自主招生数学试题

1、自主招生试题选讲(清华、北大、交大等)2009，11清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。应试策略1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70%2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。几个热点问题方程的根的问题：1. 已知函数f(

2、x)二ax2+bx+c(a丰0)，且f(x)=x没有实数根.那么f(f)=x是否有实数根？并证明你的结论(08交大)2. 设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，试证明对任意实数a:方程f(X)二0总有相同实根；存在x恒有f(xo)丰0(07交大)3. (06交大)设k9,角军万不呈x3+2kx2+k2x+9k+27=04.(05复旦)在实数范围内求方程：10+x+/7-X=3的实数根.5.(05交大)x3+ax2+bx+c=0的三根分别为a,0,c,并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值.6.解方程:.求方程x=Jx+(n重根)的解.(09交大)凸函数问题1.

3、(2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足(x+y)0)x,x0,中是下凸函数的有。兀2.(06复旦)设x1,x2e(0,-),21x(1)(tanX+tanx2)tan1(3)(sinX+sinx2)sinA(1),(3)B(1),(4)且XHx2，下列不等式中成立的是:A(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)+x1x+x；(2)(tanx1+tanx2)0,y0,x+y=1,neN+,证明:柯西不等式设a,a,A,a及b,b,A,b为任意实数，则(ab+ab+A+ab)212n12n1122nn.(09南大)ddd2S1234. 给定正整数n

4、和正常数a，对于满足不等式a2+a20,y0,x+y=1,ngN+,22n-1abc（2）已知x，y，z0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：一+-3。xyz12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。13求所有满足tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanC的非直角三角形(这里L表示不超过x的最大整数)(2009年南京大学自主招生试题)14. 求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积(06,清华)。；5i15. 匚1的整数部分为A,小数部分为B。d(u,v).(08交大)20.证明：若f(f(x)有唯一不动点，f(x)也有唯一不动点(09交大)2

5、1. 已知A(-1,-1),ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy二1(x0)一支上.(1) 求证B、C关于直线y=x对称；(2) 求ABC的周长(07,清华)22. 是否存在实数x,使tanx+、；3,cotx+込均为有理数？(09,北大)23. 对于集合M-R2,称M为开集，当且仅当VPgM,3r0,0使得PgR2|PP|0与(x,y)|x0,y0是否为开集,并证明你的结论.(2007年清华)。24.a首项为a,公差为b,b首项为b,公比为a(a,b纟N*)且a=ab=bab0,11Vn2，有一+LSS231+M.Sn+105复旦)26. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x=y2上，试

6、求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标.(07交大)27. 有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。(抛物线内部指焦点所在的一侧)(09清华)28. 数列a满足a=2a21，a=1且a丰1，其中Ng2,3,4,Lnn+1nNN-1求证：a1；1求证：k兀a=cos12N-2(kgZ)a3+2a29. (03交大)求证：a4+3a2+1为最简分式.30. (04复旦)若存在M，使任意tgD(D为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|0,0使得PgR21PP0与(x，y)卜0,y0是否为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。32. 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,

7、BC1=BA1,CA1=CB1,ZA+ZB+ZC=ZA1+ZB1+ZC1求证：ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半(08,北大)较难题33. 定义闭集合S,若a,bgS，则a+bgS,abgS.(1)举一例，真包含于r的无限闭集合.求证对任意两个闭集合S_,S2uR,存在cgR，但c电SuS.(03复旦)121234. 排球单循坏赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍。求证：冠军是一支南方球队(胜得1分败得0分)(08北大)35. 已知f(x)满足：对实数a、b有f(a-b)af(b)+bf(a)，且|f(x)|1，求证f(x)恒为零.(05清华)冋用以下结论：若l

8、img(x)0,|f(x)|1恒成立，求a+b的最大值.(09北大)37.某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做题数目不全同奇偶.问：不及格者与优秀者哪个多？(09北大)38已知a+a+a=b+b+b123123aa+aa+aa=bb+bb+bb122331122331（08北大）min（a,a,a）min（b,b,b）123123求证:max（a,a,a）max（b,b,b）12312339。证明:正整数列aia2，La2n+1是常数列的充要条件是其满足性质p：对数列中任意2n项，存在一种方法将这2n项分为两类（每类n个数），使得两类数之和相等.（09清华）32+（2009清华）有200杵刼品,可以用100个相同的箱子装下侮箱装2件h现不小心将这则件物品弄舐于是来用如下装血任取件物氐装入第个箱了；關一件，若能装入第-枫装入第一籍否则装入第一轧再取一件若能裟入第二件所在籍则装人否则装入下-紺；以此类执宜至所有物品都装雋皿至少繼备多少箱子才能确保装下这2刖件物品？40*（2刚淆华）有则