线性离散系统的稳定性和稳态误差

1、 7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7-2 7-2 信号的采样及保持信号的采样及保持 7-3 Z 7-3 Z变换理论变换理论 7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差7-6 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析7-7 7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差1 离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件2 离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据3 采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性

2、的影响4 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差5 离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数 定义定义: 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。的，则称该离散系统是稳定的。线性定常离散系统稳定的充分必要条件：线性定常离散系统稳定的充分必要条件：时域中稳定的充要条件（差分方程）时域中稳定的充要条件（差分方程）Z Z域中稳定的充要条件（脉冲传递函数）域中稳定的充要条件（脉冲传递函数）1 、离散系统稳定的充分必要条件、离散系统稳定的充分必要条件（1）时域中离散系统稳定的充要条件）时域中离散系统稳定

3、的充要条件101110()0llll nlnnnAAa Aa AAaa 设通解为，待入齐次方程得：0111100nnnnnaaaa整理得差分方程的特征方程：即：111n,( )nllnnc kAA设有 个不同的特征根则差分方程的通解：1( )()0niic kac ki齐次差分方程：1lim ( )0ikc k当，有1,i系统稳定的充要条件为：当且仅当差分方程所有特征根的模则系统是稳定的。( )1( )0D zGH z 典型离散系统的特征方程：1nzz设特征方程的根为各不相同 ， ， 。sz由 域到 域的映射关系：sz左半平面映射为 平面上的单位圆内的区域；对应稳定区域；sz右半平面映射为 平

4、面上的单位圆外的区域；对应不稳定区域；sz平面上的虚轴，映射为 平面上的单位圆周；对应临界稳定。zz11 ,iz 在 域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 平面的单位圆内，或者所有特征根的模均小于 ，即（） 则相应的线性定常离散系统是稳定的。（2）z域中离散系统稳定的充要条件域中离散系统稳定的充要条件(0)0,1lim ( )01ncac na 系统稳定的充要条件解：给定系统相应的奇次方程为解：给定系统相应的奇次方程为1(1)(0)nc nac利用迭代法，可求出通解(1)( )0c nac n(1)( )( ),(0)0c nac nbr nc例例

5、7-26:设一离散系统可用下列差分方程描述：设一离散系统可用下列差分方程描述：试分析系统稳定性的充分必要条件。试分析系统稳定性的充分必要条件。1110(1)1( )10(1)()ezG zzze 闭环特征方程( )10/ (1),( )1,1,G ss sH sT例7-27:设离散系统如图所示，其中试分析系统的稳定性。1110(1)( )(1)()ezG zzze系统开环脉冲传递函数为24.9520.3680zz( )r t*( )et*( )ct( )c tT)( sG)( sH*( )()rt Rz( )e t( )E z()Cz120.076,4.876zz iz1， 不稳定。（1）w变

6、换与劳思稳定判据变换与劳思稳定判据双线性变换法双线性变换法11wwz11zwz则，Z和和W均为复变均为复变量量jyxzjvuw222222) 1(2) 1(1)(yxyjyxyxjvuw讨论：讨论：（1）W平面的虚轴平面的虚轴0) 1(1)(2222yxyxu01)(22 yx对应于对应于Z平平面单位圆面单位圆3、离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性判据（2）W平面的左半平面平面的左半平面0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yx（3）W平面的左半平面平面的左半平面0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yxW平面平面Z平面平面 结论结论由特征方程由特征方程1+GH(z)=0所

7、有根都在单位圆内转换为特征方所有根都在单位圆内转换为特征方程程1+GH(w)0所有根都在左所有根都在左w平面。平面。根据根据w域，可直接应用劳思判据判断离散系统的稳定性。域，可直接应用劳思判据判断离散系统的稳定性。22210( )( )1( )( )(0.6321.368)0.368010.6321.26(2.7360.632)010.6322.7360.6321.26402.7360.6320K04.33G zzG zG zzKzwzwwKwRauthwKKwwKK闭环脉冲传递函数为:闭环特征方程为:1+=令待入，整理得：列出表，为保证系统稳定，劳思表第一列大于零则得系统稳定 的取值为例例8

8、12 设控制系统如下图所示设控制系统如下图所示)4()(1ssKsG)(sR)(*sE)(sCT)(sG其中其中,采样周期为采样周期为sT25. 0求能使系统稳定的求能使系统稳定的K1取值范围。取值范围。114114411( )( )(4)4414141TTTKKG zZ G sZZs sssezKKzzzzezze( )( )( )1( )C zG zR zG z4411( )114TTKG zzzeez0111411111111wweKewwww0158. 0736. 2264. 1158. 0121KwwK101112158. 0736. 20264. 1158. 0736. 2158.

9、 0KwwKKw3 .1701 K11158. 0736. 20158. 0KK4 、采样周期与开环增益对稳定性的影响、采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期和开环增益对系统的影响：（1）T一定，K越大，离散系统的稳定性越差。甚至不稳定。（2）K一定，T越长，离散系统的稳定性和动态性均越差，甚至不稳定。5、离散系统的稳态误差、离散系统的稳态误差)(1)()1 (lim)()1 (lim)(lim)(z)(11)()()(11*zGzRzzEzteezGzRzEzttte变换终值定理：系统误差传递函数：前提：极点全部位于前提：极点全部位于z平面的单位圆内容，即离散系统稳定。平面的单位圆内容，即

10、离散系统稳定。6、离散系统的型别与静态误差系数、离散系统的型别与静态误差系数( )z1G z离散系统中开环脉冲传递函数具有的极点数为系统类别号。0III相应的称为 型， 型， 型离散系统。0z1Tszes对应( )0G ss连续系统中开环传递函数具有的极点数为系统类别号；11(1) ( )1( )limlim1( )1( )zzzR zezG zG z 1)()( 1)(zzzRttr11lim1( )( )PzPKG zeK 当采样系统为当采样系统为型系统时型系统时)(1 (lim1zGKzP当采样系统为当采样系统为型系统时型系统时)(1 (lim1zGKzP结论：结论：0型离散系统在采样瞬

11、间存在位置误差；型离散系统在采样瞬间存在位置误差；I型以上的离散系统在采样瞬间无位置误差型以上的离散系统在采样瞬间无位置误差(1)单位阶跃输入时的位置误差系数和稳态误差静态位静态位置误差置误差系数系数11( )limlim(1) 1( )(1) ( )zzTTezG zzG z 2( )( )(1)Tzr ttR zz1lim(1) ( )( )vzvTKzG zeK (2)单位速度输入时的速度误差系数和稳态误差结论：结论：0 0型离散系统在采样瞬间存在无穷大速度误差；故型离散系统在采样瞬间存在无穷大速度误差；故0 0型系统不能承受单位斜型系统不能承受单位斜坡作用；坡作用；I I型系统在采样瞬间存在速度误差；型系统在采样瞬间存在速度误差；IIII型以上系统在单位斜坡作用下无速度误差。型以上系统在单位斜坡作用下无速度误差。静态速度静态速度误差系数误差系数222211(1)( )limlim2(1) 1( )(1)( )zzTzTezG zzG z 223(1)( )/2( )2(1)T z zr ttR zz221lim