八年级初二数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析

1、八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1如图，矩形纸片ABCD，长AD9m，宽AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A7cmB6cmC5.5cmD5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：由折叠的性质得：BEDE，设DE长为xcm，则AE（9x）cm，BExcm，四边形ABCD是矩形，A90°，根据勾股定理得：AE2+AB2BE2，即（9x）2+32x2，解得：x5，即DE长为5cm，故选：D【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定

2、理进行计算是解决问题的关键2如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点将ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF2：3若BE16，则点F到BC边的距离是（）A8B12CD【分析】作EMAB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BMBE8，MEBM8，由折叠的性质得出FECE，设FECEx，则ABBC16+x，得出BF（16+x），求出FMBFBM（16+x）8+x，在RtEFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF21作FNBC于N，则BFN30°，由直角三角形的性质得出BNBF，得出FNBN即可【解答】解：作EMAB于M，如图所示：

3、ABC是等边三角形，BCAB，B60°，EMAB，BEM30°，BMBE8，MEBM8，由折叠的性质得：FECE，设FECEx，则ABBC16+x，AF：BF2：3，BF（16+x），FMBFBM（16+x）8+x，在RtEFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2x2，解得：x19，或x16（舍去），BF（16+19）21，作FNBC于N，则BFN30°，BNBF，FNBN，即点F到BC边的距离是，故选：D【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键3如图

4、，在等腰RtABC中C90°，ACBC2点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE将BDE沿DE折叠，得到BDE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF（）ABCD【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC4，AB45°，过B作BHAB与H，得到AHBHAB，求得AHBH1，根据勾股定理得到BB，由折叠的性质得到BFBB，DEBB，根据相似三角形即可得到结论【解答】解：在等腰RtABC中C90°，ACBC2，ABAC4，AB45°，过B作BHAB与H，AHB是等腰直角三角形，AHBHAB，ABAC，AHBH1，BH3，BB，将BDE沿

5、DE折叠，得到BDE，BFBB，DEBB，BHBBFE90°，EBFBBH，BFEBHB，EF，故答案为：故选：C【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图，在ABC中，ABAC2，BAC30°，将ABC沿AC翻折得到ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则ABE的面积为（）ABC3D【分析】由折叠的性质可知CAD30°CAB，ADAB2由等腰三角形的性质得出BCAACDADC75°求出ECD30°由三角形的外角性质得出E75°30°

6、;45°，过点C作CHAE于H，过B作BMAE于M，由直角三角形的性质得出CHAC1，AHCH得出HDADAH2求出EHCH1得出DEEHHD1，AEAD+DE1+，由直角三角形的性质得出AMAB1，BMAM由三角形面积公式即可得出答案【解答】解：由折叠的性质可知：CAD30°CAB，ADAB2BCAACDADC75°ECD180°2×75°30°E75°30°45°过点C作CHAE于H，过B作BMAE于M，如图所示：在RtACH中，CHAC1，AHCHHDADAH2在RtCHE中，E45

7、76;，CEH是等腰直角三角形，EHCH1DEEHHD1（2）1，AEAD+DE1+，BMAE，BAEBAC+CAD60°，ABM30°，AMAB1，BMAMABE的面积AE×BM×（1+）×；故选：B【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键5如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将ABF沿AF折叠为AEF，点E落在边CD上，若AB5，BC4，则BF的长为（）ABCD【分析】根据矩形的性质得到CDAB

8、5，ADBC4，BDC90°，根据折叠的性质得到AEAB5，EFBF，根据勾股定理得到DE3，求得CE2，设BFEFx，则CF4x，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，CDAB5，ADBC4，BDC90°，将ABF沿AF折叠为AEF，AEAB5，EFBF，DE3，CE2，设BFEFx，则CF4x，EF2CF2+CE2，x2（4x）2+22，解得：x，故选：B【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键6如图，在矩形纸片ABCD中，CB12，CD5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，

9、折痕为DM，则MNB的面积为（）ABCD26【分析】由勾股定理得出BD13，由折叠的性质可得NDAD12，MNDA90°，NMAM，得出EAB90°，BNBDND1，设AMNMx，则BMABAM5x，在RtBMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NMAM，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，A90°，ADBC12，ABCD5，BD13，由折叠的性质可得：NDAD12，MNDA90°，NMAM，EAB90°，BNBDND13121，设AMNMx，则BMABAM5x，在RtBMN中，NM2+BN2BM2，x2+12（5x）2，解得：x，N

10、MAM，MNB的面积BN×NM×1×；故选：A【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键7如图，在ABC中ACB90°、CAB30°，ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sinACH的是（）ABCD【分析】在RtABC中，设BCa，则AB2BC2a，ADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax在RtABC中，由勾股定理得AC23a2，在RtACH中，由勾股定理得AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2解得xa，即AHa求得HC

11、的值后，利用sinACHAH：HC求值【解答】解：ABD是等边三角形，BAD60°，ABAD，CAB30°，CAH90°在RtABC中，CAB30°，设BCa，则AB2BC2aADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax，在RtABC中，AC2（2a）2a23a2，在RtACH中，AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2，解得xa，即AHaHC2ax2aaasinACH，故选：C【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键8如图，在矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，连接AE、

12、ED，将ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）ABCD【分析】由折叠的性质可得ABAB'CDC'D1，BB'90°CDC'E，BEB'E，CEC'E，由中点性质可得B'E2C'E，可得BCAD3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证AB'FDC'F，可得C'FB'F，即可求解【解答】解：四边形ABCD是矩形

13、，ABCD1，ADBC，BC90°由折叠的性质可得：ABAB'CDC'D1，BB'90°CDC'E，BEB'E，CEC'E，点C'恰好为EB'的中点，B'E2C'E，BE2CE，BCAD3EC，AE2AB2+BE2，DE2DC2+CE2，AD2AE2+DE2，1+4CE2+1+CE29CE2，解得：CE，B'EBE，BCAD，C'E，B'C'，在AB'F和DC'F中，AB'FDC'F（AAS），C'FB'F，EFC&

14、#39;E+C'F，故选：D【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE的长是本题的关键9如图，ABCD中，AB6，B75°，将ABC沿AC边折叠得到ABC，BC交AD于E，BAE45°，则点A到BC的距离为（）A2B3CD【分析】过B作BHAD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AHBHAB，根据折叠的性质得到ABAB6，ABEB75°，求得AEB60°，解直角三角形得到HEBH，BE2，根据平行线的性质得到DACACB，推出AECE，根据全等三角形的性质得到DEBE2，求得ADAE+DE3+3，过A作AGBC于G

15、，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：过B作BHAD于H，BAE45°，ABH是等腰直角三角形，AHBHAB，将ABC沿AC边折叠得到ABC，ABAB6，ABEB75°，AEB60°，AHBH×63，HEBH，BE2，ABCD中，ADBC，DACACB，ACBACB，EACACE，AECE，ABEBD，AEBCED，ABECDE（AAS），DEBE2，ADAE+DE3+3，AEBEAC+ACE60°，ACECAE30°，BAC75°，ACADBC，ACB30°，过A作AGBC于G，AGAC，故选：C【点评】

16、本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键10如图1，在ABC中，ACB90°，CAB30°，ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sinACH的值为（）ABCD【分析】在RtABC中，设BCa，则AB2BC2a，ADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax在RtABC中，由勾股定理得AC23a2，在RtACH中，由勾股定理得AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2解得xa，即AHa求得HC的值后，利用sinACHAH：HC求

17、值【解答】解：BAD60°，CAB30°，CAH90°在RtABC中，CAB30°，设BCa，AB2BC2aADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax，在RtABC中，AC2（2a）2a23a2，在RtACH中，AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2，解得xa，即AHaHC2ax2aaasinACH，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等11如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连结

18、BD，把BDC沿BD翻折，得到BDC'，DC与AB交于点E，连结AC'，若ADAC2，BD3，则点D到BC的距离为（）ABCD【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DHBC'于点H，由翻折知，BDCBDC'，BD垂直平分CC'，证ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM1，C'MDM，BM2，在RtBMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在BDC'中利用面积法求出DH的长【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DHBC'于点H，ADAC2，D是AC边上的中点，DCAD2

19、，由翻折知，BDCBDC'，BD垂直平分CC'，DCDC'2，BCBC'，CMC'M，ADACDC'2，ADC'为等边三角形，ADC'AC'DC'AC60°，DCDC'，DCC'DC'C×60°30°，在RtC'DM中，DC'C30°，DC'2，DM1，C'MDM，BMBDDM312，在RtBMC'中，BC'，SBDC'BC'DHBDCM，DH3×，DH，故选：B【点评

20、】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度12如图，在ABC中，ABC45°，AB3，ADBC于点D，BEAC于点E，AE1连接DE，将AED沿直线AE翻折至ABC所在的平面内，得AEF，连接DF过点D作DGDE交BE于点G则四边形DFEG的周长为（）A8B4C2+4D3+2【分析】先证BDGADE，得出AEBG1，再证DGE与EDF是等腰直角三角形，在直角AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长【解答】解：ABC45°，ADBC于点D

21、，BAD90°ABC45°，ABD是等腰直角三角形，ADBD，BEAC，GBD+C90°，EAD+C90°，GBDEAD，ADBEDG90°，ADBADGEDGADG，即BDGADE，BDGADE（ASA），BGAE1，DGDE，EDG90°，EDG为等腰直角三角形，AEDAEB+DEG90°+45°135°，AED沿直线AE翻折得AEF，AEDAEF，AEDAEF135°，EDEF，DEF360°AEDAEF90°，DEF为等腰直角三角形，EFDEDG，在RtAEB中，BE

22、2，GEBEBG21，在RtDGE中，DGGE2，EFDE2，在RtDEF中，DFDE21，四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF2（2）+2（21）3+2，故选：D【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质二填空题（共7小题）13如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到AGE30°，若AEEG2厘米，则ABC的边BC的长为（6+4）厘米【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可【解答】解：把三角形纸片折叠，使点B

23、、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，BEAE，AGGC，AGE30°，AEEG2厘米，AG6厘米，BEAE2厘米，GCAG6厘米，BCBE+EG+GC（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答14如图，在RtABC中，ACB90°，BC6，CD是斜边AB上的中线，将BCD沿直线CD翻折至ECD的位置，连接AE若DEAC，计算AE的长度等于【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长【解答】解：由题意可得，DEDBCDAB，DECDCEDCB，DEAC，DCEDC

24、B，ACB90°，DECACE，DCEACEDCB30°，ACD60°，CAD60°，ACD是等边三角形，ACCD，ACDE，ACDE，ACCD，四边形ACDE是菱形，在RtABC中，ACB90°，BC6，B30°，AC，AE【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答15已知RtABC中，ACB90°，AC8，BC4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将ADE沿DE折叠至ADE，AE交BD于点F，若DEF的面积

25、是ADE面积的一半，则CE2【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD2DF，A'FEF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BFDF，可证BEDA'是平行四边形，可得BEA'D2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BEACB90°，AC8，BC4AB4D是AB中点BDAD2折叠ADA'D2，SADESA'DESDEFSADEAD2DF，SDEFSA'DEDF，A'FEFBFDF，且A'FEF四边形BEDA'是平行四边形A'DBE根据勾股定理得：CE2故答

26、案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题16如图，在ABC中，ABAC5，tanA，BC，点D是AB边上一点，连接CD，将BCD沿着CD翻折得B1CD，DB1AC且交于点E，则DE【分析】作BFAC于F，证明B1ECCFB（AAS），得出B1ECF1，设DE3a，则AD5a，得出BDB1D3a+1，得出方程，解方程即可【解答】解：作BFAC于F，如图所示：则AFBCFB90°，在RtABF中，tanA，AB5，AF4，BF3，sinA，CFACAF1，由折叠的性质得：B1CBC，CB1EABC，B1DBD，ABAC，ABCBCF，

27、CB1EBCF，DB1AC，B1EC90°CFB，在B1EC和CBF中，B1ECCFB（AAS），B1ECF1，设DE3a，则AD5a，BDB1D3a+1，AD+BDAB，3a+1+5a5，a，DE；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键17如图，在RtABC中，ABC90°，把ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B，点D，点E分别为BC和AB上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A，连接AA交BC于点H，交

28、DE于点G若AB3，BC4，则GE的长为【分析】设HCHAx，在RtCAH中，可得x232+（4x）2，解得x，由CAHAGE，可得，由此即可解决问题【解答】解：由题意四边形ABCA是矩形，BDCD2，AGGA2，BCAA，BCACAA，ACBACB，HCAHAC，HCHA，设HCHAx，在RtCAH中，x232+（4x）2，x，AH4，由CAHAGE，可得：，EG【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型18如图，在平行四边形ABCD中，B30°，且BCCA，将ABC沿AC翻折至ABC，AB交CD于点E，连接BD若AB3，则BD的长度为6【分析】作CMAB于M，由折叠的性质得：B&