高一向量知识点加例题(含答案)

1、向量复习题知识点归纳一. 向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.pP 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量uuurruuurrpruuuruuuruuur2、向量加法：设AB=a,BC=b，则a+b=AB+BC=AC（1）0+a=a+0=a；（2）向量加法满足交换律与结合律；uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB+BC+CD+L+PQ+QR二AR，但这时必须“首尾相连”

2、pp3、向量的减法：相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量pppp 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差。pppppp 作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）pp4、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：（I）閹=|九|p|；（II）当九0时，入p的方向与£的方向相同；当九0时，入£的方向与£的方向相反;当x=0时，九a=0，方向是任意的使得b=XP5、两个向量共线定理：向量b与非零向量£共线o有且只有一个实数X,ppp6、平面向量基本定理：如果ei,

3、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数九，九使：p=Xp+九e，其中不共线的向量e,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底12112212二.平面向量的坐标表示i，j分别为与x轴，y轴正方向相同的单位向量rrrrr1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj，记作a=（x,y）。2平面向量的坐标运算：若a=(x,y),b=(x,y)，则a土b=(x土x,y土y)11221212若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x11222r«r-1)2)3)121-x,y-y)121若a=(x,y)，则九a=(九x,九y)(4)若a=

4、(x,y),b=(x，y_)，r若a=-1122三平面向量的数量积4)(x,y),b=(x,y)，则：-b22rr，若a丄b，rr则a/boxy-xy=01221rIIb|cos°rrri两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为e,则ab=i5乘法公(ar+b立：-/)=$2-b=|raI2-b2rrrrrrra土b丿=a2土2a-b+b2=|a|rrrI2土2ab+brrrr叫做a与b的数量积（或内积）规定0-a=0rrrabrr2向量的投影：丨bIcosO=古GR,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|rrrrr3数量积的几何意义：ab等于a的长度与b

5、在a方向上的投影的乘积rrrr4向量的模与平方的关系:a-a=a2=aI2rrcos。=cos<a,b>=rrabrlbx12+人<X22+y22不能得到b=c-<1800）叫做向量a与b的夹当且仅当两个非零向量r与b同方向时,rre=00,当且仅当a与b反方向时0=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrrrr9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a丄bpPpP10两个非零向量垂直的充要条件：a丄bO&b=0oxx+yy=0平面向量数量积的性质121211、向量的三角不等关系卜9-1-a-b<a土b<a+b注意取等条

6、件（共线）rrrr6平面向量数量积的运算律：交换律成立：a-b=b-a 对实数的结合律成立：（九）b=X（a-b）=aCib）（九eR）（rr）rrrrrr（rr） 分配律成立：Q土bc=ac土bc=cu土b7特别注意：结合律不成立烏Cr）虫Ar；消去律不成立:-b=arrrrrrr(3)a-b=0不能得到a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：rrrr已知两个向量a=（x,y）,b=（x,y），则ab=xx+yy11221212rruuurruurur8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b，则ZAOB=e（00一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）uuu

7、r1uuuur1.已知两点M（3,2）,N（-5,-5）,MP=-MN，则P点坐标是（）厶/3（3A.（-8,1）B.-1,-C.1,一D.（8,-1）I2丿k2丿r2. 下列向量中，与向量a=(1,-1)平行的向量是()rrurirA.b=(0,2)B.c=(2,0)C.d=(2,2)D.f=(-2,2)3. a=(2,1),b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影长度为()A.25B.2C.丫5D.104. 在三角形ABC中，C=45o,a=5,b=4,则BC-CA=()A.1oV2B.20/2C.-10巨D.-2025. 已知a=(,3),b=(-2,5),a,b的夹角为钝角，则九的

8、范围是()A九15B.九15C.九6D.九-22556. 只鹰正以水平方向向下30o角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s,则鹰飞行的速度为()A.20m/s80朽B.m/sC.20m/sD.80m/s7.0为平面中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(OP-OA)(AB-AC)=0，则点P的轨迹一定过AABC的A.外心uuurruurr&已知OA=a,OB=b，C.重心B.内心uarC为AB上距A较近的一个三等分点,D.垂心uuurrrD为CB上据C较近的一个三等分点，用a,b表示0D的表达式为rrrrrrrr4a+5b9a+7b2a+b3

9、a+ba.B.C.D.916349. 已知AABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB，则点P与AABC的位置关系是()A.P在AABC内部B.p在AABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上或其延长线上10. 若：=(1,0),j=(0,1),则与2i+3j垂直的向量是()A.3i+2jB.2i+3jC.3i+2jD.2i3j11对于菱形abcd，给出下列各式：uuiruuiruutruuiruutruuuruuiruuiruuiruutruutrAB=BC；©lAB1=1BCI飞1AB一CD1=1AD+BCIIACb+|BDI2=41AB12其

10、中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个12. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80o,sin80o),B(cos20°,sin20。)，则丨AB丨的值是()A.B.立C.卫D.1222二、填空题13. 已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则厶ABC的形状是.rr14.已知实数x,y,向量a,b不共线，若(x+y-1)ra+(x-y)rrb=0则x=,y=15若三点P(1,2),A(2,4),B(x,9)共线，则x=uuuruuuruuurAB+BC+CA=0;uuuruuuruuur16.在AABC中，有命题：AB-AC=BC；uuuruuuruuuru

11、uur若(AB+AC)(ABAC)=0，则AABCuuuruuur为等腰三角形；若AC-AB>0，则AABC为锐角三角形其中正确的命题序号.(把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题uruur17.(满分12分)设两个非零向量e和e不共线.12(1)如果AB=2e+ke,CB=e+3e,CD=2e1212trure与e的夹角为60o,212已知向量方=3e厂2e2,b=4e1+(2)18.若|e|=2，|e|=3，112分)e，若A、B、D三点共线，求k的值.12uruururuur是否存在实数m，使得me+e与ee垂直？并说明理由.1212e2,其中乙=(1,0),乙2=(0);(2)

12、2与b的夹角的正弦值.19.求uuurruuurruuurr(本小题满分12分)在AABC中，设AB=a,BC=b,AC=c，AB=4,BC=3,ZABC=600,rr(1)2ab3)cos<a,a+b>20.(本小题满分12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).(1) 若|c|=2、：5，且c/a，求c的坐标；(2) 若b=(1,m)(m<0)且a+2b与a-2b垂直，求a与b的夹角9.uuuruuuruuuruuuruuur21.(本小题满分12分)已知向量OP=(2,1),OA=(17),OB=(5,1),设X是直线OP上的一点(0为坐标原点)，

13、求XA-XB的最小值.兀3兀22.(本小题满分14分)已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina),aW(_,).222sin2a+sin2(I)若|AC|=|BC|，求角a的值；(II)若ACBC=-1，求-的值.1+tanaBDBCABDADCCD4.CBC-CA=BC-CA-cos<BC,CA>=5x4xcos1350=10“5. A<a,b>为钝角oa-b<0,且a,b不反向.6BfLI11设鹰飞行的速度为v，其在地面上的影子的速度为V，由已知VI-cos30o=V=40,.填空13.锐角三角形14.0.5，0.515.

14、17616三.解答17.证明：（1）Quuru?urAD=AB+BC+CD=（e+e）+trur=6（e+euur12-ADAB12ur（2e+8e）1uuruur=6ABuuur.且AD与AB有共同起点-A、B、D三点共线（2）假设存在实数m，使得muruururuur（me+e）-（ee）=0ur12uruur1uur2me2+（1m）e-ee2=0112tr2urQIeI=2，IeI=3，e与e的夹角为60。truu2=9，e-e12m=6u1ir2ur1ure2=e2=4,e2=e1122.4m+3（1m）9=0ur故存在实数m=6，使得me1uur+e与2ure1ure1uururu

15、ur+e与ee21tr垂直，则uruure垂直.218.解：显然a=3（1，0）2（0，1）=（3,2）,易得：ur3e3e）12（2分）3分）（4分）6分）cos0=2x3xcos60o=3b=4（1，0）+（0，1）=（4，1）；ab=3X4+（2）X1=10；a+b=（3，2）+（4，1）=（7，1），a+b=、：72+（1）2=52。cosa,b>=Tabab101221芒x、.：17=221r1K221sin<a'b>=PT19.（1）2abA7A72/l/l快厶7-4厶y2-z/vu2a一4ab=164+9一4x4x3xcos12Oo=、.97<a22b2a-b=16-18-4x3xcos1200二4；+ab-16+4x3xcosl20o-10,13*丄J91分3分6分8分cos<a,a+b>=20.(1)(2,4)或(2，4)/兀一104.135269分1221uuuruuur填一8设X(2x,x)则XA-XB(12x,7x)-(52x,1x)5x220x+125(x2)2822本小题满分14分）解：(I)°.°AC=(cosa-3,sina),BC=(cosa,sina-3),2分.*.|AC|=(cosa3)2+s