第11章.耦合电感及理想变压器

1、第十一章 耦合电感和理想变压器 11.1 耦合电感元件耦合电感元件 11.2 含耦合电感正弦稳态电路的分析含耦合电感正弦稳态电路的分析 11.3 空芯变压器空芯变压器 11.4 理想变压器理想变压器 11.5 铁芯变压器的模型铁芯变压器的模型 11.6 例题例题一一. . 互感和互感压降121211111,iMiL212122222,iMiL11、 22为自感磁通链，21、 12为互感磁通链。i1i211122221u1u221L1、L2分别为线圈1和线圈2的自感，M21、 M12为耦合电感的互感。可以证明M21M12M。 第1个线圈总的磁通链为 1 11 12L1 i1+M i2 第2个线圈

2、总的磁通链为 2 22 21 L2 i2+M i111.1 耦合电感元件下 页上 页返 回若取各线圈电压与电流为关联参考方向，则：dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222自感压降互感压降二. 互感压降的正负号1 11 12L1 i1M i22 22 21 L2 i2M i1dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222i1i211122221u1u221下 页上 页返 回 若取u1与 i1及u2与 i2为关联参考方向，则电压表达式中自感压降项为正号。若互感磁链与自感磁链是相互增强的，则互感压降与自感压降符号相同；若互感磁链与自感

3、磁链是相互削弱的，则互感压降与自感压降符号相反。i1u1u2i2dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222下 页上 页返 回三. 线圈的同名端根据线圈的同名端及电流和电压的参考方向可确定自感压降及互感压降前的正负号：若某电压参考方向的正端与某电流参考方向的流入端为同名端，则该电流在该电压中产生的自感（互感）压降前为正号，否则为负号。任选线圈1的一端和线圈2的一端，假设电流分别从这两端流进，若产生的磁链是相互增强的，则所选两端为同名端，否则为异名端。同名端可用 、 等符号标记。31241234下 页上 页返 回dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222L1L2

4、M+-u2+-u1i1i1i2例1：下 页上 页返 回L1L2M+-u2+-u1i1i1i2例2：右图电路中,已知L14H, L23H，M2H ，求以下3种情况的 u2 。)(0,)(5)1(241AiAeit)(3,)(0)2(421AeiAit)(3,)(5)3(4241AeiAeitt)(40)1(412VedtdiMut)(36)2(4222VedtdiLutdtdiLdtdiMu2212)3()(43640444Veeettt解：下 页上 页返 回i111211222i221LLMk 定义耦合系数：可以证明 k 1 。证：221121122221111212122122)()()()

5、(iiiiLLMk122112112222111221112NNNN证毕。k = 1 称为全耦合 。四. 耦合系数下 页上 页返 回一. 耦合电感的串联MLLL221等效电感：顺接串联：L1L2MLu1u2uiui左边电路的VAR：证：21uuu)()(21dtdiMdtdiLdtdiMdtdiLdtdiMLL)2(21dtdiLu 右边电路的VAR：证毕。11.2 含耦合电感正弦稳态电路的分析下 页上 页返 回MLLL221等效电感：反接串联：LL1L2M4K+-F210H6H3Husi例：电路如图，已知)(100cos1002Vtus求 i 。下 页上 页返 回HL1032610解：Kjj

6、Lj110100KjjCj5)102100(116)(454244514oKKjKKjKjKZ)(455 .122)4542(100mAKZUIoos)( )45100cos(25Atio下 页上 页返 回二. 耦合电感的并联同侧并联：同侧并联：L1L2M+-ui1i2iLdtdiMdtdiLu211dtdiMdtdiLu122解得：ULLMMjLjIULLMMjLjI21222122122221,正弦稳态电路中，有211IMjILjU122IMjILjU下 页上 页返 回ULLMMjLjLjIII2122221212MLLMLLjIUZ221221等效电感：MLLMLLL221221异侧并联

7、：等效电感：MLLMLLL221221LL1L2M下 页上 页返 回三三. 一端相连耦合电感的去耦法一端相连耦合电感的去耦法同侧相联：L1L2Mi1i1i2i3123dtdiMdtdiLu21113dtdiMdtdiLu12223132iii231iii将及代入上两式，得：dtdiMdtdiMLu32223)(dtdiMdtdiMLu31113)(L1-MMi1i1i2i3123L2-M根据上两式得等效去耦电路下 页上 页返 回四四. 直接分析法直接分析法异侧相联：L1L2M123L1+M-M123L2+M含耦合电感的电路也可不经去耦，直接列方程或用戴维南定理等方法求解。求解过程中注意不要漏掉

8、互感压降。例1. 求图示电路的321,III。1IL1L2L3RM23M12*3I2I1U3U4U2U12+-SU解法1：直接用网孔法SUUU21)1(0)2(432UUUKVL方程下 页上 页返 回解法2：先去耦，再列网孔方程)(2112111mmmIIMjILjU元件VAR：2231122122)(mmmmIMjIMjIILjU)(2123233mmmIIMjILjU将元件VAR代入KVL方程中，得网孔电流方程：SmmUIMMLjIMLLj22312211221)()2(0)2()(22332123122mmIMLLjRIMMLj原电路去耦后，可得右图所示电路，该电路中无耦合电感，可容易地

9、列出网孔电流方程。1IL1-M12+M23R3I2I12+-SUL3+M12-M23L2-M12-M23下 页上 页返 回例2：求图示电路的戴维南等效电路。o010j2j431j4+-abo010j2j431j4+-abOCU0I1I10)14(1Ij1740171014101jjI1021IjUOC25.115jo76.405.15解：求开路电压OCU下 页上 页返 回j2j431j4abUI1I求等效阻抗Zo1421jIjI1243IjIjIU012411IIjIj)41(2(243jIjjIjIUIjIIjI)1716()174(43Ij)06.324.3()(06.324.3jIUZo

10、+-OCUZoab原电路等效为下 页上 页返 回 空芯变压器是指无铁芯变压器，它的耦合系数一般较小。11.3 空芯变压器一、电路模型 空芯变压器可用耦合电感作为其模型，其电路模型如右图：接电源边称为初级绕组（又称为原边）接负载边称为次级绕组（又称为副边）R1、L1原边电阻和自感R2、L2副边电阻和自感 M 互感系数ZL=RL+jZL 为负载阻抗M-SU+R1R2ZL1I2I1L2L下 页上 页返 回二、分析 含空芯变压器的电路与一般含互感的电路分析无甚两样，这里用回路法求解。02221211IZLjRIMjUIMjILjRLS解得：SLSLLUMZLjRLjRMjIUMZLjRLjRZLjRI

11、2222112222211221下 页上 页返 回若电路中同名端的位置改变，则方程中M前应加负号。1I和2I表达式可见1I与同名端的位置无关，但 将随同名端位置不同而相位改变2I180 。（电子线路中有时对输出电流相位有要求，这时应注意线圈的接法）三、原边等效电路有时只需计算原边电流，这时可采用原边等效电路。下 页上 页返 回电源端看进去的输入阻抗为：(由前分析易得出)LsiZLjRMLjRIUZ2222111LZLjRZ2222令222211ZMLjRZi则2222ZM-SU+jL1R1可得原边等效电路为左图:副边对原边的影响通过阻抗 反映出来，故算 为副边回路对原边回路的反映阻抗。2222

12、ZM2222ZM下 页上 页返 回由于 222222222222222222LLLLLLLLZLRRZLMjZLRRRRMZLjRRM可知：若 ，则反映阻抗的实部恒为正值，说明反 映阻抗总是吸收平均功率的，这一平均功率正 是原边通过磁耦合传送给副边的功率。反映阻抗的虚部与副边电抗 的性质相反。 若副边回路电抗为容性，反映到原边则为感性， 反之亦然。由原边等效电路很易求出 ，求出 后再求 亦非常容易，由副边回路方程可得0LRLZL1I2I1I下 页上 页返 回2212212ZIMjZLjRIMjIL当然： 与同名端的位置由关。2I1I例：电路如图：用等效电路法求初级电流已知tUS10cos52

13、0.5H 0.2H1-SU+2i10.1H j5-SU+2i10.2j0.4解：原边等效电路相量模型如下图所示：下 页上 页返 回4 . 02 . 02112 . 01011 . 010222222jjjZM反映阻抗为：4 .6498. 06 . 42 . 2054 . 02 . 0521jjjUIS得4 .6410cos98. 021ti下 页上 页返 回6 . 31L06. 02L465. 0M 201R08. 02R 42LRtVUS314cos21151I例1：电路如图（a）所示，已知， ， ， ，正弦电压 。求初级电流 。-SU+i1 L1 L2abi2R1R2RLM(a)解：用反映

14、阻抗的概念求解本题。1111LjRZ1130206 . 331420jj06. 03148 .422222jLjRRZL1 .241 .4684.1808.42j下 页上 页返 回反映阻抗1 .241 .46465. 0314222222ZMZref1894221 .244 .462j请注意次级回路中的感性阻抗反映到初级回路为容性阻抗（x189）输入阻抗为18942211302011jjZZZrefab8 .641040941422j-SU+ j1130ab20422-j1891I(b)初级等效电路如图（b）所示。算得初级电流相量为mI8 .646 .1108 .64104001151下 页上

15、 页返 回例2 接续上例，求次级电流 。2I解：LLRLjRMRjII22122212ZIMjI1 .241 .468 .64106 .11090465. 031431 . 135. 0注意，这一结果是根据图（a）所示得同名端位置及电流的参考方向得出的。如果改变同名端的位置，其结果应为0.351A，即0.35181A。下 页上 页返 回2I例3 试用戴维南定理求解图（a）所示电路的次级电流 。-+ jL1 jL2abR1R2RLjM(c)cdocUoI-ocU+cdRL2I（d）Zo解：上例系在求得 后再利用（14-38）式求出 的。我们也可以用戴维南定理直接求得 ，请注意这两种方法的区别。1

16、I2I2I下 页上 页返 回LR 负载 断开后的相量模型如图（c）所示。由此可知oocIMjU而891130115113020011511jZUISom897 .101注意， 是次级回路断开时的初级电流相量，计算不考虑次级对初级的反映阻抗。由此算得oI897 .10190465. 0314oocIMjUV18 .14 下 页上 页返 回 在求戴维南等效电路的串联阻抗 时，可把电路中的电压源用短路代替，在断开处施加电源 ，再求cd端的输入阻抗即可。根据反映阻抗的概念 ，可知oZU112222ZMZZo112222LjRMLjR今84.1808. 022jLjR89113011302011jLjR

17、4221013. 2M下 页上 页返 回故得8911301013. 284.1808. 04jZo898 .1884.1808. 0j8 .1833. 084.1808. 0jj04. 041. 0j根据图（d）所示得等效次级电路，可得135. 04 .4218 .144241. 018 .142LoocRZUI下 页上 页返 回11.4 理想变压器一、 理想变压器的定义（VAR）理想变压器是人为定义的理想化的耦合元件。i1i2+-+-u1u21:n)()(12tuntu)()1()(12tinti其中 n 称为理想变压器的变比。注意： 以上定义式是在图示同名端位置和电流电压参考 方向下给出的

18、。 理想变压器不是电感或互感。它只有唯一参数 n 。 以上定义式在直流或交流电路中均成立。下 页上 页返 回二、 性质0)1(11112211inuniuiuiup总的瞬时功率为 理想变压器的VAR是代数方程，为无记忆元件。 理想变压器是无源元件、无损耗元件、非储能元件。变电压作用：)()(12tuntu)()1()(12tinti变电流作用：三、 理想变压器的变压、变流、变阻抗作用+-+-ZL1:n2U1U1I2I变阻抗作用：LiZnInnUIUZ222111正弦稳态电路中理想变压器可用作阻抗匹配。下 页上 页返 回例：电路如图，已知电源内阻RS=10，负载阻抗ZL=3K+j4K() ，求达

19、到阻抗匹配时的变比 n 。ZL1:n-SU+RS解：-SU+RSZL原电路LLZnZ)1(2KnKKn5)1 ()4()3()1 (2222LLZnZ)1 (2当SSLRZZ时达到阻抗匹配，有36.22500105Kn下 页上 页返 回四、含理想变压器电路的分析 回路法理想变压器的端电压 、 直接写入回路方程中，再将其元件方程补充进去联立求解。 节点法将电流 、 直接写入节点方程中，同时补充其元件方程联立求解。1u2u1i2i下 页上 页返 回例：求电流 、 。2I3I解：用回路法求解SLUUI11113I-+SU-+2U-+2U2I1I111:n012232UIILLSLLUII322112

20、UnU121LLInI下 页上 页返 回消去 、 及 得1U2U1LISLLUnIIn3222SLLUII322解得：321222nUnISL32223nUnnISL22LII33LII下 页上 页返 回五、理想变压器的实现 理想变压器可以用运算放大器等元器件实现。 交流电路中，电感系数为无穷大的全耦合变压器即为理想变压器。工程实际中，有高导磁率铁心且耦合系数 k 接近于1的实际变压器可近似看作理想变压器，其变比 n = N2 / N1。（ N2为副边匝数， N1为原边匝数。）下 页上 页返 回11.5 铁芯变压器的模型 铁芯变压器是耦合系数接近 1 且电感很大的耦合电感，在电流和电压为时变函数的情况下，可用理想变压器和电感、电阻元件构成其电路模型。下 页上 页返 回一、若分析要求不高，可直接用理想变压器作为 其电路模型。例如电源变压器。二、若认为耦合系数 K为 1 ，但电感不为无穷大