第五章光的衍射

1、1 125.1 光的衍射引言衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布！光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。1、光的衍射概论3各种光孔的衍射图样4用激光束观察单缝衍射现象衍射表现出光波的传播行为具有:1)、“限制与扩展” 衍射发散角；,;, 2)、缝宽与波长敏感因素3)、理论上给出: 5u 衍射程度被粗分为三档。 当高亮度的激光束引入衍射实验以后。衍射现象很不明显，近乎直线传播；但边缘衍射效应仍不可忽视。衍射现象显

2、著，出现衍射花样。衍射现象过于明显向散射过渡。具有实际意义与理论意义。6 衍射是一切波动均具有的传播行为。与声波衍射、水波衍射相比，光波衍射不易观察到。 原因两点：一 是可见光的波长极短，二 是普通光源是非相干的面光源。既要求光源是足够小的“点”，又要求在远处有足够的光强，这条件是苛刻的。72、基尔霍夫标量衍射理论光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。其适用条件是： 傍轴、自然光！这在实验上是不难被满足的。8

3、3、衍射系统及其分类n前场 照明空间,照明波一般较简单，n后场 衍射空间,衍射波一般较复杂。理论目标是00( ,)( , )E x yE x y9 9衍射的分类104、衍射巴比涅原理 反映互补屏的两个衍射场之关系巴比涅原理中的一对互补屏在衍射积分式中，积分区间(光孔)12( )= ( )+ ( )E p E p E p11220012( )( )( )=+E pEpE p屏造成的衍射场屏造成的衍射场光波通行无阻时自由光场意义:一旦求得 ,则其互补屏之衍射场就容易地获 得，因为自由场 通常显而易见。( )E p21( )= ( )- ( )E p E p E p1( )E p11巴比涅原理的实验

4、显示(a)、 (b)是一对互补屏，(c)、(d)是相应的夫琅禾费衍射图样125.2 惠更斯-菲涅耳原理一惠更斯一惠更斯-菲涅耳原理及其数学表达式菲涅耳原理及其数学表达式 场点的扰动可被视为，波前上所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加。-次波相千叠加原理。1313光源光源S在在P点产生的光振动，应等于其波面点产生的光振动，应等于其波面上各点发出次上各点发出次波在波在P点的光振动的叠加点的光振动的叠加 。Q点处的元波面d 发出的子波在P点产生的复振幅( )dE P)(dEEPPP点总的复振幅为：1414基于物理上的若干基本考虑， 与以下因素有关：( )dE Pexp()( )( ) ( )ikrd

5、E PcKE Qdr引入常数c,exp()( )( ) ( )ikrE PckE Qdr( )exp()( )dE QikrrK波前上作为次波源的微分面源；次波源自身的复振幅；次波源发射球面波到达场点倾斜因子用以表明次波源的发射并非各向同性15150,( )1,( )02KK菲涅尔假设菲涅尔假设且有且有( )K（1）人为假设了k(),未给出k()和c的具体形式;（2）假设当 /2时，k()0。事实证明，该假设不正确;惠更斯菲涅耳原理的缺陷165.3 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式 基尔霍夫指从亥姆霍兹方程方程出发，用格林公式，在k.r 1近似下,给出了无源空间边值定解的积分表达式：基尔霍夫的新贡献是

6、：n 明确了方向因子n 给出了比例系数 n 指出波前()面并不限于等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面。1cicos( , )cos( , )( )2n rn Rkcos( , )cos( , ) exp()( )( )2An rn likrE PE Qdir1717基尔霍夫边界条件（假设)闭合面012=+（ ）对衍射场的贡献:210(1)( )=0(2)( )=0(3)E QE Q、无穷远面：、光屏面 ：、光孔面对场点有贡献。1818exp() cos( , )cos( , )( )( )2Aikrn rn lE PE Qdir衍射积分公式简化为：衍

7、射积分公式简化为： 菲涅耳原理的实质：无源空间边值定解，即波前决定一切，决定观测结果;其推论：当再现或重构相同的波前，必将再现相同的观测结果，即使原物不复存在。- 全息术的思想基础195.3菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射 exp() cos( , )cos( , )( )( )2Aikrn rn lE PE Qdir衍射积分公式计算比较复杂，为了能够详细讨论衍射现象，在计算的过程做一些近似以便简化计算。20（一）傍轴近似（初步近似）（一）傍轴近似（初步近似）当当孔径范围及及观察范围远小于两远小于两者之者之间距的情况的情况 。单色平面波垂直入射时：单色平面波垂直入射时：（1 1）cos(n,r)=co

8、s（）1,因此倾斜因子因此倾斜因子 1cos12K即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响 2121（2）同时取rz1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响 不可略 。取上面两个近似后有： 11( )( )exp()E PE Qikr di z强调:不同的光孔形状（）、不同的瞳函数 ，将产生不同的衍射场 ，而积分核 总是这个形式。( )E Q( )E Pexp()ikr2222（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似 要对相位因子指数中的要对相位因子指数中的r进行积分是进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近比较

9、困难，因此必须做更精确的近似来进行简化似来进行简化 212112111212121)()(1 )()(zyyzxxzyyxxzr222221111122112222 211111241111128()()()() =128xxyyxxyyrzzzxxyyxxyyzzz如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有： 应用二项式展开应用二项式展开 ，得，得2222 222111111131111()() 228xxyyxyxxyyxyzzzzz 23当z1大到使第四项以后各项对位相 kr 的作用远小于时，忽略第四项以后的高次项： 这一近似即为这一近

10、似即为菲涅耳近似菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：基尔霍夫衍射公式为： 11( , )( )( )exp()E x yE PE Qikr di z2211111111111( ,()()2) xp2exxE xyyikdx dyiyzzzz22111111111exp()()()2( ,)expikzxikE xxyydxydzzyi22221111111122xxyyxyxyrzz

11、zz2211111()()22xxyyzzz2424在孔径在孔径外的复振幅为外的复振幅为0则上式可写为：则上式可写为：22111111111exp()( , )( ,)exp()() 2ikzikE x yE x yxxyydx dyi zz菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式 2525如进一步增大如进一步增大z z1 1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于时时, ,忽略第四项，则忽略第四项，则有有这一近似称为这一近似称为夫琅和费近似，夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称在此条件

12、下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区 111111122111)(exp),()(2exp)exp(),(dydxyyxxzikyxEyxzikziikzyxE夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式 夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算 22112211111122xxyyxyrzzzxyz22111112xxyyxyzzz26例：不透明屏上圆孔的直径为例：不透明屏上圆孔的直径

13、为2cm2cm，受波长为，受波长为600nm600nm的平行光照射，的平行光照射，试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。2222 222111111131111()() ()228xxyyxyxxyyxykrk zzzzz 解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求中的第中的第5 5项项22 21131()() 8k xxyyz由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取2211()()2xxyy333154160004 6 10zcmcm 即即125zcm27为满足夫琅禾费

14、衍射的成立条件，要求为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求221112xykz取取111xycm22111160 xyzm即即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察28285.4 矩孔和单缝的夫琅和费衍射一、装置与实验现象一、装置与实验现象夫琅和费衍射实验装置夫琅和费衍射实验装置 S S：单色点光源：单色点光源L L1 1 、 L2：透镜透镜平行光入射，焦点怎么平行光入射，焦点怎么偏离了偏离了P P0 0点？点？2211111111111( , )exp()( ,)exp()2xyikE x yik zE x yxxyydx dyi zzz29291zf衍射开孔平面上光的分衍

15、射开孔平面上光的分布均匀则布均匀则透镜紧贴矩孔透镜紧贴矩孔221111111( , )exp()( ,)exp()2xyxyE x yik fE x yikxydx dyiffffsin,sinxyxylwff令称为称为二维衍射角二维衍射角 ,xy 21111( , )exp()exp()2xyE x ycik fik lxwydx dyf P点的复振幅可写为点的复振幅可写为 302/2/21111/2/22( , )exp()exp()2sinsin22exp()222ababxyE x ycik fik lxwydx dyfiklaikwbxyc abik fiklaikwbf 是观察屏中

16、心点是观察屏中心点P0处的光场复振处的光场复振幅幅 cabEE)0 , 0(00P点的复振幅为：点的复振幅为： 20sinsin22( , )exp()222klakmbxyE x yEik fklakmbf3131P点的光强为：点的光强为： 220sinsin2222klakwbIE EIklakwbsin,2xklaasin2ykwbb若令若令 ：220sinsin( , )I x yI 夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：式中式中I0是是P0点的光强度：点的光强度： 2220=)abIcabAf（3232一、沿一、沿x轴上点的光强度分布，此

17、时轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为，光强度公式变为 20sinII分别讨论分别讨论x轴和轴和y轴上得光强分布轴上得光强分布给出单缝衍射图样相对光强分布情况!实验模型即是：矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如 ab;只在x方向有亮暗变化的衍射图样 ,sin2xakla光强分布情况33衍射图样的主要特征：0时，有主极大： 01MII1.当00( ),II即当，最大值。“零级衍射峰”其位置-正是几何光学象点位置等光程方位20sinsin,2xklaIIa，34m处有极小值：min0I2.当对应 时出现极小值！ ,sinam1,2m 如何理解衍射公式中 asin=m（m=1; =2

18、)时出现暗纹。而干涉中公式中 asin=m（m=0；1; =2 )时出现亮纹？353522ddsin()0ddI即：tan47. 3,46. 2,43. 1, 0各级明条纹的光强比为：0083.0:017.0:047.0:1:3210IIII表明：光强集中在中央零级明条纹处。注意：次极大值位置不在两暗纹的中间 ,sin2xakla缝宽a越大，衍射光光强越弱；远离中心x越大，衍射光光强很越弱；3.相邻两个暗点间存在一个极大值。3636cosma 1m取取 ，即可得相邻暗条纹的角宽度，即可得相邻暗条纹的角宽度由光强极小值的表达式微分得：由光强极小值的表达式微分得： cosaaa或衍射角很小衍射角很

19、小 时：时：4.半角宽度0衍射反比律37u不限于单缝、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向线度为，则与该方向相应的衍射发散角，可由反比公式估算。a衍射反比律公式u 可见：a , 衍射效应更加明显“半角宽度”“半值角宽度” “衍射发散角”38u 反比律指明了几何光学的限度即衍射强度分布被收缩为一个“点”；几何光学的直线传播！所以，可以将几何光学看成是波动光学在波长趋于零时的极限(行为)。u 反比律蕴含放大原理“衍射放大” 提供了一种种测定“微结构”新技术。0limlim0395. 单缝宽度的影响。表现为两方面: 一是影响半角宽度 。比如，缝宽a扩大为2a， 压缩为 ; 二是影响零级衍射峰值I0，这是

20、因为峰值即光强参考值I0 ，正比于面积(a b)的平方，比如，缝宽扩大为2a，则I0增强为4I0.00/20406. 波长的影响.表现为两方面， 一是影响半角宽度0 ，长波对应的0 大，亦即长波衍射效应更强烈; 二是影响衍射峰值I0，这是因为峰值I01/2 。因此，红光与蓝光相比较，红光衍射的半角宽度大，且红光衍射峰低。2220=)abIcabAf（思考题：白光照射单缝发生衍射时像点依然是白光?根据衍射理论，衍射分光，不仅改变了非像点处的光谱成分，也改变了像点处的光谱成分。4141（2）同时取rz1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响 不可略 。取上面两个近似后有： 11( )( )e

21、xp()E PE Qikr di z强调:不同的光孔形状（）、不同的瞳函数 ，将产生不同的衍射场 ，而积分核 总是这个形式。( )E Q( )E Pexp()ikr4242（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似 要对相位因子指数中的要对相位因子指数中的r进行积分是进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近比较困难，因此必须做更精确的近似来进行简化似来进行简化 212112111212121)()(1 )()(zyyzxxzyyxxzr222221111122112222 211111241111128()()()() =128xxyyxxyyrzzzxxyyxxyyzzz如

22、右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有： 应用二项式展开应用二项式展开 ，得，得2222 222111111131111()() 228xxyyxyxxyyxyzzzzz 43当z1大到使第四项以后各项对位相 kr 的作用远小于时，忽略第四项以后的高次项： 这一近似即为这一近似即为菲涅耳近似菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：基尔霍

23、夫衍射公式为： 11( , )( )( )exp()E x yE PE Qikr di z2211111111111( ,()()2) xp2exxE xyyikdx dyiyzzzz22111111111exp()()()2( ,)expikzxikE xxyydxydzzyi22221111111122xxyyxyxyrzzzz2211111()()22xxyyzzz4444在孔径在孔径外的复振幅为外的复振幅为0则上式可写为：则上式可写为：22111111111exp()( , )( ,)exp()() 2ikzikE x yE x yxxyydx dyi zz菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式

24、 4545如进一步增大如进一步增大z z1 1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于时时, ,忽略第四项，则忽略第四项，则有有这一近似称为这一近似称为夫琅和费近似，夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称在此条件下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区 111111122111)(exp),()(2exp)exp(),(dydxyyxxzikyxEyxzikziikzyxE夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射

25、公式 夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算 22112211111122xxyyxyrzzzxyz22111112xxyyxyzzz46例：不透明屏上圆孔的直径为例：不透明屏上圆孔的直径为2cm2cm，受波长为，受波长为600nm600nm的平行光照射，的平行光照射，试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。2222 222111111131111()() ()228xxyyxyxxyyxy

26、krk zzzzz 解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求中的第中的第5 5项项22 21131()() 8k xxyyz由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取2211()()2xxyy333154160004 6 10zcmcm 即即125zcm47为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求221112xykz取取111xycm22111160 xyzm即即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察48485.4 矩孔和单缝的夫琅和费衍射一、装置与实验现象一、装置与实验现象夫琅和费衍射

27、实验装置夫琅和费衍射实验装置 S S：单色点光源：单色点光源L L1 1 、 L2：透镜透镜平行光入射，焦点怎么平行光入射，焦点怎么偏离了偏离了P P0 0点？点？2211111111111( , )exp()( ,)exp()2xyikE x yik zE x yxxyydx dyi zzz49491zf衍射开孔平面上光的分衍射开孔平面上光的分布均匀则布均匀则透镜紧贴矩孔透镜紧贴矩孔221111111( , )exp()( ,)exp()2xyxyE x yik fE x yikxydx dyiffffsin,sinxyxylwff令称为称为二维衍射角二维衍射角 ,xy 21111( , )

28、exp()exp()2xyE x ycik fik lxwydx dyf P点的复振幅可写为点的复振幅可写为 502/2/21111/2/22( , )exp()exp()2sinsin22exp()222ababxyE x ycik fik lxwydx dyfiklaikwbxyc abik fiklaikwbf 是观察屏中心点是观察屏中心点P0处的光场复振处的光场复振幅幅 cabEE)0 , 0(00P点的复振幅为：点的复振幅为： 20sinsin22( , )exp()222klakmbxyE x yEik fklakmbf5151P点的光强为：点的光强为： 220sinsin2222

29、klakwbIE EIklakwbsin,2xklaasin2ykwbb若令若令 ：220sinsin( , )I x yI 夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：式中式中I0是是P0点的光强度：点的光强度： 2220=)abIcabAf（5252一、沿一、沿x轴上点的光强度分布，此时轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为，光强度公式变为 20sinII分别讨论分别讨论x轴和轴和y轴上得光强分布轴上得光强分布给出单缝衍射图样相对光强分布情况!实验模型即是：矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如 a 90 90010203040506070

30、8090-90-80-70-60-50-40-30-20-10k = 0k = 1k = 2k = 3k = 4k = -1k = -2k = -3k = -4nm2500cm40001d arcsinmd87色散型光谱仪 核心元件光栅或棱镜，整机含:入射狭缝，出射狭缝; 光路转换(产生、接收平行光)，; 转动鼓轮，读数系统; 输出响应光电记录或胶片摄谱。光谱仪: 用于分析光谱、显示光谱， 摄谱仪: 用于挑选波长、单色仪88三、光栅光谱仪器的性能指标,; ,mm p 角色散本领 =D定义：m级, 波长附近，单位波长差响应的角间隔 = -= - ；即：sin,0, 1, 2.dm m 据：cos

31、mdm 有 =coskmDd得 光栅周期d越小，色散率越大； 光栅周期d确定时，m或 越大，色散率越大； m1,289光栅的色散光栅的色散 90p 线色散本领摄谱仪，直接关心的是线色散-涉及记录介质的空间分辨率。显然，在同祥的角色散条件下，反射镜的焦距越长，则线色散越大。llD定义： l f由图可见 coslmmDf Dfd得： 9192p 色分辨本领 可分辨的最小波长间隔m，不仅与峰值(两个)角间隔有关，也与峰值自身的角宽度 有关。瑞利判据:93令： =coskmDdcosNd而=mm N定义，色分辨本领R=m得R=m N可见： ，R与d无关。,NRn 通常通常m = 1 3, 刻痕数刻痕数

32、N很大，故很大，故R值较大，分辨本领好。值较大，分辨本领好。n FP仪的仪的N值不高，但是值不高，但是m值比较大，因此也可以得到较好的值比较大，因此也可以得到较好的分本本领。分本本领。94n 数量级估计- 设D10cm， 1/d600/mm ，有N=6 104， 对于1级光谱：R= 6 104 若分析波段在600nm 附近，则2=10,0.1R埃mnm这当然远不如FP分光仪精细，但光栅光谱仪的“量程大”，适于测定“宽谱线轮廓”。95可由两个相邻的级次能够重叠的谱线波长差求出：一个光谱级中不被其他级次光谱重叠的波段称为自由光谱范围。即:p 光栅的自由光谱范围与光谱的衍射级次成反比;p 此值与光栅

33、本身无关，同一级次自由光谱范围相同。p光栅的m值一般比较小，因此自由光谱范围较FP仪大()(1)mmGm p 光栅的叠级和自由光谱范围9697p 透射式多缝光栅的缺点：(1) 有多序光谱，既分散能量，又限制“量程”。(2)、各单元“衍射零级”之间等光程，因而：该方向成为元间“干涉零级”；总是无色散-“能量浪费”。闪耀光栅p 设法 只产生一序光谱; 分离“单元衍射零级”与“元间干涉零级”。 闪耀光栅可为之。有两种照明方式。98d222（1）入射光束光栅宏观平面可见，沿单元零级方向，相邻单元间的光程差99100d101最后说明： 闪耀光栅仅有1序光谱，这是因为： da1025.10 圆孔和圆屏的菲

34、涅耳衍射 1、衍射图样及其特征2、半波带法u 半波带分割-一种特殊的编组方式u 半波带的贡献-相位关系和振福关系u 矢量图解u 对圆孔Fresnel衍射的说明u 半波带的半径k公式3.细致的矢量图解法u 螺旋式曲线u 用于非整数个半波带的情形u 对圆屏Fresnel衍射的说明u 无透镜成象术圆屏衍射成象1031、衍射图样及其特征(a)圆孔菲涅耳衍射光波长600 nm；衍射现象显著，当mm, R.bm, 1 m-10 m.(b)圆屏菲涅耳衍射今人惊奇的是，对于圆屏衍射不论变，或b变，I(p)总是一个亮斑!104圆孔由小变大的菲涅尔衍射图1052、半波带法对波前次波源群的一种特殊编组方式10200

35、,22jrrrrrrj半波带面积依次为： A1,A2,A3, Aj对观察点P0贡献的次波为12+jEEEEP0点的复振幅：p 半波带分割法12,jE EEp 相位关系的分析n12-+-1jEEEE（）相邻两带的子波到达P0点的光程差均为/2，相位差为 。106p 振幅关系的分析RSjb0r02jrrj0PjjhO0bMMj222220()()jjjjRRhrrh)(20202rRrrhjj20jrrj220202)2(jjrrrj220202)2(jjrrrj00rRjRrSjjjRhS2球冠面积计算第 j 个半波带的面积为： 010jjjjRrASSSRr 任一半波带的面积和它到P点的距离之

36、比是与j无关的常数！根据半波带画法可知：0r ， 项可略去项可略去2又因为107108振幅随 j 增大，按（1+cosj)单调减小，但变化缓慢。p 结论j1 cos()2jjjjjjAAEccfrr其“慢变”数量级:41110000 600, ,1 ,10 , 3,22cos11 0.3%cos1( )1,()1 0.15%jnm R bmjjmmR bjRff 光波长即使取104个半波带所贡献的振幅仅仅比第1个半波带所贡献的振幅少0.15%。n1234-1jEEEEE （ ）109p 画出矢量图(表达相干叠加)110振幅随 j 增大变化缓慢，近似有：115142332+(-(-+)22(-)

37、22)2222jjjjEEEEEEEEEEEE当露出的半波带数nE 122nEE1122nnEEEn为偶数n为奇数111E 122nEEn为偶数122nEEn为奇数n数值比较大时1nnEE与相差很小圆孔衍射的现象：（1）若逐渐开大或缩小圆孔，在P0点将可以看到明暗交替的变化。（2）若圆孔大小和光波波长一定，只将观察屏沿SP0连线移动，都会使圆孔所含半波带数j连续变化，从而在P0点产生明暗交替的变化，即有时中心为亮点（j为奇数），有时又为暗点（j为偶数）112 1122在R和r0一定时，露出的波带数与圆孔的半径有关，即孔大露出的波带数多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。 当圆

38、孔趋于无限大时，倾斜因子为0，则第j个波带必对应于( )0,0nfE此时P0点的振幅为： 当孔很大时，P0点光强不变，这正是光的直线传播规律所预期的结果；光的直线传播规律是透光孔径较大情况下的一种近似球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半，强度为1/4。01/2EEE113 113222022200()2jjjjjjrrhrrr hh由于r0hj,可略去hj2 002rRRrjjRSjb0r02jrrj0PjjhO0bMMj2200jrrjr)(20202rRrrhjj010=jRrjjRr010RrRr其中p 开孔半径j20111jRr写

39、成“对称形式”：114 600, 1, 3,nm Rm rm典 型 据 ：1330.67,30.671.16,6.7mmmmmm有p 反过来算，当开孔半径j一定时，包含多少个半波带?220110011()RrjRrRr可见，屏幕由近及远 r0 增加，则 j 减小。可解释:中心衍射强度，沿纵向呈现“周期性”变化;远至仅含“一个半波带”以后，其强度单调下降。115p 细致的矢量图解每个半波带被细分为环带，许多小矢量头尾衔接，形成半个正多边形，其极限过渡为半圆。于是，整个波前次波源群体所贡献的扰动小矢量，形成一个个半径极其缓慢收缩的螺旋式曲线-用以求得非整数个半波带(圆孔）时衍射强度I (p）。11

40、6 1163.将半波带进一步细分成面积更小的环状波带元，则可利用振动的矢量合成法来分析圆孔的菲涅耳衍射第一半波带分成N个子带SP20rNir20O0r:11iN将每一个半波带分为更小的波带元，各波带元传到P0点的振幅可认为是相等的第一半波带中心到边缘各相邻子带对应相同的光程差 和相同的相位差/2N117 117N1aOC1a2a212aaA1B将第二个半波带也细分成无穷多个环状波带元，可得到另一将第二个半波带也细分成无穷多个环状波带元，可得到另一圆弧，考虑倾斜因子，可知第二个半波带的合振幅圆弧，考虑倾斜因子，可知第二个半波带的合振幅 a2a1由于第一波带元和最后一个波带元在由于第一波带元和最后

41、一个波带元在P0点引起的振动位相差点引起的振动位相差为为波带元在波带元在P0点引起振动合振幅点引起振动合振幅 a1=OB1如细分的波带元为无穷多个，则各分振动矢量成一园弧如细分的波带元为无穷多个，则各分振动矢量成一园弧 118 118将所有半波带都细分成环状波带元，得如下图所示的多个圆环 AP=OB1或OB2，OB3，此时在P0点光强取极大值 AP=OC1或OC2，OC3，在P0点此时光强取极小值 如无遮挡物或圆孔为无穷大，则图中的圆弧结束于图中O点21aOOAP当j为奇数时当j为偶数时119 1194轴外点的衍射对于观察屏上轴外任一点P，其振幅或光强的大小也可以用菲涅耳半波带法来分析。 这时

42、菲涅耳半波带的中心不在O点，而在M0点,这时，半波带如图所示当P由P0向外逐步移动时，也会产生明暗交替的变化。考虑到整个图面的对称性，在观察屏上可呈现一组以P0为中心的同心圆环P点的振幅不仅取决于半波带的数目，它还与各个带露出面积的大小有关。120121 121（三）圆屏菲涅耳衍射以不透光的圆屏代替圆孔，就是圆屏菲涅耳衍射可用半波带法求得观察屏上轴上点P0的光强S：单色点光源MM：圆屏P0：观察点由P0对波面作波带。设正好挡掉了j个半波带，则P0点的合振幅为 1234-+-jjjjEEEEE31541321+(-)-+2222)22jjjjjjjjEEEEEEEEE1221.只要屏不十分大，j+1个半波带为不大的有限值，则P0点振幅永远是刚露出的第一个半波带在P点引起的振幅的一半，永远是亮点2.如果圆屏比较大，P0点离圆屏又比较近，则被屏挡住的波带就很多，这样就使第j+1个半波带在P0点产生的振幅 接近于零，所以这时P0点的光强实际上零