二次曲线直径

1、22111222132333( , )2220F x ya xa xya ya xa ya(1)（2）的交点的交点. 00,xxXtyyYt210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y与过点与过点 且具有方向且具有方向 的直线的直线00( ,)x y:X Y5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径1. 二次曲线的直径二次曲线的直径 在在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点向时，这

2、条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的这两点决定了二次曲线的一条弦一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹. 求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即即 ，解解0),(YX而而 是平行于方向是平行于方向 的弦的中点，的弦的中点，00(,)xy:X YYX :设设 是二次曲线的一个非渐近方向，是二次曲线的一个非渐近方向，:X Y那么过那么过 的弦的方程为的弦的方程为00( ,)x y00,.xxXtyyYt它与二次曲线它与

3、二次曲线 的两交点的两交点(即弦的两端点即弦的两端点)由下列二次方程由下列二次方程( , )0F x y 210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)从而有从而有12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)两根两根 与与 所决定所决定,因为因为 为弦的中点，所以有为弦的中点，所以有1t2t00( ,)x y120,tt100200(,)(,)0.XF xyYF xy这就是说平行于方向这就是说平行于方向 的弦的中点的弦的中点 的的坐标满足方程坐标满足方程,X Y00(,)xy即即111213122223()()

4、0,X a xa yaY a xa ya(5.4-2)或或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则则一条直线一条直线.(5.4-3)所以所以(5.4-3)或或(5.4-1)是一个二元一次方程，它是是一个二元一次方程，它是反过来，反过来，111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y111212220a Xa Ya Xa Y2211122211121222( , )2()()0,X Ya Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y Y这与这与 是非渐近方向的假设矛盾，是非渐近方向的假设矛盾，:X Y12( , )(

5、 , )0,XF x yYFx y(5.4-1)定理定理 5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线轨迹是一条直线.),(00yx如果点如果点满足方程满足方程(5.4-1)100200(,)(,)0,XF xyYF xy(5.4-1)那么方程那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，中将有绝对值相等而符号相反的两个根，210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)点点 就是具有方向就是具有方向 的弦的中点，的弦的中点，),(00yxYX,YX,因此方程因此方程(5.4-1)为一族平行于某一非

6、渐近方向为一族平行于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹方程的弦的中点轨迹方程.得到了结论定理！得到了结论定理！下面引进二次曲线直径的概念下面引进二次曲线直径的概念定义定义 5.4.1 二次曲线的平行弦中点的轨迹二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径平行弦方向的直径.（5.4-4）有多少条直径有多少条直径?12( , )( , )0.F x ykF x y推论推论 如果二次曲线的一族平行弦的斜率为如果二次曲线的一族平行弦的

7、斜率为 ，那，那么共轭于这族平行弦的直径方程是么共轭于这族平行弦的直径方程是k中心与非中心二次曲线的直径中心与非中心二次曲线的直径1. 中心二次曲线中心二次曲线中心满足中心满足:(2)(3)直径方程直径方程:12( , )( , )0,XF x yYFx y所以所以, 直径过中心直径过中心.所有直径都过中心所有直径都过中心1111213( , )0,F x ya x a y a2112223( , )0,F x ya x a y a111213122223()() 0,X a x a y aY a x a y a1. 非中心二次曲线非中心二次曲线非中心二次曲线满足非中心二次曲线满足(2)(3)

8、又分两种情形又分两种情形或或无心曲线：无心曲线：直径平行渐近方向直径平行渐近方向因直径方程因直径方程:12( , )( , )0,XF x yYF x y111213122223aaaaaa111213122223aaaaaa1111213( , )0,F x ya x a ya2112223( , )0,F x ya x a y a111213122223aaaaaa111212221323()()0.a X a Y xa X a Y y a X a Y方向矢量方向矢量12221112(): ()a Xa Ya Xa Y11121222aakaa22221212(): ()ka Xa Yka

9、 Xa Y2212:aa容易验证容易验证2212:aa是渐近方向是渐近方向;因为此时：因为此时：22111222( , )20X Ya Xa XYa Y线心曲线：线心曲线：直径就是其中心直线直径就是其中心直线可以化为可以化为因为直径方程因为直径方程131112122223aaakaaa111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y y a Xa Y111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12( , )( , )0,XF x yYF x y或或定理定理 5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直

10、径平行于曲线的渐近方向中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线就是曲线的中心直线.12( , )( , )0,XF x yYFx y1111213( ,)0,Fx ya xaya11121222aaaa 因此当因此当 ，即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；中心就是二次曲线的中心； 当当 ，即，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；1112131

11、22223aaaaaa0),(2322122ayaxayxF例例 1 求椭圆或双曲线求椭圆或双曲线 的直径的直径.解解12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)显然，直径通过曲线的中心显然，直径通过曲线的中心22221xyab2222( , )10,xyF x yab 12( , ),xF x ya22( , ).yF x yb 220,XYxyab根据根据(5.4-1),共轭于非渐近方向共轭于非渐近方向 的直径方程是的直径方程是:X Y(0,0)例例 2 解解求抛物线求抛物线 的直径的直径.pxy22, 02),(2ypxyxF,),(1pyxF.),(2yyxF所以

12、共轭于非渐近方向所以共轭于非渐近方向 的直径为的直径为YX :, 0YyXp即即, pYXy 所以抛物线所以抛物线 的直径平行于它的渐近方向的直径平行于它的渐近方向pxy22. 0:112( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)解解直径方程为直径方程为即即例例 3 求二次曲线求二次曲线的共轭于非渐近方向的共轭于非渐近方向 的直径的直径.:X Y1( , )1,F x yxy 2( , )1,F x yxy (1)(1) 0,X x yY x y ()(1)0.XYxy因为已知曲线因为已知曲线 的渐近方向为的渐近方向为0),(yxF:1:1,X Y 所以对于非渐近方向所以对

13、于非渐近方向 一定有一定有 YX :,XY03222),(22yxyxyxyxF2. 共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径所以有所以有其中其中(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y 我们把二次曲线的与非渐近方向我们把二次曲线的与非渐近方向 共轭的直径方向共轭的直径方向:X YYX :叫做非渐近方向叫做非渐近方向 的共轭方向，的共轭方向，:X Y1222() ,Xa Xa Y t1112() ,Ya Xa Y t0t 10,xy因此曲线的共轭于非渐近方向因此曲线的共轭于非渐近方向 的直径为的直径为:X Y因此有因此有所以所以另外又有另外又有 ，0t因此得以下结论因此得以下

14、结论2 211122212122222 21112221112(,)()2()()()X Yaa Xa Y taa Xa Ya Xa Y taa Xa Y t222211 2212111222()(2)a aaa Xa XYa Y t22(,)IX Y t(, )0,X YYX :因为因为 为非渐近方向，为非渐近方向，:X Y这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.(5.4-5)非渐近非渐近方向方向当当 即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中

15、心曲线时， ；20I (,)0X Y当当 即二次曲线为非中心曲线时，即二次曲线为非中心曲线时， 20I (,)0.X Y111222()0.a XXaXYX Ya YY从从(5.4-5)式看出，两个方向式看出，两个方向 与与 是对称是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向的，因此对中心曲线来说，非渐近方向 的共的共轭方向为轭方向为 ，而，而 的共轭方向就是的共轭方向就是:X Y:XY:XY:XY:X Y:X Y 由由(4)得二次曲线的非渐近方向得二次曲线的非渐近方向 与它的与它的共轭方向共轭方向 之间的关系之间的关系YX :YX(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y22

16、(,)IX Y t),(YX 中心曲线的一对具有相互共轭方向中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径的直径叫做一对共轭直径.定义定义 5.4.2设设代入代入(5.4-5)，得，得(5.4-6)这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式.111222()0.a XXaXYXYa YY,YkX,YkX221211()0,a kkakka(5.4-5), 01122akkb即即.22abkk(5.4-7)有着关系有着关系12222byaxkk例如椭圆例如椭圆的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率与与, 0)(111222akkakka而双曲线而双曲线 的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率 与与 有着关系有着关系22221xyabkk.22abkk (5.4-8)在在(5.4-5)中，如果设中，如果设那么有那么有