第3章离散傅里叶变换1ppt课件

1、信号信号以时间为自变量以时间为自变量傅里叶变换逆傅里叶变换)()(nTtxtx, 3 , 2 , 1n22nnnbaAnnnab1tan其中：1000sincos)(nnntnbtnaatx100)sin(nnntnAa)(20T )()( 00ktjkekXtx2200)(1)(T/ -T/ tjkdtetxTkX)(tx)(0kX周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数傅里叶级数FS )()( 00ktjkejkXtxnTTtjktjkdtetxTe2/2/00)(1nTTtjktjkdtetxe2/2/000)(21)2(0T0,0T,00kd dedtetxtxtjtj)(21)()(

2、 jX条件：dttx )( )()(dtetxjXtj )(21)(dejXtxtj2/02/1)(TtTttxt1-T/2T/222()( )TTjtjtX jx t edtedt 22(cossin)TTtjt dt 22sinTTTTT2T4 )()( nnj-jenxeX正变换： )(21)( deeXnxnjj反变换：sT )()(deenxdeeXmjnjnmjj)(2)()(2)( )(mxnmnxdenxnnmjn )()( nnj-jenxeX)( )( -nnX zx n z()( )( )jjj nz enX eX zx n eDTFT与与Z变换变换的关系的关系jezjz

3、XeX)()()(nxn00)(jeX222 时域的离散造成频域的周期延拓 ,而时域的非周 期对应于频域的连续 . sf/2sfsf/ 2sf0实际频率fs/ 2s0s角频率f2/2s圆周频率f2归一化频率sfff/20211/ 2011/2)()(),()(2211jjeXnxeXnx)()()()()()(2121jjjeXeXeXnxnxnx)()(00jnjeXennx);()()()(jjeHeXnhnx)()()()(jjeHeXnhnxnjdeXnx22)(21)(2( )( )( )nnx nx n x n证明： 1( )()2jj nnx nX eed 1()( )2jj n

4、nX ex n ed 1()()2jjX eXed 2 1()2jX ed解：()( )jj nnH eh n e)(exp)()()()(IRjjjjeHeHeHeH)2/sin(/ )2/sin()(NeHj2/ ) 1()()(arctan)(RINeHeHjj)()(ndnh例1：设矩形窗假设，求系统的频率响应 , 01-0 , 1)(为其他值nNnnd1011j NNj njneee/2/2/2(1)/2/2/2/2()sin(/ 2)()sin(/ 2)j Nj Nj NjNjjjeeeNeeee矩形窗的频率响应矩形窗的频率响应 )(nx10102)()()()(NnnkNNnnk

5、NjWnxenxnxDFSkX10102)()(1)()(NknkNNknkNjWkxekXNkXIDFSnxNjNeW2njnjenxeX)()(N2kN212, 1 ,0Nk1022)()()(NnkNjnkNjenxeXkX12, 1 ,0Nk)()(nxkXIDFT102)()(NnkNjnenxkX12, 1 , 0NkkrNje2)()1)()()(10)(210210210210rxNeNnxNeenxekXNknrkNjNnrkNjNknkNjNnkrNjNknrnr01102)(1)(NnknNjekXNnx12, 1 , 0Nn221 11NNjrNjreNe时域连续 非周

6、期连续 非周期连续 周期离散 非周期t)(tx00)( jX(FT)(FS)0t)(tx00k)(0kXdtetxjXtj)()(dtejXtxtj)(21)(dtetxTkXtjk0)(1)(0ktjkekXtx0)()(0频域1四种形式傅里叶变换对离散 非周期离散 周期连续 周期离散 周期(DTFT)(DFS)时域频域n)(nx00n)(nx0)(jeX0k)(kXnnjjenxeX)()(102)()(NnnkNjenxkXdeeXnxnjj)(21)(102)(1)(NknkNjekXNnxx(t)t取样x(t)tDTFTX(ejT)采样X(ejw)wX(ejw)w采样x(t)tx(t

7、)tX(ejT)wX(ejw)DTFT采样)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx , 01-0 , )()(为其它值nNnnxnxrrNnxnx)()()mod()(Nnxnx记作：Nnxnx)()()()()(ndnxnx其中：为其他值nNnnd , 01-0 , 1)()k(X)(kXNkXkX)()()()()(kdkXkX周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ,因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。t)(tx0T0)( jXcc)( jQ000t)(tqTTt)(tp0sT0)( jPss0sT)(jeXss2s2

8、s)(snTxn1N00)(nxn1N0k)(jeX1N10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFTnx10)()(NnnznxzXjezNnnjjzXenxeX)()()(10kNNnjnkNjeXenxkX2102)()()(Z变换、变换、DTFT、DFT的取值范围的取值范围Re z2 / NIm z1kN1k 0k 01r 平面znnznxzX)()(0njwnjwenxeX)()(010220)()(NnnNkjNkjenxeX数 字 角 频 率DFT正变换n再 进 行 抽 样

9、- N 等 分.这 样w=2k/N, 即w值为0, 2/N, 4/N, 6/N, 考虑到x (n)是N点有限长序列, 因而n只需0N-1即可。将w=2k/N代入并改变上下限, 得kNjezzXkX2)()(0)(kX)(nxNrNrNnxnx)()()()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN称为内插函数其中)()()()(10zzkXzXkkNk1111)(zwzNzkNNk)2()()10kNwkXeXezzNkjwjw（代替便得到用把wNjkewwNNw)21()2sin()2sin(1)(t)(tx0T0)( jXcct)(tp0sT0sT)(jeXss2s2s)(

10、jQ000t)(tqTT0)( jPss)(snTxn1N0)(nxn1N00k)(jeX1N)(1)(1nxDFTkX)(2)(2nxDFTkX)(2)(1)(2)(1kbXkaXnbxnaxDFT)(2)( 1)(2)( 1)(2)( 1)(2)( 1101022102kbXkaXenxbenxaenbxnaxnbxnaxDFTNnNnnkNjnkNjNnnkNjTjrnenx)(10/ )(2)(NnNkrnjekX为其它值r kr NeeekXkrNjNkrNjNnnkrNj 0 11)()(2)(210)(2当输入频率为的正弦波时，傅里叶变换后的离散频谱中只有一条谱线取值为N，其余的

11、都为零。 输入信号是若干频率不同的正弦波的线性组合，经过离散傅里叶变换后，将在不同的谱线位置有对应的输出。 离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性 。)()()(nRmnxnxNNm2131 0.5nx(n)(1)周期延拓：N=5时2131x(n)0.521310.51120.5n3(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n2 131 0.5nx(n)(4)M=-2时，右移(取主值)2131nx(n)0.5(3)M=1时，左移(取主值)131x(n)0.52nmmmnxmxmnxmxnxnxny)()()()()(*)()(122121110110)()

12、(11NnNNnnxnx120120)()(22NnNNnnxnx1012102121)()()()()()()(NmNNmNmnxmxmnxmxnxnxny231x(n)54n0N1=5u线性卷积： 圆周卷积：(N=7)补零加长 231x(k)54k0N1=5N2=3213h(n)n0 x(k)231540N=7ku线性卷积无需周期延拓，u圆周卷积需进行周期延拓：线性卷积的反折： 圆卷积的反折(并取主值区间）：231h(-k)k0231h(k)0k231231231h(-k)k0132u平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0231x(k)54k0231x(k)540N=7ku相乘u

13、x(k)h(-k)=51=5ux(k)h(1-k)=5*2+4*1=14ux(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3u 相加u得到线性卷积的示意图u 相加u得到圆周卷积的示意图14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可见，线性卷积与圆周卷积相同可见，线性卷积与圆周卷积相同 当当NN1(5)+N2(3)-1=7时时 若圆周卷积取长度为N=5，则求圆周卷积231x(k)540N=5k求得圆周

14、卷积x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圆周卷积与线性卷积不同。171326y(n)n02014k231h(-k)0L点DFTh(n)L点DFTL点IDFTx(n)y(n)00 xe(n)n0 x(n)n0 x(-n)n互为偶对称为偶对称序列x(n)n0 x(-n)n互为奇对称0 xo(n)n为奇对称序列DFT对FT的近似)(txa)(nxa)()(ndnxa)(nxN)(nx)( jXa)(jaeX)()(jjaeDeX)(kXN)(kXFTDTFTDTFTDFTDFSsnTt 采样截短周期延拓取一个周期ssT/2sNT/20取一个周期周期延拓采样周期延拓卷积用DFT实现对连续信号谱分析的过程1( )x t1()* ()2X jR j1( )x t2sin2sin)()21(wMweeWMjwjw处。处“泄漏”到其他频率即频谱成分从形状的连续频谱。（变成了为中心的一根谱线是以（看出这样由02sin2sin)0),()(*)(2sin2sin| )(|1wwMweXwweXeWeXwMweWjwjw