第7章 线性变换

1、第7章线性变换§1线性变换的定义线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。一、线性变换的定义定义7.1设V为线性空间，若对于V中的任一向量a，按照一定的对应规则T,总有V中的一个确定的向量卩与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为T(a)=卩或Ta二卩,(aeV)，卩称为a的象，a称为卩的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)，即T(V)=$-T(a)|aeV。由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。定义

2、7.2线性空间V中的变换T,若满足条件(1)对任意a，卩eV有T(a+卩)-T(a)+T(P)；(3)对任意aeV及数域p中任意数k有T(ka)-kT(a)，则称变换T为V中的线性变换。例7.1线性空间V中的恒等变换或称单位变换亡，即E(a)=a(aeV)以及零变换o,即o(a)0(aeV)都是线性变换.例7.2设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：a-1ka,aeV这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示显然当k1时，便得恒等变换，当k0时，便得零变换.例7.3在线性空间Px或者Px中，求微商是n一个线性变换.这个变换通常用D代表，即D(f(X)=广(X

3、).例7.4定义在闭区间)a，b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表.在这个空间中变换9(/(x)=xf(t)dta是一线性变换.对任意的例7.5在R3中，定义下列变换(x、1x2Lx丿3x3试确定它们是否为线性变换？(x'1eR3和数keR,解对任意的x2Lx丿3厂x11T(xfy+)"x+y(x+y+x+y1f1122(x+x1f12fx+yfxf33fLx+y丿f3fLx丿222Lx3丿Ly3丿x3+y3丿111f(y1+y21y3y1(x'1=Tx2IX丿3+Ty2(y3丿T'kx、1 =Tkx2厂kx+kxikx3ikx1x+x

4、、'x、121丿x=kTx32丿.x丿.x丿ikx丿3=k13故T是线性变换；=T1(x1x2ix3ix+y(x1xe1y1111丿21T+T=0丿丿+0丿丿=012丿12丿ix丿丿3Iy3丿ix丿丿3:y3丿ix+3y3丿o3上两式不等，故T不是线性变换。同理可验证T也不12是线性变换。（也可取特殊的向量来验证不是线性变换）二、线性变换的性质命题7.1设V是n维线性空间，t是V的一个线性变换，则有：(1)T(0)=0,T(-a)=-TQ)；(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即T(ka+ka+ka)=kT(a)+kT(a)+kT(a)；1122mm1122mm(3)若a,a，

5、,a线性相关，12m则T(a),T(a),T(a)也线性相关。12m证明此命题的证明请读者自己证之。注意命题7.1(3)的逆命题是不成立的。即若a,a，,a线性无12m关，则T(a),T(a),T(a)不一定线性无关。(如12m前面的微分变换)§2线性变换的运算一、线性变换的乘法设A，,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB)(a)=A,(B(a)(aGV).则线性变换的乘积也是线性变换.(自己验证)线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D(f(X)=广(X).9(f(x)=xf(t)d

6、ta的乘积D9仝，但一般9DH匕对于任意线性变换刃，都有Al=lA=A.二、线性变换的加法设A，B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为(A+B)(a)=A(a)+B0)(gV).则线性变换的和还是线性变换(自己验证).线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.对于加法,零变换o与所有线性变换A的和仍等于A：A+o=A对于每个线性变换A，可以定义它的负变换(-A)：(-A)(a)=-A(a)(XV).则负变换(-A)也是线性变换，且A+(-A)=o.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA.三、线

7、性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换刃的数量乘法定义为kA=KA即kA0)=KA(a)=KA(a),当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：(kl)A=k(lA),(k+1)A=kA+1A,k(A+B)=kA+kB,1A=A.线性空间卩上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.V的变换A称为可逆的，如果有卩的变换B存在，使AB=BA=E.这时，变换B称为A的逆变换，记为A_1.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换At也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个

8、(n是正整数)线性变换A相乘时，就可以用/、AAA来表示，称为刃的n次幕，简记为An作为定义，令A0=E.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：Am+n=Amanj(Am)n=Amn(m,n>0)当线性变换A可逆时，定义A的负整数幕为A-n=(A-1)n(n是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(ABn工an$n.设f(x)=axm+axm-ihfamm-10是Px中一多项式，A是V的一个线性变换，定义f(A)=aAm+aAm-1+aEmm-10显然f(A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式.不难验证，f(A)g(A)=g(A)f(A).即同一个线性变换

9、的多项式的乘法是可交换的.例在线性空间Pb中，求微商是一个线性变n换，用D表示.显然有Dn=0其次，变换的平移f(九)Tf(九+a)aeP也是一个线性变换，用9表示根据泰勒展开式af（九+a）二f（九）+af'（九）+可f"（九）+（-一1）!f（n_D（九）'因之9实质上是D的多项式：a9=£+aD+aa22!D2+a-1(-1)1DnT§3线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V是数域P上-维线性空间.£,£，,£V的1 2-一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间V中任意一个向量g可以被基£,

10、3;，,£线性12-表出，即有关系式g=X£+X£+X£（1）1122-其中系数是唯一确定的，它们就是g在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在g的像Ag与基的像A£i，A£2，,A£之间也必然有相同的关12-系：Ag=A(X£+X£+X£)1122-=叫A()+x2A(£丿+xA(£)1122-上式表明，如果知道了基£,£，,£的像，那12n么线性空间中任意一个向量E的像也就知道了，或者说1. 设£,£，,&#

11、163;是线性空间V的一组基，如果12n线性变换刃与$在这组基上的作用相同，即A£=B£，i1,2,9n，ii那么A=B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设£,£，,£是线性空间的一组基，对于12nV任意一组向量UU，U一定有一个线性变换A12n使A£=ai二1,2,nii定理1设£,£，,£是线性空间V的一组基，12na,a，,a是卩中任意n个向量.存在唯一的线性12n变换A使A£=ai二1,2,nii定义2设&

12、#163;,£，,£是数域p上n维线性空间12nV的一组基，A是V中的一个线性变换基向量的像可以被基线性表出：As=as+asHFas,1 111212n1nAs=as+ashfas,2 121222n2nAs=as+as+as.n1n12n2nnnA（s）n（5）用矩阵表示就是A（s1，s2,，s）=（A（s1），A（s2），12n12=（s，s，,s）A12n其中（aaa11121nA=aaa21222nIaaa丿n1n2nn矩阵a称为线性变换A在基乞，sj，s下的矩阵.12n例1在Rx中，取基4a=x3,a=x2,a=x,a=11234求微分运算D的矩阵。Da=3x2

13、=0a+3a+0a+0a11234解：Da=2x=0a+0a+2a+0a<21234，Da=1=0a+0a+0a+1a3 1234Da=0=0a+0a+0a+0a4 1234所以D在这组基下的矩阵为000、3000A=0200<0010丿例2设£,£，,£是n(n>m)维线性空间12mV的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基£,£，,£指定线性变换A如下12nA£=£,i=1,2,m,<iiA£=0,i=m+1,n.Vi如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影不难证明A2=A投

14、影A在基£，£,£下的矩阵是12n(1110,0丿这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nxn矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2设*,£，,£是数域P上n维线性空间12nV的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对应一个nxn矩阵，这个对应具有以下性质：1) 线性变换的和对应于矩阵的和；2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4) 可逆

15、的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2说明数域P上n维线性空间V的全体线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空间Pnxn同构.定理3设线性变换A在基£，£j，£下的矩阵12n是A，向量在基£,£，,£下的坐标是12n(X,x,，x)，则AE在基£,£，,£下的坐标12n12n(y,y,y)可以按公式12ny1x1y2=Ax2IyJn(x丿n计算二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起

16、的一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.同一线性变换在不同的基下的矩阵一般是不一样的。现在我们来寻找它们之间关系。定理4设V是n维线性空间，向量组n1)a,a,12,a；n(2)卩，卩，：J卩,12n是#的两个基，由基(1)到基(2)的过渡矩阵为X,n若线性变换T在基(1)下的矩阵为A，在基(2)下的矩阵为B，则有B=X-1AX，即同一线性变换在两个不同基下的矩阵是相似的。且相似变换矩阵乂就是由基(1)到基(2)的过渡矩阵。证根据定理的假设有(卩，卩，卩)=Q，Q，a)X(7-1)12n12nT(

17、a,a，,a)=(a,a，,a)A(7-2)12n12nT(卩,卩，,卩)二(卩,卩,卩)B(7-3)12n12n另一方面，由(7-1)式及(7-2)式，又得T(卩,卩，,卩)=T(a,a，,a)X=T(a,a，,a)X12n1,n12n=(a,a，,a)AX12n=(P,P,P)X-iAX(7-4)12n比较(7-3)式及(7-4)式，注意到P,P,P是.12n一个基，得B=X-iAX定理4告诉我们，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系是相似关系.定义设A,B为数域p上两个n级方阵，如果可以找到数域P上的n级可逆方阵X，使得B-X-1AX，就说A相似于B，记作AB.这种相似关系具有下面三

18、个性质：1. 反身性：AA2. 对称性：如果AB，那么BA3. 传递性：如果AB,BC，那么AC.定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果B=X-1AX,B=X-1AX，那么1122B+B=X-1(A+A)X,1212BB=X-1(AA)X1212由此可知，如果B=X-1AX,且f(x)是数域P上一多项式，那么f(B)=X-1f(A)X利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算例4设V是数域P上一个二维线性空间，£,£12是一组基，线性变换A在£

19、1,£2下的矩阵是(21弋厂10丿计算A在卩的另一组基2下的矩阵，这里们严彳)=(£1，£2)(1-1、1、课本上是要算(一1°丿解：所求矩阵为厂1-1、-1厂21、(1-1、(11、J12丿厂1°丿厂12丿<°1丿§4特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义1设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域p中一数九，存在一个非零向量E,使aE=几E（1）那么九称为A的一个特征值，而£叫做A的属于特征值九的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时

20、或者方向不变（九0）或者方向相反（九0），至于（九=0）时，特征向量就被线性变换变成0.如果£是线性变换A的属于特征值九的特征向量，那么£的任何一个非零倍数k£也是A的属于特征值九的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法设V是数域P上n维线性空间，£,£，,£是12n它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是A.设九o是特征值，它的一个特征向量£在£1，£2，£下012n的坐标是x,

21、x,x,则A£的坐标是12n因此（1）式相当于坐标之间的等式(xrx)1ixx2=x2ix丿.x丿Ann(2)(xE-A)这说明特征向量g的坐标（x1,x2,12组）满足齐次方程nax+ax+111122ax+ax+211222+ax=Xx,1nn1+ax=Xx,2nn2ax+ax+ax=Xx,n11n22nnnn_ax=0,1nn一ax=0,2nn(3)(X_a)x_ax_0111122_ax+(X_a)x_2110222一ax一ax一+（X一a）x=0,n11n220nnn由于E丰0，所以它的坐标兀，J，xn不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数

22、行列式为零，即XE_A|=X_a11_a21_a12X_a22_a1n_a2nXE_A=_an1_an2X_annx_a_a_a1112In一aX_a_a21222n一a_aX_anln2nn叫做矩阵A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多定义2设A是数域P上一个n级矩阵/是一个数字矩阵XE_A的行列式项式.上面的分析说明，如果九是线性变换A的特征值,那么九一定是矩阵A的特征多项式的一个根；反过来，如果九是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即pE-A|=0，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果（x1,x2，x）是方程组（3）的一个非零12n解，那么非零向量g=X8+X8+X8）112

23、2nn满足（1），即九是线性变换A的一个特征值，e就是属于特征值九的一个特征向量.因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1在线性空间V中取一组基8，8，8，写出12nA在这组基下的矩阵A；2. 求出A的特征多项式|xE-A在数域P中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；3. 把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基8,8，,8下的坐标，这样，也就求出了属于12n每个特征征的全部线性无关的特征向量.矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组

24、(3)的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.例1设线性变换A在基£r£2,£3下的矩阵是123(122A=212221j<221丿求A的特征值与特征向量.例2在空间Px中，线性变换nDf(X)二广(X)x2在基】,x，!,Xn1下的矩阵是(01000010D=0001k0000D的特征多项式是九1000九10九ED=0001000九因此，D的特征值只有0通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.容易看出，对于线性变换A的任一个特征值入°,全部适合条件=九（X

25、的向量a所成的集合，也就是A的属于九0的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记为V显然，V的维数九九00就是属于九0的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为：V=a|Aa=Xa,agV几00大家已经看到，线性变换的特征值、特征向量的研究，是转化为矩阵的特征值、特征向量来进行的。下面补充：矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义：设A为n阶矩阵，如果数人和非零向量a，使得4-1)则称九为A的特征值，a为对应于特征值九的特征向量。同样，也椒为对应于特征向量的特征值。注意:特征值问题是对方阵而言的，特征向量a一定是非零向量。由（4-1）可

26、知，若几是矩阵A的特征值，»为对应于几的特征向°0量，则a0为齐次线性方程组IEA)x=00的非零解。反之，若能找到数"0，使得齐次线性方程组CEA)x二0有0非零解，则”0是A的一个特征值，这个方程组的任何一个非零解都是”0对应的特征向量。因而，由齐次线性方程组解的理论可知(1) ”0是矩阵A的特征值的充要条件为行列式hE-A=00(2) 若巴巴，。都是矩阵A12s对应于特征值”0的特征向量，kk,k为数，且12sk(X+k(X+k(X丰01122ss贝UkX+kX+kX1122ss是矩阵量。A对应于特征值几的特征向0定义：IXEA1=设矩阵九一aa1112a九

27、一a2122Af,称勺nxna1na2n4-2)aan1n2九一ann为矩阵A的特征多项式。称九的方程I九EAI=0(4-3)0为矩阵A的特征方程。由行列式的定义可知(4-2)的展开式为九的n次多项式，依代数基本定理可以证明，在复数域中，n阶矩阵A的特征方程（4-3）恰有个根（k重根算作k个根）。二、特征值与特征向量的求法求矩阵A的特征值与特征向量的步骤如下：（1）计算A的特征多项式（4-2），并求出特征方程（4-3）的所有的根，设矩阵A有S个不同的特征根九，九,九12s（2）对A的每个特征值”（i=1s），求齐次线性方程组iCEA）x二0i的基础解系。设它的一个基础解系为，那么，a,a,ai

28、1i2irir1kaijj=1ij（其中佇,.2，,k,r为不同时为零i的任意常数）即为矩阵A对应于入的i全部特征向量。设矩阵A=，求A的特征值和特征向量。解：九-1-1IXEA1=1-1=(X2)(九+1)21-1X所以，A的特征值为X1=21X=X=-123当X=2时，解方程19(2E-A)x=0得其基础解系为,故与”=2对应1的全体特征向量为1(k1为不等于(211、(x1ro121x20112丄丄厶丿Ix3J<0丿即(EA)x=0组(10，得基础解系零的常数)当九2=3=-1时，解齐次线性方程二九二13应的全体特征向量为-1)-1)k1+k02.0丿3.1丿其中k2，k3为不同时

29、为零的任意常数)。(-11o)例设矩阵为A=-430，求AI102)的特征值和特征向量。解-1-X10AXE1=-43-X0=(2-X)(1-X)102-X所以，A的特征值为几=2,1九二九二123当几=2时，解方程1(2EA)x=0即31°、x1x2°、41°°1°°丿x3丿°丿°得其基础解系为°,故与人=2，对1丿1°应的全体特征向量为ki°(*1为不等1丿于零的常数)二1时，解齐次线性方程(EA)x=°,得基础解系为11，故与九2"3=1，对应的全丿（-1体特

30、征向量为k2-2（k为不等于零1丿2的任意常数）。例设矩阵A为对合矩阵（即A2=E）,且A的特征值都是1,证明：A=E。证由A2=E可得（A+E）（AE）=O由于A的特征值都是1,这说明1不是A的特征值,即IA+EIhO因而A+E可逆，从而（AE）=O有A=E。三、特征值与特征向量的性质设n阶矩阵A=%的特征值幼nxn为",九2,，九，由多项式的根与系数12n之间的关系，不难证明：定理设入1化,，为n阶矩阵A=)的特征值，则Vfnxn2)nn九j=1另几j=1=|A|请读者证明之。看特征多项式的系数.在几一aaaii121na九一aa21222naa九一an1n2nn九E-A的展开式

31、中，有一项是主对角线上元素的连乘积（九一a）（九一a）（九一a）1122nn展开式中的其余项，至多包含n-2个主对角线上的元素，它对九的次数最多是n-2.因此特征多项式中含九的”次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是Xn（a+a+a）九-11122nn在特征多项式中令X=0，即得常数项A=（1）nA因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有XEA=Xn(a+a+a)Xn1+(1)nA1122nn由根与系数的关系可知，A的全体特征值的和为a+a+a（称为A的1122nn迹）.而的a全体特征值的积为|A|.）定理4.2设九1，化,，是n阶矩阵A的s个不同的特征值，aaaI

32、2s分别是它们的特征向量，则a1a2as线性无关。（即不同特征值对应的特征向量线性无关）证明留给读者。推论设S入2,行是n阶矩阵A的S个不同的特征值,aii，ai2,，airi是矩阵A的对应特征值”的特征向i量（i=lS）,则a,a，,a，,II 121r1a,a,as1s2srs线性无关。证明留给读者。矩阵的特征值还有如下的性质命题(1)矩阵A与A的转置有相同的特征值。(2) 设九是矩阵A的特征值，则“m是tn的特征值(其中m是正整数)。(3) 九32九+3是A32A+3E的特征值。(4) 若矩阵A可逆，九是矩阵A的1特征值，则是矩阵a-1的特征值证明（留作习题）相似矩阵具有如下的性质：下设

33、A，B都是n阶矩阵。性质4.1若n阶矩阵A与B相似，则（1）|A=|B|;（2）A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同（但注意：特征向量不一定相同）。（注意：特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如(10、(11、它们的特征多项式都是G1），但A和不相似，因为和相似的矩阵只能是AA本身）证明因A与B相似，即有可逆矩阵P,使P-iAP二B故九E-B=九P-1EP-P-1AP=P-1九E-AP=九EA推论若n阶矩阵A与对角矩阵九2相似，则仆化,'行即是A的n个特12n征值。性质4.2若AB，且矩阵A可逆，则矩阵B也可逆，且A-B-1。证由性质4.1，当AB时，detA=detB,

34、所以，当detAHO时必有detBHO，即A可逆时B也可逆。设P为可逆矩阵，且P-1AP=B，则B-i=(P-iAP)-i=P-iA-iP即A-1B-1。§5对角矩阵定理设A是n维线性空间v的一个线性变换，A的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.定理属于不同特征值的特征向量是线性无关的.【证明见课本3OO页】推论1如果在n维线性空间V中，线性变换A的特征多项式在数域p中有n个不同的根，即A有n个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.推论2在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么刃在某组基下的矩阵是对角形的.n维线性空间V

35、的线性变换若没有个n不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂一些.定理如果九，九是线性变换A的不同的特征1k值，而a,a是属于特征值入的线性无关的特征i1iri向量，-1,2k那么向量组a,a，,a,a也线性无关.11irk1kr1k根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A全部不同的特征值是，九，于是A在某一组基1r下的矩阵成

36、对角形的充要条件是A的特征子空间V,V的维数之和等于空间的维数.入入1r应该看到，当线性变换A在一组基下的矩阵A是对角形时：仏000）10九00A=2000九丿nA的特征多项式就是九EA=（九一九）（九一九）（九一九）1 2n因此，如果线性变换刃在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是A的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.根据前面的分析知，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角阵的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题（这就成了矩阵的对角化问题）.例在§4的例1中，已经算出线性变换A的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量

37、是g=££,113g=s£,2 23g=£+£+£3123由此可见，a在基%，g2,g3下的矩阵为对角矩阵丄厶005丿厂-10j0而由£j£2,£3到勺,E2,E3.的过渡矩阵是123123111丿01-1厂10J-1于是，X-1AX=B.例3Rx3内取定一组基hx,x2,x3，在Rx3内定义一个线性变换T如下，若P(x)=a+ax+ax2+ax3；0123则TP(x)=a+ax+ax2+ax3。3 210(1) 求t在基1,x,x2,x3下的矩阵；(2) 求一个基使T在该基下的矩阵为对角阵。解(1)因为

38、T(1)=x3,T(x)=x2,T(x2)=x,T(x3)=1，故T(l,x,x2,x3)=(1,x,x2,x3)'000j1001001001、000丿即在该基下的矩阵为001001001000丿(3)由丨A九EI=0得A的特征值九=1（二重）九=1（二重）A的属于九的特征向量为Q11100110a21J丿J0丿1211110101110，a411<1丿<0丿3因此A的属于于2的特征向量为注意A的特征值也是线性变换T的特征值,的属于九的特征向量为g=C,X,X2,X31ro)1r1<0丿T的属于九2的特征向量为2(x,x2,x3x,x2,x3100（一1丿x,x2,

39、（0、）1x3一1j0丿=x一x2。于是gggg构成Rx的一组基，T在这组基下12343的矩阵为厂1rr001000、0A=r00一10rj000一1丿即有(1000、T(g,g,g,g)=(g,g,g,g)12341234§6线性变换的值域与核定义6设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域(也叫A的象空间)，用AV表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1(0)表示.若用集合的记号则AV=(4gIgeV,A-i(0)=匕IAg=0,geV命题：线性变换的值域与核都是V的子空间.定义：AV的维数称为A的秩，A-1(0)的维数称为A的零度.例1

40、在线性空间Px中，令nD(f(X)二广(X)则D的值域就是Px1，D的核就是子空间p.n-1例2设有n阶矩阵aaa1112aaa2122aaan1n22nIn=(ai,a2,叮其中丿nn(a)iia2iwi丿ni定义rn中的变换y=t(x)为T(x)=Ax,(xGRn)则T为线性变换。这是因为设a,bgRn，贝【T(a+b)=A(a+b)-Aa+Ab-T(a)+T(b)T(ka)A(ka)kAakT(a)o又，T的值域就是由a，a，a所生成的向量空间12nT(Rn)=iy-xa+xa+xa|x,x，,xgRj；1122nn12nT的核T-1(0)就是齐次线性方程组Ax-0的解空间。定理设刃是n维线性空间V的线性变换，£,£，,£是卩的一组基，在这组基下A的矩阵是12nA，则1)A的值域AV是由基像组生成的子空间，即aV=L(AsAs,As)12n2)A的秩=A的秩.定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.定理11设A是n维线性空间V的线性变换，则aV的一组基的原像及Aj(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+A的零度=n推论对于有限维