第十二章二阶常系数齐次线性微分方程

1、一、定义一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式0 qyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr

2、 特点特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想猜想有特解有特解rxey 有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根为特征根为,2421qppr ,2422qppr 两个线性无关的特解两个线性无关的特解,11xrey ,22xrey 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为,221prr 一特解为一特解为,11xrey ,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222y

3、yy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy )0( 有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx )0( 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .方法步

4、骤方法步骤写出特征方程写出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根特征根 齐通解齐通解)(21实rr xrxrececY2121 21rr xrexccY1)(21 jr 2 , 1)sincos(21xcxceYx 例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程为特征方程为0322 rr特征根为特征根为3, 121 rr齐通解为齐通解为xxececY321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)

5、(221xexCCy 例例3 3.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 设圆柱形浮筒，直径为设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为在水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量秒，求浮筒的质量解解设浮筒的质量为设浮筒的质量为 m 平衡时平衡时 圆柱浸入水中深度为圆柱浸入水中深度为 l浮力浮力glR 2重力重力mg mgglR 2 设设 t 时刻浮筒上升了时刻浮筒上升了

6、x 米米 此时此时浮力浮力gxlR)(2 重力重力mg 由由Newton第二定律第二定律 mggxlRdtxdm )(222 glRgxlR 22)(gxR2 0222 xmgRdtxd 记记mgR22 0222 xdtxd tctcx sincos21 T2)(25.1952kggRm 3310mkg 28 . 9smg mR25. 0 14. 3 三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1

7、110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一且每一项各含一个任意常数个任意常数.nnyCyCyCy 2211实重根实重根复单根复单根复重根复重根实单根实单根几种情况几种情况每个根对应通解中的一项每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为具体分为例例50)4( yy解解 特征方程为特征方程为014 r解得解得jrr 4 , 32 , 1

8、, 1故所求通解为故所求通解为xcxcececyxxsincos4321 例例6 6.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy解解特征方程为特征方程为, 01222345 rrrrr0) 1)(1(22 rr, 0)1)(1(22 rr特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不

9、同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 0 qyypy02 qprr 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式 实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1 xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 练练 习习 题题一一、 求求下下列列微微分分方方程程的

10、的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. . 三、三、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程求作一个二阶常系数齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . . 四、四、设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突然放开向下压后突然放开, , 浮筒在水中上下振动的浮筒在水中上下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . . 练习题答案练习题答案一一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ；