自动控制原理第八章习题答案

1、第八章非线性控制系统分析练习题及答案8-2设一阶非线性系统的微分方程为x=-x+x3试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解令X=0得-X+X3=X(X2-1)=X(X-1)(X+1)=0系统平衡状态x=0,1,+1X-2-1-1还01/v'312X-600.3850-0.38506X112010211其中：X=0:稳定的平衡状态;eX=-1,+1：不稳定平衡状态。e计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。e可见：当x(0)|<1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;当|x(0)|>1时，系统发散；x(0)<-1时，X(t)T-X;x(0)&g

2、t;1时，X(t)TS。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个XX平面上任意分布。8-3试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1)X'+X+|X=0fX=X+X112IX=2x+X212解(1)系统方程为I:x+x+x二0(x>0)II:x+xx二0(x<0)令x'=x=0，得平衡点：x=0。e系统特征方程及特征根：I:s2+s+1二0,Vs1,22II:s2+s一1=0,x二f(x,x)二一x|xs=1.61&+0.6181,2dx.x二xxdx（稳定的焦点）（鞍点）13x|=P|x|dx=dx1I:匕=1(x0)1II:a

3、=1(x<0)计算列表-3-1-1/301/313OOx0:a=11-1-2/302-4-2-4/3-1x<0:a=1+1/-1-4/3-2-4OO20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a）所示。5）x=x+x112图解8-2（a）系统相平面图由式：x=xx211式代入：(xx)=2x+(x1111x)1即x2xx=0111令x=x=011得平衡点：x=0e由式得特征方程及特征根为s22s1=0九=2.414(鞍点)1,2I0.414画相轨迹，由式.dx._.x=xi=xa=2x+x11dx111xx=1a2闻腿了一。（V.计算列表a22.530011.520=

4、1/(a-2)00210-1-200用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2(b)所示。8-4若非线性系统的微分方程为(1) x'+(3x-0.5)x+x+x2=0(2) x+xx+x二0试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解(1)由原方程得x'=f(x,x)=-(3x-0.5)x-x-x2=-3x2+0.5x-x-x2令x=x=011得x+x2=x(x+1)=0解出奇点x二0,-1e在奇点处线性化处理。在x=0处:ex-=df(x，x)丄审(x,x)x+x=0x=0=(-1-2x)1x=x=0x-0.5x+x=0dx-xx=0x=0-x+(-6x+0.5)|x=x+

5、0.5xx=x=0dx特征方程及特征根0.5±J0.52-4s=1,22=0.25±j0.984不稳定的焦点)在x=-1处ex=(12x)x+(6x+0.5)x=x+0.5xx=-1x=0x=-1x=0特征根x-0.5x-x=0s1,20.5±*0.52+4I1.218-0.718鞍点)概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4(1)所示:2)由原方程令x'二特征根x'=0得奇点x=0,在奇点处线性化ex寻dxx=x=0=(x1)xxx=x=0s=±j。奇点x=0(中心点)处的相轨迹如图解8-41,2e所示。8-5非线性系统的结构图如图8-36

6、所示。系统开始是静止的，输入信号r(t)=4x1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解由结构图，线性部分传递函数为C(s)=1M(s)s2'c'(t)=m(t)由非线性环节有0ei<2Im(t)=e(t)2e>2IIe(t)+2e<2III由综合点得c(t)=r(t)一e(t)=4一e(t)将、代入得0|e|<2Ie(t)斗2-e(t)e>2II-2一e(t)e<-2III开关线方程为e(t)=±2i:e(t)二0e二c(常数)II:e+e2二0令e二e二0得奇点eii二20特

7、征方程及特征根S2+1=0,s±j（中心点）1,2III：e+e+2二0令e二e二0得奇点eiii=-20特征方程及特征根s2+1=0,s=±j（中心点）1,2绘出系统相轨迹如图解8-5所示，可看出系统运动呈现8-10已知具有理想继电器的非线性系统如图8-38所示。图8-38具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1）T=0时系统的运动；d（2）T二0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用;d（3）T=2时系统的运动特点。d解依结构图，线性部分微分方程为周期振荡状态。非线性部分方程为e+Te>0Ide+Te<0IId开关线方程：由综合口：

8、、代入并整理得在I区：解出：1e+Te>0d+1e+Te<0ddeeede2e1II2(e>0)抛物线）同理在II区可得：2e(e<0)抛物线）开关线方程分别为=0时,e二0；T=0.5时，e=2e；dT=2时，e0.5e.d概略作出相平面图如图解8-7所示。由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时,系统振荡性减小,响应加快。8-12三个非线性系统的非线性环节一样,线性部分分别为(1)s(O.ls+1)(2)G(s)二2s(s+1)(3)2(1.5s+1)s(s+1)(0.1s+1)试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解线性部分

9、低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解8-10所示。由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统(2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。8-14将图8-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。图8-40非线性系统结构图解(a)将系统结构图等效变换为图解8-11(a)的形式。G(s)二G(s)1+H(s)11(b)将系统结构图等效变换为图解8-ll(b)的形式。G(s)=Hi(s)G(s)i1+G(s)i8-17已知非线性系统的结构图如图842所示图8-428-13题图

10、2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。-1-(A+2)A+6一1=-1N(g)一4<01)N(A)-1=-1N(0)一3dN(A)图中非线性环节的描述函数为A+6N(A)=氏(A>0)试用描述函数法确定：1)使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围;二1dA(A+2)2N(A)单调降，-1N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线-1N(A)和G(jw)曲线如图解8-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。求使ImG(jw)=0的®值：ZG(jw)=一90°-2arctgw=-180&

11、#176;arctgw=45°,G(闷0=1Ki2耐2+10=113可得出K值与系统特性之间的关系:解出2)8-182coK:02/3稳定、自.振.不稳定屮由图解8-13可见，当一1；N(A)和G(j°)相交时，系统一定会自振。由自振条件N(A)G(jo)|0=1=A+6K=-(A+6)K=-1A+222(A+2)(A+6)K=2A+46K-4A=2-K0=1非线性系统如图8-44所示试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。解将系统结构图等效变换为图解8-15。010-1010G(jo)=一j一jo(jo+1)o2+10(o2+1)N(A)=nA：1-nA2.4X0.2-j.1-(0.2)2.0.2-j1-1N(A)一兀A1