集合论中罗素悖论问题

1、集合论中罗素悖论问题1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N,也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M,也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。平时我们熟悉的大多数集合都不是自身的成员：例如自然数集合，有理数集合，实数集合，集合1,2,3,4,5,6,N就表示所有这类集合作为元素的新集合.而是自身成员的集合相对少见：例如所有集合的集合.将所有集合分为两类，第一类中的

2、集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P=A|AGAQ=A|A年A问,Q$P还是QGQ?若QP,那么根据第一类集合的定义，必有QGQ，但是Q中任何集合都有A年A的性质，因为QGQ,所以QCQ,引出矛盾若QGQ,根据第一类集合的定义，必有QGP,而显然PGQ=0,所以Q年Q,还是矛盾这就是著名的“罗素悖论”.1有些集合以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是集合，所以也是自己的元素。【1】2可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二

3、类集合。设A为第一类集合的全体组成的集合。如果A是第一类集合，由集合A的定义知：A应该是A的元素，这表明A是第二类集合。如果A是第二类集合，那么A不会是它自身的元素，这表明A是第一类集合。【2】3萨维尔村里有个理发匠。他给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。请问：这位理发师该不该给自己刮脸？【3】以上例子被认为是以自己为元素的集合，由此产生罗素悖论。我们分析一下。1任何事件都发生在时间轴上，集合的归纳、产生也发生在时间轴上。在“所有集合的集合”中，前半句“所有集合”中的集合产生的时间在前，后半句“的集合”中的集合产生的时间在后，两集合产生的时间不同，它们虽然同类、同名但不是同一个

4、集合，所以“所有集合的集合”不是以自己为元素的集合。认为“所有集合的集合”是以自己为元素的集合违反同一律。集合论中没有时间因素、没有时间轴，所以不能区分“所有集合”与“的集合”中两个集合的不同。同一律、矛盾律、排中律中有时间因素，可以区分发生在不同时间的事件。2一个集合是否以自身为元素，需要考察元素与集合在确定环境（关系、时间）中的实质关系，有实质证据显示集合与元素在同一环境内的关系，才能认定集合在此环境中是哪类集合。例如，有一人a，a相对于子集；儿子时，因a是父亲是儿子们的集合，所以a集可称作“父集”，此“父集”是不以自身为元素的集合，是第一类集合。但当a作a父的子集时，a父是“父集”，这时

5、a以前的所称“父集”之名对a父就名不副实了，如果在a父的“父集”中仍把a当作“父集”，那么a父的“父集”就可被认为是以自身为元素的集合，是第二类集合，但a父的“父集”实质不以自身为元素，a父的“父集”实质不是第二类集合。同样，当“第一类集合”成为“第一类集合全体组成的集合”的子集后，它以前的名称“第一类集合”没有实质证据显示此时还是名副其实，不能依据元素在其它环境的名称作推论、结论（悖论）。即使有“第一类集合全体组成的第一类集合”，也不是以自己为元素的集合，因为前后两“集合”生成的时间不同。3理发师本人与理发师悖论事件相关的部分是“理发师的胡须”和“理发师的刮脸手艺”，与“理发师的刮脸手艺”相关的是“可被理发师刮的胡须”，所以理发师集可以包含“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”两个子集。在理发师悖论中实质的题问是，“可被理发师刮的胡须”中是否包含“理发师的胡须”，其中没有涉及以自身为元素。如果用“理发师集”替代他自己的两个子集“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”，这样才出现理发师集是