圆锥曲线解题的七种题型和八种方法

1、解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1 1、定义法2 2、韦达定理法3 3、设而不求点差法4 4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K 参数、角参数)7、代入法8 8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)(1)中点弦问题(2)(2)焦点三角形问题(3)(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。2 .曲线的形状未知-求轨迹方程(6)(6)存在两点关于直线对称问题(7)(7)两线段垂直问题常用的八种方法1 1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，

2、n+r2=2a。第二定义中，ri=edir2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中，r1-r2=2a,当 rir2时，注意上的最小值为c-a：第二定义中，ri=edi,2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2 2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要

3、忽视判别式的作用。3 3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法，即设弦的两个端点 A(xi,yi),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：22(1)xy+冬=1(abA0)与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(X0,yo),则有ab与+空卜=0。(其中 K 是直线 AB 的斜率)ab22xy(2)xy%=1(aA0,bA0

4、)与直线 l 相父于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x,y0)则有ab空券k=0(其中 K 是直线 AB 的斜率)ab(3)y2=2px(p0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y。),则有 2y0k=2p,即 yOk=p.(其中 K 是直线 AB 的斜率)4 4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为,则Vl+k2-一，若直接用结论，能减少配方、开|a|方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题

5、，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如2x+y”,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“x2+y2”,令Jx2+y2=d,则 d 表示点 P(x,y)到原点的距离；又如13”，令上:3=k,则 kx2x2表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)， 以此点为参数， 依次求出其他相关量， 再列式求解。如 x 轴上一动点 P,常设 P(t,0);直线 x-2y+1=0 上一动点

6、 P。除设 P(xi,yi)外，也可直接设 P(2yi-1,y1)(2)斜率为参数当直线过某一定点 P(xo,yo)时，常设此直线为 y-yo=k(x-x0),即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求(或求证)目标 Q,方法 1 是将条件 P1代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2代入条件 P1,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设，代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易

7、程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例 1 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4V2)与到准线的距离和最小，则点 P 的坐标为(2)抛物线 C:y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小，则点 Q 的坐标为。分析：(1)A 在抛物线外，如图，连 PF,则PH=PF,因而易发现，HQ/QH人P当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。P一(2)B 在抛物线内，如图，作 QRH 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：(1)(2,2)连 PF,当 A、P、F 三点共线时，AP+PH=A

8、P+PF最小，此时 AF 的方程为丫=422-Q一即双(x-i)，代入 y2 2=4x 得 P(2,2J2),(注：另一交点为 J,一 4 4 万),3-12它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去)1,(2)(,1)4过 Q 作 QRL 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时，BQ+|QF|=|BQ+|QR 最小，此时 Q11点的纵坐标为 1，代入 y=4x 得 x=,Q(,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。22例 2 2、F 是椭圆 x_+匕=1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43上一动点。(1)PA+|PF|的最小值为(2)P

9、A+2PF的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1)4-3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例 5 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设 A(xi,xi2),B(X2,X22),又设 AB 中点为 M(X0y0)用弦长公式及中点公式得出 yo关于 xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离,解法一：设 A(x

10、i,xi2),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)xix2)2十(xi2x；)2=9则仅+x2=2x022xix2=2y0由得(xi-x2)l+(x1+x2)2=9即(xi+x2)2-4xix21+(xi+x2)2=9由、得 2xix2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4yo)-i+(2xo)2=9,9一4y0-4x0=2，14x,29,24y=4x02=(4x04x02、9-1=5,v。.9.25.25当 4x02+i=3 即x0=时，(yO)min=此时M(士,-)2424法二：如图，2MM2=AA2+BB2|=|AF|+|BF|AB|=3

11、A；想到用定义法。1)29-14x01MM23-一25，一，MM1,当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。45 5.M 到 x 轴的最短距离为-4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 xi,X2,从而形成 y0关于 xo的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 至 ijx 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的, 但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出

12、。二、韦达定理法【典型例题】例 6 6、已知椭圆22十一y=1(2m5)过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线mm7从左到右依次交于 A、B、C、D、设 f(m)=|IAB-CDI分析：此题初看很复杂，对A 在准线上，B 在椭圆上，同样“投影”到 x 轴上，立即可得防,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统”C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段f(m)=(XB-XA)也-(XD-xc)炎卜2|(XB-XA)-(XD-XC)|2(XBxc)-(XAXD2(XBXC天1/BA此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可

13、。22解：(1)椭圆+=1中，a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 Fi(-1,0)mm-1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则 x+x2=-2m(2mB(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1.以定点为中点的弦所在直线的方程22例 1、过椭圆上工=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直

14、线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)B(x2,y2)；M(2,1)为AB的中点二x1+x2=4y+y2=22.22.2A、B两点在椭圆上，则x+4y=16,x?+4y2=16,22、.，22、一两式相减得(为-x2)4(y1-y2)-0于是(x1x2)(x1-x2)4(y1y2)(y1-y2)=0y1-y2X=241，X-x24(y1y2)4221.,._.1.即kAB故所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y4=0。2例 2、已知双曲线x2-4=1,经过点M(1,1)能否作一条直线l,使l与双曲线交于A、B,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l,求出它的方程

15、，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB,且A(x1，y。、B(x2,y2)贝Ux1x2=222y1.x1-=1,2两式相减，得2x21，(xx2)(x1-x2)-(y1y2)(y1一y2)=0kAB2故直线AB:y-1=2(x1)、-1=2(x1)2y2消去y,得2x24x+3=0 x二12，、2一一一一-：=(-4)-423=-8：二0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的

16、结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例 3、已知椭圆匕十二=1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x=的交点恰为这条弦的中点75252M,求点M的坐标。1Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y)，则=万22又江+-=1,7525两式相减得25(y1y2)(y11y2)75(x1x2)(x1-x2)=0yx例 4、已知椭圆二十=1,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹万程。7525解：设弦端点P(x1，yJ、Q(

17、x2,y2),弦PQ的中点M(x,y),则y1-y2o二2x1-x2解：设弦端点P(x1,y1).x1，x2=2x0=1)yiy2=2y022红豆=17525即2yo(y1-y2)3(x1-x?)=0y1一y2xx22y0k=y=3x1-x22y0二点M的坐标为2)。x1+x2=2x,y1y2=2y2222上+巳=1,且+2=175257525两式相减得25(y1y2)(y1-y2)75(x1x2)(x1-x2)=03x注=3,即x+y=0y由x*y0彳曰p(5M5353由B3)，AB中点M(x,y),则xI+x2=2x.V5l:a(x-1)(y+5)=0,l过定点N(1,-5kAB=kMN.

18、x-122又y1=(x1+1),(1)V2=也+1),22即y(yiy2)+3x(x1x2)=0,yi-y即112x1x23xk=y_=3x-x2:它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为xy=0(-5.3:x:-22(1)-(2弼:5-y=(Xi+1)2+1)=(x-X2X、+X2+2),kAB=y1-y2=XiX22.X1-X2一iV5r 一2于是=2X+2,IPV=2X-7.X-1;弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为V=2x2-7(在已知抛物线内).3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为F(0,d50)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的1横

19、坐标为1,求椭圆的方程。222解：设椭圆的方程为4+之=1,则a2-b2=50-一ab设弦端点P(X1，y1)、Q(X27y2)弦PQ的中点M(Xo,Vo)5则11_/八xo=2,y0=3xo2=1,X1X2=2xo=1,y1+y2=2y0=12222又*+、=1,与+与=12222abab两式相减得b2(y1y2)(y1-y2)a2(x1x2)(x1-x2)=0即一b2(y1y2)a2(x1x2)=022V1、2_a_a_,2,2x1-x2bb联立解得a2=75,b2=2522_(，、一yx二所求椭圆的方程是,十=17525例 3 已知MBC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，其中A(2,8

20、),且MBC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得G(8,0).设BC的中点为M(x0,y0),则A、G、M三点共X=11y0-设B(K,y1)C(X2,y2),则yI+y2=8.BC所在直线方程为y+4=-4(x-11),即4x+y4022例 4 已知椭圆今+3r=1(abA0)的一条准线方程是x=1,有一条倾斜角为ab11直线交椭圆于AB两点，若AB的中点为C-1,1I,2,42y+勺=1,(2)b21-，一一,所求椭圆方程为4线，且AG=2GM，-G分TM所成比为2,于22x01282y012又y12=32x1,(1)y22=32x2,(2)22(1)(2向：y1

21、_y2=32(x1x?)，二kBCy1-y232:4.-80.,求椭圆方程.B(x2,y2),则x1+x2,1=T,y1丫2二二22x1-2a2+-yL=1.2b2义2a(1)-(2四2x12一x222y一、2b2,2y1-y2bx1x2x1-x2a2y1y2-112y1-y2-x22b22a22b,(3)2,.a=c,(4)而a222=b+c,(5)由(3),(4),(5)可得 a21.22b(1)-(2碍:22xi-x222yi-y24.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例 6、已知椭圆勺+匕=1,试确定的m取值范围，使得对于直线y=4x+m,椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。解：

22、设Pi(xi，yi),P2(X2,y2)为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P(x,y)为弦RP?的中点，则3x12+4y；=12,3x22+4y22=122222、两式相减得，3(xi-x2)4(yi-丫2)=0即3(xix2)(xi-x2)4(yiy2)(yi一y2)=0y-y2i;x1+x2=2x,y+y2=2y,=x-x24，y=3x这就是弦RB中点P轨迹方程。它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内联立，得;my=4x+mj=_3m39即(3m)3-m,解得45.5.求直线的斜率x2y29一例 5 已知椭圆十，=1上不同的三点Axi,yi,B.4,-,Cx2,y2与焦点259.5F

23、(4,0)的距离成等差数列.(1)求证：为+x2=8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.(1)证略.(2)解；xi+x2=8,.设线段AC的中点为D(4,yo又A、C在椭圆上，.十江=1,(1)x2-十七一=1,(2)2592593c则必须满足y23-x2,42.13213:m1313y1_y29XX29836=-=-=-X1-X225yiy2i252y025y0一，25y025y0二直线DT的斜率kDT=，二直线DT的方程为yy0=-(x-436369-0，二直线BT的斜率k=-5/644一256 6 . .确定参数的范围例 6 若抛物线C:y2=x上存在不同

24、的两点关于直线l:y=m(x-3)对称，求实数m的取值范围解当m=0时，显然满足当m0时，设抛物线C上关于直线l:y=m(x-3)对称的两点分别为22P(x1，yi卜Q(x2,y2),且PQ的中点为M(x,y),则y=x1，(i)y?=x?,(2)22,y-V21(1)(2X导：y1-y2=x1x2,，kpQ=x-x2y1y2p1m又kpQ=yO-m2;中点M(x0,y0底直线l:y=m(x3)上，y0=m(x0-3),于中点在抛物线y2=x 区域内2fm25M/.y0 x0,即叫-,解得一屈m0)上一定点 P(Xo,yo)(y0线于A(X1,y1),B(X2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标

25、为p-的点到其焦点 F 的距离；0),作两条直线分别交抛物(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y*%的值，并证明直线AB的斜yokAB=y2.y12y2-y1y2y1.y1-yokPA=22y1-yoy1-,kPByoV2-yoV2-yoy2yoy1yoy2yo，则y1+y2=-2yo则：kAB=(1)(2)由直线 X+y=t 与 X 轴的交点(t,。)在准线右边，得故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点 A（xi,yi）,点 B（X2,y2）QOA_OB.koAkoB=-1【同步练习】1、已知：Fi,F2是双曲线 4=1 的左、右焦点，过 Fi作直线交双曲线左支于点ab

26、A、B,若AB=m,4ABF2的周长为（）A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点 P 到点 F（4,0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是（）A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且ABAC,点 B、C的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,则顶点 A 的轨迹方程是（）A、=12xB、一42y=1（x0）322xyC、二1（x:二0）432_xD、一46、抛物线 y=2x2截一组余率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线 y2=2x 的弦

27、AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k=2210、设点 P 是椭圆+=1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求 sin/FPF2的259最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2,1),AB=4/3,求直线 l 的方程和椭圆方程。A、B、C、Do 求证：AB=CD。4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,

28、0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是A、（x-1）2+y2=9（x#1）-2，1、29,八C、x（y-）=（x:一1）/1229/B、（x万）y=（x=一1）一2,1、29,、D、x（y-）=%（x=一1）5、x2已知双曲线92=1上一点16M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是12、已知直线 l 和双曲线222,2ab=1(a0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为参考答案1、CAF2-AF1I=2a,BF2-BF1|=2a,AF2|+|BF2AB=4a,AF2|+|BF2+|AB|=4a+2m,选 C2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=

29、8 开口向右，则方程为 y2=16x,选 C3、D.AB+AC|=2父2,且AB|AC,点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、.(x-1)2+y24，由，得 xw-1,选 Ay2=2x2，y1-y2=2(x1-x2)C 三点不共线，即 yw0,故选 Do4、A设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4得1+J(2x1)2+(2y)2=4,(x-1)2+y2又c)设弦为AB,A(XI,y1)，B(x2,y2)AB2中点为(x,y),则 y1=2x1,Vl_V21_1.21,、=2(x1+x2)2=2-2x,x=将x=代入v=2x得y=,轨迹x1

30、-x2222、11方程x(y)227、y2=x+2(x2)2222y1-y2小=2x1，y2=2x2,y-y2=2(x1一x2),(y1yz)=2x1-x2kAB=kMPy,y2y=2,即 y2=x+2x2x2又弦中点在已知抛物线内 P,即 y22x,即 x+228、4a2=b2=4,c2=8,c=2j5,令x=2后代入方程得 8-y2=4.y2=4,y=2,弦长为 49、2或1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0Jk2#0,oLo得 4k2+8(1-k2)=0,k=V212=0 得卜=1&=010、解：a2=25,b2=

31、9,c2=16设 F1、F2为左、右焦点，则 F1(-4,0)F2(4,0)设PF1=1,PF2|=r2,弟则，1+2=2日r12+r22-2r1r2cos日=(2c)22-得 2 门 r2(1+cos0)=4b24b22b21+cos0=2r1r2r1r21+cos0 的最小值为空一，即 1+cos0 之18a2257-7.：一cose 之一,0WBEnarccos则当日=一时，sin。取值得取大值 1,25252即 sin/F1PF2的最大值为 1。22xy11、设椭圆方程为 T.七二1(ab0)ab列,设 A(x，y1),B(x2,V2),AB 中点 M(x,y),则.1+2之212,r

32、1r2的最大值为 a22由题意：C、2C、l+c 成等差数c2222-得Xl+y1T=0._+与卜=0即三+k=0k=12bb2bb2代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0,11;5trAB=x1-x2/3322解得 b2=12,椭圆方程为+=1,直线 l 方程为 x-y+3=024122x02y0-得1-Ta2b2B(x1：y1),C(x21y2),BC中点为M(x0,y0),成立若 I 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与M重合AB=CD四、弦长公式法若直线l:y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2)则2a22.4

33、c=c+c即a=2c,c.a2=2(a2-b2),.,.a2=2b222椭圆方程为-x 方十与=1,设 A(x1，yi),B(X2,Y2)2b2b22Xi2b2x22b2=1直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3,-3x2+l2x+18-2b2=0,12、证明：设 A(x1,y1)，D(x2,y2),AD中点为 M（x。，y。）直线 I 的斜率为 k,则2-y_=1ab221212x%TTab1212x2y2,2ab=00-得2x；C12y02,2ab由、知 M、M均在直线|：乌乌a2b2若 I 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立k=0上，而M、M又在直线I上，若 I 与 x

34、 轴垂直，则由对称性知命题弦长AB=,(%-X2)2(yi-y2)2=(K一x2)2kx1b-(kxb)2=W1+kIx1x2=v-1+k2(x1+x2)2-4x1x2同理：1ABi=1：-21y2-y1|.(y2y1)-4y2y1k特殊的，在如果直线 AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为4,则j1+k2E,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。例求直线被椭圆所截得白线段 AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义

35、都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2例题1:已知直线y=x+1与双曲线C:x2-=1交于 A、B 两点，求 AB 的弦长4解：设A(x1,y1),B(x2,y2)y=x12222由12得4x(x+1)4=0得3x2x5=0 x2-=14x1+x2-则有35x1x2二一一3AB中，X1+X2)2-4X1X2HY=|Jx21练习1:已知椭圆方程为+y=1与直线方程l：y=x+相交于AB两点，求AB的22弦长练习2:设抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得的弦长AB长为3、5,求m的值得,分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长解：设A(x1,y1),B(

36、x2,y2)1+2得6x2+4x-3=02:312/、结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点 T 联立方程 T 消元 T 韦达定理 T 弦长公式y=x联立方程22x1x2二AB =1k2、(x1x2)2-4x1x2=&(-2)2-4x(-1)=:322.11解：设A(x1,y1),B(X2,y2)v=4xcc得4x+(4m4)x+m=0y=2x+mXiX1x2x2=1-m2m丁AB=1k2%(x1x2)2-4x1x2=5.(1-m)2-m2=35例题2：已知抛物线y=-x2AB分析：A、B 两点关于直线x+y.m-4+3上存在

37、关于直线x+y=0对称相异的两点 A、B,求弦长=0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为-1且AB的中点在已知直线上解：丫A、B关于l:x+y=0对称kAB=1kikAB-1ki-1设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)化简得x2xb-3-0J=xx1x2-111，,AB中点M(-,十b)在直线x+y=0上22.x2x-2=0 x1x2=-1-2AB=1k2MAx2)2-4x1x22、(-1)28=3、，2过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为口的直线交抛物线于 A,B 两点，且AB【典型例题】五、数形结合法例 1：已知 P(a,b)是直线 x+2y-l=0 上任

38、一点，求 S=、；a2+b2+4a6b+13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式,解：S=f(a+2)2+(b3)2设 Q(-2,3),则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离.Q|-223-1|35,Smin-二后，它是一个一元二次函数)例 2:已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上一动点，求义的最值。解：设O(0,0),则Y表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时,x再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。作业:(1)(2)已知椭圆方程+y2=1及点B(0,-2),过左焦点FI与B的直线交椭圆于C、D两点,F2为椭圆的右焦

39、点，求ACDF2的面积。点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注：可令根式内为t 消元得最值，设最值为 k,则切线:y=kx,即 kx-y=0圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心(3,2)到直线 kx-y=0 的距离为 1 得|3k-2|3.3xminmax例 3:ax+y+2=0 平分双曲线169=1的斜率为 1 的弦，求 a 的取值范围.分析:由题意, 直线 l 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹,=1,解：设 A（xi,yi）,B（x2,y2）是双曲线上的点，且 AB 的斜率为 1,AB 的中点为 M（x0,y0）2L=1169.点

40、M 的轨迹方程为 9x-16y=0（x-点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦 AB 中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0）,而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点 GD）的属性（斜率）说明所求变量 a 的取值范围。六、参数法例 4（k 参数）：过 y2=x 上一点 A（4,2）作倾斜角互补的两条直线 ARAC 交抛物线于BC 两点。求证：直线 BC 的斜率是定值。分析：（1）点 A 为定点，点BC 为动点，因直线 ARAC 的倾斜角互补，所以 kAB与 kAC则:222x1y1I16922x2y2169一22-得x1X21622

41、yi-y29=0即包一比1=0169即 M（X）,y0）在直线9x-16y=0 上。由 f9x-16y=0116得 C里77-2-9kPD=L016-79-2,716-297c16.792.716由图知，当动直线92J79、(99+2百,l 的斜率 kC927I927时，l 过斜率为 1 的弦 AB1616/11616的中点 M,而 k=-a.a 的取值范围为：92、71691627-916点评：解法 i 运算量较大，但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变相反，故可用“k 参数”法，设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程，将 AB 的方程与抛物线方程联立，因 A 为已

42、知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B 坐标，同理可得点 C 坐标，再求 BC 斜率。(2)因点 B、 C在抛物线上移动， 也可用“点参数”法， 设 B(xi,y1),C(x2,y2),因 xi=yi2,x2=y22,即可设 B(yi2,y1),C(y22,y2)。再考虑 kAB=-kAC得参数 yi,y2的关系。解法 i:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-kAB:y-2=k(x-4),与 y2=x 联立得：y-2=k(y2-4),即 ky2-y-4k+2=0.y=2 是此方程的一解,22i-4k4k2xB=yB=2i2ki-2k.kBC=k3k2=-为定值14k4ki-

43、4k4k4kk解法 2：设 B(yi2,yi),C(y22,y2),则由题意，kAE=-kAC,11一，=，贝Uy1+y2=-4yi2y22y则：kBA1为定值。42yB4k2ki-2kk.Bi4k+4k2k2i-2kkkAc=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C14k4k2ki2k一y2-yiBC=22y2-yi1y2yikAB=yi-2yiy2-22-V2-4化，最终求出 BC 的斜率为定值；解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点，形成含两个参数 yi,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。例 5（角参数）：在圆 x2+y2=4 上，有一定点 A（2,0）和两动点 B,C（A

44、,针排列），当 B,C 两点保持/BAC=1 时，求ABC 的重心的轨迹。3分析：圆周角/BAC=|可转化为圆心角/BOC，选用“角参数”，“一2二2令 B(2cos0,2sin0)则 C(2cos(0+一),2sin(0+一)则重心可用 0 表示出来。.一.二2二解：连 OBOC/BAC,./BOCJ一4二一2二2二设 B(2cos0,2sin0)(000）有公共a点时 a 的取值范围分析：将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解，用判别式 40 可求得 a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点 P（用参数形式），代入直线B,C 按逆时y=即:x=1-02sin12

45、sin(u|1cos。-)3._x-1=cos()23JI2二、1s1nL3)， 二5二、+（一，）333(3x-1)2+(3y)2=1。222224即(x-一)y(x:3 9,1(x0,a之空44a21633解法二：设有公共点为 P,因公共点 P 在椭圆上，利用椭圆方程设 P（acos 中，sin 中）再代入直线方程得 3acos:-4sin 二+10=04sin-3acos：=10。4sin.：3acosq：10.9a2-169a2169a216令 sin3a,9a2164cos=9a216一10则 sin(中-a)=,9a216由sin(中-)当(a0)3221a3点评：解法 1,2 给

46、出了两种不同的条件代入顺序，其解法 1 的思路清晰，是常用方法,但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法 2 先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技22巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线 l:Ax+By+C=0 与椭圆与+乌=1 有公共点，a2b2求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点 P,利用椭圆，设 P（acos 中,bsin 中）代入直线方程得 Aacos 中+Bbsin 中=-C。-C2222AaBb1时上式有解。C2Aa2+Bb2因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。八、充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减

47、少计算。典型例题求经过两已知圆交点，且圆心在直线上的圆的方程。解：设所求圆的方程为:其圆心为 C()又 C 在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面(1)(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点及求线段的中点 P 的轨迹方程。分析：设，代入方程得，。两式相减得O又设中点 P(x,y),将，代入，当时得代入得

48、。当弦斜率不存在时，其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。(2)(2)焦点三角形问题sin(:工T)e=77;sin工,sin-(2)求的最值。分析：(1)设，由正弦定理得得，_c_sinJ+B)asinsin：33322(2)(a+ex)+(aex)=2a+6aex。椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点,(1)求证离心率当 x=0 时，最小值是当 x=a 时，最大值是。(3)(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OALOB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。(1)证明：抛物线的准线为由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边，得故直线与抛物线总有两个交点。(