第九章第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1、/Js学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语丁4jg丁4丁4|rjf平面解析几何知识点考纲下载直线的方程m在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.0理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.®掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.两直线的位置关系O能根据两条直线的斜率判疋这两条直线平仃或垂直.0能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.®掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的

2、标准方程与一般方程直线、圆的位置关系n能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.困能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质圆锥曲线的简单应用m了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.国理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1课;1T就-追和朿帝当直线与x轴教材回

3、顾夯实基础1. 直线的倾斜角(1) 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.倾斜角的范围为0,n.2. 直线的斜率(1) 定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tana,倾斜角是90°的直线没有斜率.过两点的直线的斜率公式经过两点P1(X1,yi),P2(X2,y2)(Xlx2)的直线的斜率公式为k=需二X=x_X23. 直线方程名称几何条件方程局限性占八、斜式过点(x,yo)，斜率为kyyo=k（xXo）不含垂直于X轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为by=kX+b不含垂直于

4、X轴的直线两占八、式过两点（X1,y”，（X2,y2）（X1丰X2，y1丰y2）yy1xX1y2y12X1不包括垂直于坐标轴的直线续表名称几何条件方程局限性截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b丰0)X,V.一+=1ab不包括垂直于坐标轴和过原点的直线般式Ax+By+C=0（A，B不全为0）基础自测o判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4) 直线的斜率为tana,则其倾斜角为a()(5) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

5、经过任意两个不同的点P1(X1,yi),P2(X2,y2)的直线都可以用方程(yyi)(X2Xi)=(xXi)(y2yi)表示.()答案：(1)2(2)x(3)x(4)x(5)x(6)V&(教材习题改编)经过两点A(m,3),B(1,2m)的直线的倾斜角为135°,则m的值为()A.2B.2C.4D.4解析：选B.由题意得细二二tan135°=1,1m即2m3=m1,所以m=2,故选B.©(教材习题改编)经过点Po(2,3)，倾斜角为45°的直线方程为()A.x+y+1=0B.x+y1=0C.xy+5=0D.xy5=0解析：选D.由点斜式得直线方

6、程为y(3)=tan45°(x2)=x2,即xy5=0,故选D.日(教材习题改编)倾斜角为120°,在x轴上的截距为1的直线方程是()A.弋3xy+1=0B/j3xy3=0C.3x+y.3=0D.V3x+y+V3=0解析：选D.因为倾斜角为120°,所以斜率k=3.又因为直线过点(一1,0),所以直线方程为y=3(x+1),即3x+y+.?3=0.如果ACv0,BCv0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k=Av0,直线在y轴上的截距b=C>0,故选BBC.国(教材习题改编)过点

7、P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x2y=0;当截距不为0时，设直线方程为X+y=1,则2+3=1,解得a=5,所以直线方程为x+y5=0.aaaa答案：3x2y=0或x+y5=0典例剖析、考点突破小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语考点直线的倾斜角与斜率学生用书P144典例引领匕口(1)直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是()B.A. 0，no,直线I过点P(1,0)，且与以A(2,1),B(0,.3)为端点的线段有公共点，则直线I斜率的取值范围为.【解析】(1)设直线的倾斜角为0,则有tan0=-

8、sina因为sina1,1,所以一Ktan1,故选B.又00,n,所以0W(2)如图,因为kAP=T-°=1,21/Js学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语kBP=,3，所以直线01I的斜率k(3,3U1,+3).【答案】(1)B(2)(33U1,)互动療究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线I斜率的取值范围.解：因为P(1,0),A(2,1),B(0,3),所以kAP=2101)=1,kBP=°_3-0)如图可知，直线I斜率的取值范围为2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2,1)，其他条件不变，求直线I倾斜角

9、的范围.解：如图，直线PA的倾斜角为45°,直线PB的倾斜角为135°,由图象知I的倾斜角的范围为0°,45°U135°,180°).求倾斜角的取值范围的一般步骤 求出斜率k=tana的取值范围. 利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角a的取值范围.(2) 斜率的求法 定义法：若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据k=tana求斜率.V2y 公式法：右已知直线上两点A(xi,yi),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=_x(xi工X2x1X2)求斜率.注意直线倾斜角的范围是o,n,而这个区间不是正切函数的单调区间，因

10、此根据斜率求倾斜角的范围时，要分o,n，2与$n三种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当倾斜角a0,扌时，斜率“0,+m)；当a=2时，斜率不存在；当a牙，冗丿时，斜率k(g,0).通关练习in1.直线2xcosay3=0(a6n的倾斜角的变化范围是()A.nnB.j,nC.n2nIJ，"3一解析:选B.直线2xcosay3=0的斜率k=2cosa由于aa于，因此k=2cosa1,3.设直线的倾斜角为0,则有tan茨1,3.由于张0,n)所以张?n即倾斜角的变化范围是2.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线，贝Ua的值为5 3a3解析：因为kAC=1,kAB=a3.6

11、 454由于A,B,C三点共线,所以a3=1,即a=4.答案：4典例引领创-根据所给条件求直线的方程：直线过点(一4,0)，倾斜角的正弦值为亠丄0(2) 直线过点(一3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12;(3) 直线过点(5,10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为a,贝Usina=(O<aVn,10从而COSa=j3100,贝yk=tana=±1.故所求直线方程为y=j"(x+4),3即x+3y+4=0或x3y+4=0.由题设知纵横截距不为0,设直线方程为：+12a=1，又直线过点(一3,4),34、从而+=1

12、,解得a=4或a=9.a12a故所求直线方程为4xy+16=0或x+3y9=0.(3) 当斜率不存在时，所求直线方程为x5=0满足题意；当斜率存在时，设其为k,则所求直线方程为y10=k(x5),即kxy+105k=0.由点线距离公式，得|105k|=5,解得k=故所求直线方程为3x4y+25=0.综上知，所求直线方程为x一5=0或3x4y+25=0.反思提升求直线方程的2个注意点(1) 在求直线方程时，应先选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2) 对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)通关练习求适

13、合下列条件的直线方程：(1)经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语(2)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解：当直线不过原点时，设所求直线方程为：X+-=1,将(5,2)代入所设方程，解2aa得a£所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时，设直线方程为y=kx,2则一5k=2,解得k=直线方程的综合应用学生用书P145典例引领例工过点P(4,1)作直线I分别交x,y轴正半轴于A,B两点.当厶AOB面积最小时，求直线I的方程；当|0A|+|OB|取最小值时，求直线I的方

14、程.【解】设直线I:；+b=1(a>0,b>0),因为直线I经过点P(4,1),所以4+£=1.ab41o414(1)a+1=1ab=ab，所以ab>16,当且仅当a=8,b=2时等号成立，所以当a=8,b=2时，AOB的面积最小，此时直线I的方程为x+卫=1,即x+4y828=0.41,52所以直线方程为y=2X,即2x+5y=0.5故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4),由点斜式得y4=±x3).所求直线的方程为xy+1=0或x+y7=0.考点a丄4bc=51>9,ba

15、当且仅当a=6,b=3时等号成立，所以当|0A|+|OB|取最小值时，直线I的方程为x+2y6=0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1) 与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决.(2) 与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决通关练习已知直线11:ax2y=2a4,S:2x+a?y=2a?+4,当0vav2时，直线11,12与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解：由题意知直线li,I2恒过定点P(2,2),直线li在y轴上的截距为2a,直线I?在1ix轴上的截距为a2+2

16、,所以四边形的面积S=2x(2a)+2X(a2+2)=a2a+4=a1+乎，当a=*时，面积最小.课堂小结D直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.直线的倾斜角a和斜率k之间的对应关系：a0°0°vav90°90°90°vav180°k0k>0不存在kv0&直线方程形式的选择在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用

17、截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.目解决直线方程应关注三点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.(2) 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.(3) 截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.、以练促学强技捉能分层演练&直击高考学生用书P309（单独成册）基础达标-”1已知直线I过点（1,0），且倾斜角为直线Io：x2y2=0的倾斜角的2倍，则直线I的方程为（）A4x3y3=0B. 3x4y3=0C. 3x4y4

18、=0解析：选D.由题意可设直线D.4x3y4=0I0,I的倾斜角分别为a,2a,因为直线l0:x2y2=0的斜率为1,则tan所以直线I的斜率k=tan2a=2tana1tan2ar=亍小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语所以由点斜式可得直线I的方程为y0=3（x1）,即4x3y4=0.32. 直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a,b,c应满足（）A. ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<0解析：选A.由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限

19、，所以直线存在斜率，将方程变形为y=：xb易知；<0且b>0,故ab>0,bc<0.3.两直线my=a与x乂=a（其中a为不为零的常数）的图象可能是（n解析：选B.直线方程mmy=a可化为y=mmxna,直线半-=a可化为y=xma,由此可知两条直线的斜率同号.4. 已知直线x+a2ya=0（a>0,a是常数），当此直线在x,y轴上的截距之和最小时，a的值是（）A.1B.2C.2D.0解析：选A.直线方程可化为：+1=1,因为a>0,所以截距之和t=汀a2,当且仅当a=a，即a=1时取等号5. 直线x2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b

20、的取值范围是（）A2,2B. (s,2U2,+s)C. 2,0)U(0,2D. (m,+m)解析：选C.令x=0,得y=b,令y=0,得x=b,1所以所求三角形的面积为2b-211|b|=；b2,且b工0,；b2w1,所以b2w4,所以b的取值范围是2,0)U(0,2.6. 直线I过原点且平分？ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0),则直线I的方程为.解析：直线I平分平行四边形ABCD的面积，则直线I过BD的中点(3,2),则直线I:2y=3x.2答案：y=|x7. 过点M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y=

21、*x；3(2)当直线不过原点时，设直线方程为x+一七=1,aa即xy=a.代入点(一3,5),得a=8.即直线方程为xy+8=0.5答案：y=或xy+8=08. 直线I:(a2)x+(a+1)y+6=0,则直线I恒过定点.解析：直线I的方程变形为a(x+y)2x+y+6=0,x+y=0,由£、一2x+y+6=0,解得x=2,y=2,所以直线I恒过定点(2,2).答案：(2,2)9. 已知直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线I的方程:(1)过定点A(3,4);1斜率为6.小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语解：设直线I的方程为

22、y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3,3k+k4, 由已知，得(3k+4)X£+3=戈，解得ki=2或k2=8.故直线I的方程为2x+3y6=0或8x+3y+12=0.1设直线I在y轴上的截距为b,则直线I的方程是y=©x+b,它在x轴上的截距是6b,由已知，得|6bb|=6,所以b=±1.所以直线I的方程为x6y+6=0或x6y6=0.10.如图，射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别1交OA,OB于A,B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=寸x上时，求直线AB的方程.解：由题意可得

23、koA=tan45°=1,koB=tan(180°30°)=¥,所以直线Ioa：y=x,Iob：y=fx.设A(m,m),B(,3n,n),所以AB的中点Cm+n2,1由点C在直线y=?x上,且A,P,B三点共线得m+n_1m.'3n2=2_2,m0n0m1,3n1,解得m=3,所以A(3,_3).又P(1,0),所以kAB=kAP=y3=3：S,J312所以IAB:y=3；3(X1),即直线AB的方程为(3+3)x2y3.3=0.x1若直线a+a能力提升1(a>0,b>0)过点(1,1),贝Ua+b的最小值等于()A.2B.3C.4

24、D.5解析：选C.将(1,1)代入直线：+*=1,得£+b=1，a>0,b>0,故a+b=(a+b)(£+占=2+b+2+2=4,等号当且仅当a=b时取到，故选C.bab2. 已知点P(x,y)在直线x+y4=0上，贝Ux2+y2的最小值是()A.8B.2.2C.2D.16解析：选A.因为点P(x,y)在直线x+y4=0上，所以y=4x,所以x2+/=x2+(4x)2=2(x2)2+8,当x=2时，x2+y2取得最小值8.3. 若直线I与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,1),则直线I的斜率为()11a3B.33/Js学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短