdtgx t detSTFTtxtjxg),()()0(21 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子

13、信息工程系dte )t ()t (x),(STFTtjx njnxe )n()n(x),(STFT knN2jnxe )mn()n(x)m,k(DSTFT 7.2.3 7.2.3 离散信号的短时傅立叶变换离散信号的短时傅立叶变换 22|STFT ( ,)|( ) ()|( ,)jxxtxgt edS t 谱图是恒正的，且是实的。谱图是恒正的，且是实的。谱图是信号谱图是信号能量的分布。能量的分布。 “谱图（谱图（spectrogram）”B,F,T = specgram(x,Nfft,Fs,window,overlap)中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例1中国

14、石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系stft.m例2线性调频信号线性调频信号中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系stft_chirp.mSTFTSTFT的局限的局限: : STFT STFT虽然在一定程度上克服了标准虽然在一定程度上克服了标准FTFT不具有不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在自身不可克服局部分析能力的缺陷，但它也存在自身不可克服的缺陷。即当窗函数确定后，矩形窗口的形状就的缺陷。即当窗函数确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面的位置，而不能确定了，只能改变窗口在相平面的位置，而不能改变窗口的形状。可以说改变

15、窗口的形状。可以说STFTSTFT是具有单一分辨率是具有单一分辨率的分析。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函的分析。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。数。 STFTSTFT用来分析相对平稳的信号尚可，但对用来分析相对平稳的信号尚可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈时，主频是高非平稳信号，在信号波形变化剧烈时，主频是高频，要求有较高的时间分辨率；而波形变化较平频，要求有较高的时间分辨率；而波形变化较平缓时，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率，缓时，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率，而而STFTSTFT不能兼顾两者。不能兼顾两者。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电

16、子信息工程系 为了克服傅里叶没有任何时域局部化，为了克服傅里叶没有任何时域局部化，以及以及STFTSTFT固定分辨率的缺陷，希望窗口函数固定分辨率的缺陷，希望窗口函数的形状可以改变，即在低频部分具有较高的的形状可以改变，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。率。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系小波分析小波分析: :给定一个基本小波函数，则一维信号的连续给定一个基本小波函数，则一维信号的连续小波变换为小波变换为： dtab

17、ttxabaWx)()(|1),( )(tx)(abt 间的相似程度。间的相似程度。可以看成计算可以看成计算和和TimeScales低频高频中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例1中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系lcwt.m例2线性调频信号线性调频信号中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系线性方法线性方法非线性方法非线性方法短时傅里叶变换短时傅里叶变换小波分析小波分析Gabor变换变换维格纳分布维格纳分布Cohen类分布类分布为了克服傅里叶变换不足，为了克服傅里叶变换不足，寻找新的方法，寻找新的方

18、法，能将能将起来描述观察信号的时起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的频联合特征，构成信号的。这就是所这就是所谓的谓的。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 WignerWigner于于19321932年首先提出了年首先提出了WignerWigner分布分布的概念，并把它用于量子力学领域。在之后的概念，并把它用于量子力学领域。在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。直到的一段时间内并没有引起人们的重视。直到19481948年，首先由年，首先由VilleVille把它应用于信号分析。把它应用于信号分析。因此，因此，WignerWigner分布又称分布又称Wig

19、nerWignerVilleVille分布，分布，简称为简称为WVDWVD。19731973年，年，DEDEBruijnBruijn对对WVDWVD分布分布作了评述，并给出了把作了评述，并给出了把WVDWVD用于信号变换的用于信号变换的新的数学基础。新的数学基础。19661966年，年，CohenCohen给出了各种给出了各种时频分布的统一表示形式。时频分布的统一表示形式。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 19801980年年ClassenClassen在在PhilipsPhilipsJ JResRes上上连续发表了三篇关于连续发表了三篇关于WVDWVD的文

20、章，对的文章，对WVDWVD的定的定义、性质等作了全面的讨论。由于这些工作，义、性质等作了全面的讨论。由于这些工作，使得使得8080年代后对年代后对WVDWVD的研究骤然引起了人们的的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。在已提出的各种时频分布中，的成果。在已提出的各种时频分布中，WVDWVD具有最简单的形式，并具有很好的性质。具有最简单的形式，并具有很好的性质。 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系线性调频信号的线性调频信号的 FT FT 和和 STFTSTFT例中国石油大学（北京）电子信息工程

21、系中国石油大学（北京）电子信息工程系例线性调频信号的线性调频信号的WVDWVD中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系有关参考文献：有关参考文献：1 T C M. Classen , W F G. Mecklenbrauker . The Winger distribution-part I. Philips Res. J. 1980, 35: 217-2502 T C M. Classen , W F G. Mecklenbrauker . The Wigner distribution-part II. Philips Res. J. 1980, 35: 276

22、-3003 T C M. Classen , W F G. Mecklenbrauker. The Wigner distribution-part III. Philips Res. J. 1980, 35: 3723894 L. Cohen. Time-Frequency Distributions: A review. Proc. IEEE, 77(7):941-981, July l989.中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系5 L. Cohen:TimeFrequency Analysis:Theory and Applications. Prenti

23、ce-Hall, 1995. (西安交通大学白居宪译）西安交通大学白居宪译）6 F. Auger, P. Flandrin, et al. TimeFrequency Toolbox: For Use with MATLAB.中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 与与FTFT、小波分析不同，、小波分析不同， WVDWVD分布分布没有使用没有使用基函数基函数与与信号信号的内积，因此的内积，因此也就没有时频域的分辨率限制，也就没有时频域的分辨率限制， WVDWVD使用信号的使用信号的正负移位之积正负

24、移位之积构成一种构成一种“双线性形式双线性形式”的变换，实际是一种的变换，实际是一种非线性变换。非线性变换。 定义定义1：,22jxWtx txted 的自的自WignerWigner分布：分布： tx中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 , trxx detrtWjxxx,上式为上式为 的傅立叶变换式的傅立叶变换式 则则：瞬时自相关瞬时自相关若令：若令：)2/()2/(),(* txtxtrxx的联合的联合WignerWigner分布分布： ty,22jx yWtx tyted 定义定义2： ,tx,tryx,22x yrtx tytdetrtWjyxyx,上

25、式为上式为 的傅立叶变换式的傅立叶变换式 若令：若令：则则：瞬时互相关中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系,22jx yWtx tyted 12xx t 12yyt令：令： 2221XeXtj 2221YeYtj则：则： deYXYXdeyxtWtjjyx241111,22224,22 令：令：,1,222j tx yWtXYed 则：则：,1,222j tx yWtXYed 1,222j txWtXXed 自自WVD:中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系,22jx yWtx tyted 互互WVD:,22jxWtx txted

26、, t 始终是始终是 的实函数的实函数；RtWx),( , t( ,)xW t （1）. （2）. ( ,)xW t 是是 的偶函数；的偶函数；若若 是实信号，是实信号，( ),xxx tRWtWt ( )x t,tWtWxyyx（3）. 互互WVD可能是复函数可能是复函数 ( (证明证明p183p183184)184) 11,2222122222jxjWtdx txteddx txtdedx txtd 2tx ,22jxWtx txted 两边对两边对 积分：积分： 信号的信号的WVD 沿频率轴的积分等于该信号沿频率轴的积分等于该信号在时刻的在时刻的瞬时能量瞬时能量。 21,22222j t

27、xWtdtXXed dtXXdX 瞬瞬“频频”能能量量 两边同时对两边同时对t t积分积分 2tx t t2)( X2211( ,)( )( )22xW tdtdx tdtXd 21,2bbaattxttWtddtx tdt 时间带内的积分时间带内的积分=信号在该带内的能量信号在该带内的能量 21,2bbaaxWtdt dXd 频率带内的积分频率带内的积分=信号在该带内的能量信号在该带内的能量 整个时频平面上的积分整个时频平面上的积分=信号的能量信号的能量 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 在整个时频平面在整个时频平面上的积分等于信号的能上的积分等于信号的能

28、量，因此，量，因此， 是信号是信号能量的分布。这是能量的分布。这是WVD和和Cohen类时频分布的一类时频分布的一个重要性质。该性质是个重要性质。该性质是时频分布广泛应用的一时频分布广泛应用的一个重要原因。个重要原因。11),( ,)024xtt fW t ，（( ,)xW t ( ,)xW t ( ,)ijt ( ,)xijW t 但是，在时频平面的某一点但是，在时频平面的某一点 处，处， 有有可能是负值，这是由不定原理所决定的。但是，只要可能是负值，这是由不定原理所决定的。但是，只要保证积分的最小面积保证积分的最小面积t0atbttba中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）

29、电子信息工程系122,2jxx txtWted令令 这一特定的时刻，有这一特定的时刻，有 2t,22jxWtx txted 102,212,2jxj txx t xWedWed x(t)可其可其WVD来来重建重建 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 12,20j txx tWtedx（）、移位（）、移位 tytytxtx,tWtWyxyx（）、调制（）、调制 tjtjetytyetxtx00,0,tWtWyxyx 只影响只影响WVD的时间的时间只影响只影响WVD的频率的频率中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系（）、移位加调制（）

30、、移位加调制 tjtjetytyetxtx00,0,tWtWyxyx（）、时间尺度（）、时间尺度 txtx1,xxWtWt 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系（）、信号的相乘（）、信号的相乘 thtxty,2222,1,2jyjxhxhWtx th txthtedr tr tedWtWt 1,2xhWtWtd信号乘积的信号乘积的WVD=WVD=信号各自信号各自WVDWVD在频率轴上卷积在频率轴上卷积中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 thtxty1,2yxhWtWtWt 时域相乘，等效于对信号在时域加窗。时域相乘，等效于对信号

31、在时域加窗。从频谱分析的角度，自然对应的是频谱在频从频谱分析的角度，自然对应的是频谱在频域的卷积，影响了频域的分辨率。对域的卷积，影响了频域的分辨率。对WVD，这一点是一致的，也是对应频率轴上的卷积。这一点是一致的，也是对应频率轴上的卷积。但是，在但是，在WVD中，没有对时间轴产生影响，中，没有对时间轴产生影响，也即没有影响也即没有影响WVD在时间轴上的分辨率。这在时间轴上的分辨率。这是是WVD和和Cohen类分布的一个很好的性质类分布的一个很好的性质。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系（）、信号的滤波（）、信号的滤波 thtxty,yxhxhWtWtWtWt

32、Wttdt 信号时域卷信号时域卷积，积，WVD在时间轴上在时间轴上卷积卷积t时域卷积相当于对信号的滤波，在频谱分析中，时域卷积相当于对信号的滤波，在频谱分析中，相当于两个频谱相乘；在相当于两个频谱相乘；在WVD中，它对应的是中，它对应的是两个两个WVD在时间轴上的卷积，而在频率轴上没在时间轴上的卷积，而在频率轴上没有运算。实际上，两个有运算。实际上，两个2D函数在一个方向上函数在一个方向上卷积是在另一个方向上对应的是相乘关系。卷积是在另一个方向上对应的是相乘关系。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系（）、信号的相加（）、信号的相加 txtxtx211212121

33、2,2222,2Re,jxxxx xWtxtxtxtxtedWtWtWt 自项自项互项两个信号两个信号和的和的WVDWVD并不等于并不等于各自各自WVDWVD的和的和，还要，还要加上二者的互加上二者的互WVDWVD，称之为，称之为“交叉项交叉项”。这是。这是WVDWVD的一个较为严重的缺点。因为大的交叉项可的一个较为严重的缺点。因为大的交叉项可以以“污染污染”自项，从而影响了分辨率。自项，从而影响了分辨率。交叉项交叉项中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 12( )Nx tx txtxt若：若：N个分量个分量11212,NNNxxxx xxxWtWtWtWtWt

34、 N个自项个自项(1)2N N 个互项个互项时频分析研究的一个重要方面是如何抑制或去时频分析研究的一个重要方面是如何抑制或去除交叉项，由此，人们又提出了许多其它形式除交叉项，由此，人们又提出了许多其它形式的分布，通称的分布，通称Cohen类分布。类分布。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系5 WVD5 WVD的时限与带限性质的时限与带限性质 若信号在时域是有限支撑的，则其若信号在时域是有限支撑的，则其WVD在时在时间方向上也是有限支撑的。间方向上也是有限支撑的。若信号的频谱在频域是有限支撑的，则其若信号的频谱在频域是有限支撑的，则其WVD在频率方向上也是有限支撑

35、的。在频率方向上也是有限支撑的。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 0 tytx bayxtttttW 和和0, 0 YX bayxtW 和和0,ba 和和,batttt 和和WVD WVD 的缺点：的缺点： 有交叉项存在；有交叉项存在； 2. 有可能取负值；有可能取负值；22,221,02tttxttEWtdtd 2,2tttt2,2取取窗窗 口口1 21 4tt f 保证保证或或Heisenberg积分面积积分面积中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例1 10tTx ttT 2222,2sin 20TtjxTtWtedTtt

36、TtT 注意：注意： 截面是截面是sinc函数函数 时域支撑范围时域支撑范围exa030301.m7.3.3 7.3.3 常用信号的常用信号的WVDWVD中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 tjAetx0例2 022,AtWx中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系（复正弦信号）（复正弦信号）与时间无关与时间无关的的 函数，函数，信号在任意信号在任意时刻都只有时刻都只有 0 的频率分量的频率分量exa030302.m tAtx0cos 例3 tAtWx00022cos22, tjtjeeAtx002中国石油大学（北京）电子信息工程系

37、中国石油大学（北京）电子信息工程系exa030304.m 123exp204exp242exp22jf ttTx tjf tTtTjf tTtT 例4交叉项交叉项中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系exa030303.m 2142tx te例5 22,2expxWtt WVD的中心的中心在（在（0，0）处，处， 控制控制WVD在时间在时间和频率方向和频率方向上的扩展。上的扩展。二维的高斯函数二维的高斯函数 高斯函数高斯函数中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系exa030305.m 例6 202jtj ty tAeeChirp 信号

38、信号 202zttt 0ztt 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系线性调频信号线性调频信号)t(2), t (W0y 沿沿t0 的一条直线的一条直线exa0303060.m 2201422( ) ( )jttjtz teeex t y t 2142tx te220,2exp() /zWttt 例7高斯包络线性调频信号高斯包络线性调频信号高斯信号高斯信号 202jtj ty tAee线性调频信号线性调频信号exa030306.m中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系多普勒信号：指的是一个物体相对一个位置多普勒信号：指的是一个物体相对

39、一个位置不变的不变的“观察者（如雷达）观察者（如雷达）”运动时，运动时，“观观察者察者”所听到或所记录到的该物体运动的信所听到或所记录到的该物体运动的信号号 。频率变化的突变点频率变化的突变点例8中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系exa030307.m WVDWVD有许多优点，但由于有许多优点，但由于WVDWVD是双线性形是双线性形式的变换，因此两个信号和的分布将存在交式的变换，因此两个信号和的分布将存在交叉项。交叉项的存在将严重影响对自项的识叉项。交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影响了对信号时频行为别，从而也就严重影响了对信号时频行为的识别。

40、为削弱的识别。为削弱WignerWigner分布中的交叉项，并分布中的交叉项，并改进自项的分辨率。人们已提到了十多种具改进自项的分辨率。人们已提到了十多种具有双线性形式的时频分布，它们被统称为有双线性形式的时频分布，它们被统称为“CohenCohen类类”。 7.3.47.3.4WignerWigner分布中的交叉项分布中的交叉项 为了搞清削弱交叉项的途径，我们有必为了搞清削弱交叉项的途径，我们有必要仔细了解要仔细了解WignerWigner分布中交叉项的行为。现分布中交叉项的行为。现举几个例子说明该问题。举几个例子说明该问题。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程

41、系“原子信号原子信号”是指：是指： 这一类这一类信号，其中信号，其中 为时域有限长的窗函数，为时域有限长的窗函数，在构成在构成“原子原子”时，常用的是高斯窗。由于时，常用的是高斯窗。由于高斯窗的频谱也是高斯窗，因此，高斯窗的频谱也是高斯窗，因此，“原子原子” ” 在时域和频域都是相对集中的信号。通过改在时域和频域都是相对集中的信号。通过改变变tjetth00 th 和和 ，可以改变，可以改变“原子原子”的时频中的时频中心。心。0t0 在时频分析中在时频分析中 常用常用“原子信号原子信号”作为实验信号。作为实验信号。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例8tjet

42、th00“时频原子时频原子”高斯窗高斯窗 时频中心在时频中心在 处处 00( ,)t注：普通高斯注：普通高斯函数，时频中函数，时频中心在心在 处处(0,0)中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例9 01110280.25jtx th tt et ， 022221000.25jtxth ttet ， txtxtx21两个“时频原子”的和：两个自项的中心：10( ,)t 20( ,)t交叉项的中心：120(,)2tt中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系 1 . 06410011，tetthtxtj 22002640.4jtxth tt

43、et ，两个自项的中心：01( ,)t02( ,)t交叉项的中心：120( ,)2t txtxtx21例10两个两个“时频原子时频原子”的和：的和：中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例11 01111320.15jtx th ttet ， 02222960.35jtxth ttet ， txtxtx21两个两个“时频原子时频原子”的和：的和：两个自项的中心两个自项的中心：11( ,)t 22( ,)t交叉项的中心：交叉项的中心：1212(,)22tt 中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系分析以上结果，可以看出，对两个分量的信号：

44、分析以上结果，可以看出，对两个分量的信号： 1. WVD自项的中心在原分量的时频中心处，即自项的中心在原分量的时频中心处，即 1122( ,),( ,)tt 2. 互项（即交叉项）的中心在两个自项的互项（即交叉项）的中心在两个自项的几何中心，即几何中心，即1212(,)22tt 3. 互项的幅度一般要大于自项的幅度；互项的幅度一般要大于自项的幅度；4. 上述结论可推广到多分量信号。上述结论可推广到多分量信号。中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大学（北京）电子信息工程系例12 txtxtxtxtx4321 1 . 02811，t 4 . 02822，t1 . 010033，t4 . 010044，t四个“时频原子”的和：四个自项的位置应有6个互项，位置是：1212(,),22tt 4242(,),22tt 1414(,),22tt 1313(,)22tt 3434(,)22tt 3232(,)22tt 重合在交叉中心处中国石油大学（北京）电子信息工程系中国石油大