（文章）等腰三角形的探究性问题例析

1、 彰显数学魅力！演绎网站传奇！等腰三角形的探究性问题例析等腰三角形是初中数学的一个重要内容，也是中考经常考查的知识点. 加之对研究性学习的重视，在全国各地的中考试题中就出现了大量关于等腰三角形的探究性问题. 很多同学对于如何解答此类问题感到困惑，李老师就2003年的中考试题中选取了几例，分析它们的解法. 例1如下图，在四个正方形拼接成的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成_个等腰直角三角形. 你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程：A1A100A9A8A6A5A4A3A2A7_.解析：以A1为直角顶点的等腰直角三角形是A1A2A10，以A2为直

2、角顶点的等腰直角三角形是A1A2A3，以A3为直角顶点的等腰直角三角形有A10A2A3、A10A4A3、A1A7A3、A9A5A3共4个，以A10为直角顶点的等腰直角三角形有A10A1A3、A10A7A3、A10A9A7、A10A2A4、A10A8A4共有5个，以A9为直角顶点的等腰直角三角形是A10A9A8，这样分别以A1、A2、A3、A10、A9为直角顶点的等腰直角三角形共有1+1+4+5+1=12（个）.同理，分别以A6、A5、A4、A7、A8为直角顶点的等腰直角三角形一共也有1+1+4+5+1=12（个）.因此，在整个图形内共可组成12×2=24（个）等腰直角三角形. 例2如

3、图，点C为线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线CN、MB交于点F.（1）求证：AN=BM；（2）求证：CEF为等边三角形；A BC M N E F 图（1）C B A M 图（2）NEF（3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明） N 解析：（1）在CAN和CMB中，易证AC=MC, ACN=MCB, CN=CB,CANCMB(SAS).AN=BM.（2）由（1）得，CANCMB，CAE=CMF.在CAE和CMF中，CAE=CMF, CA=CM, ACE=M

4、CF=1800-600-600=600,CAECMF.CE=CF.CEF中，CE=CF, ECF=600,CEF为等边三角形.（3）变化之后的图形，如上图中虚线补充后的图形所示.对照第（1）小题的证明，可以发现所有证明AN=BM的条件都还存在，所以第（1）小题的结论仍然成立.但是，第（2）小题的条件中ACEMCF，所以第（2）小题的结论不能成立.例3如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”. 在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等.设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为，.要求“正度”的值是非负数.同学甲认为：可用式子|a-b|

5、来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|-|来表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形. 探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式. 解析：（1）同学乙的方案较为合理. 因为|-|的值越小，与越接近600，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等. 同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等. 如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形与正三角形的接近程度相同，但|2-4|=2|4-8|=4. （2）对同学甲的方案可改为用等（k为正数）来表示“正度”，它的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形. 仍以边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形为例，取k=10，用来计算“正度”，则边长为4，4，2的等腰三角形的“正度”为=0.1，边长为8，8，4的等腰三角形的“正度”为=0.1，二者相等，表明它们与正三角形的接近程度相同.（3）通过对同学乙的方案的分析，我