第8章因子分析

1、上页上页 下页下页第二节第二节 因子分析的数学模型因子分析的数学模型第一节第一节 什么是因子分析什么是因子分析上页上页 下页下页第一节第一节 什么是因子分析什么是因子分析 因子分析是将具有复杂关系的一组变量综合为数学较因子分析是将具有复杂关系的一组变量综合为数学较少的几个因子，并找出原变量和因子之间的相互关系。少的几个因子，并找出原变量和因子之间的相互关系。 例如，为了解学生的学习能力，对学生进行抽样命题例如，为了解学生的学习能力，对学生进行抽样命题考试，考试题包括的面很广，但总的来讲可归结为学生考试，考试题包括的面很广，但总的来讲可归结为学生的数学推导、语文水平、记忆能力、逻辑推理能力、艺的

2、数学推导、语文水平、记忆能力、逻辑推理能力、艺术修养、历史知识六个方面术修养、历史知识六个方面 我们将每个方面称为一个公共因子，每个学生的成绩我们将每个方面称为一个公共因子，每个学生的成绩均由这六个因子确定，即第均由这六个因子确定，即第i个学生的考试分数个学生的考试分数Xi能用这能用这六个公共因子六个公共因子Y1、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6的线性组合表示出的线性组合表示出来，即可以表示为：来，即可以表示为：上页上页 下页下页iiiiiiFFFx662211ni, 1 称称 是不可观测的潜在因子。是不可观测的潜在因子。n个变量个变量Xi i共共享这六个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被享这

3、六个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的包含的部分部分 ，称为，称为xi 的特殊因子。的特殊因子。 因子分析因子分析(factor analysis)是一种数据简化技术是一种数据简化技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个的基本结构，并用少数几个假想变量假想变量来表示其基本的数据结来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是

4、不可观测的潜在变量，称为因子。在变量，称为因子。621FFF，i上页上页 下页下页 例：例：为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了8项竞争力评价指标。它们是项竞争力评价指标。它们是X1：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元）：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元）X2：财政收入（万元）：财政收入（万元）X3：地区生产总值（亿元）：地区生产总值（亿元）X4：城市用水普及率（：城市用水普及率（%）X5：城市燃气普及率（：城市燃气普及率（%）X6：每万人拥有公共汽车车辆（标台）：每万人拥有公共汽车车辆（标台）X7：人均城市道路面积（平方米）：人均城市

5、道路面积（平方米）X8：人均公园绿地面积（平方米）。：人均公园绿地面积（平方米）。 试利用因子分析法对全国试利用因子分析法对全国31个地区的竞争力水平进行综个地区的竞争力水平进行综合评价。合评价。上页上页 下页下页一、一、因子分析数学模型（按列）因子分析数学模型（按列） 设 个随机变量，如果表示为iX), 2 , 1(pipimimiiFaFaX11)(pm 111121112212222212mmppppmpmXFXFXF或 AFX或上页上页 下页下页 称称 为公共因子，是不可观测的变量，为公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能是特殊

6、因子，是不能被前被前m个公共因子包含的部分。并且满足：个公共因子包含的部分。并且满足： ， 不相关；不相关；即即 互不相关，方差为互不相关，方差为1 1。mFFF,21i0),cov(F,FIFD111)(mFFF,21上页上页 下页下页22221)(pD 即互不相关，方差不一定相等即互不相关，方差不一定相等， 。), 0(2iiN上页上页 下页下页 二、随机向量的均值、协方差阵、相关阵二、随机向量的均值、协方差阵、相关阵1 1、设随机向量、设随机向量 TpTpXEXEXEXXXEXE)(,),(),(),()(2121，TpXXXX),(21)()()(TXEXXEXEXD)(),(),()

7、,()(),(),(),()(2122121211pppppXDXXCovXXCovXXCovXDXXCovXXCovXXCovXD则则 X 的均值为的均值为2 2、随机向量随机向量X 的的协方差矩阵为协方差矩阵为 )()(),(jjiijiXEXXEXEXXCov其中，其中，上页上页 下页下页3 3、随机向量随机向量 X 与与 Y 的协方差矩阵的协方差矩阵)()(),(TYEYXEXEYXCov若若Cov ( X, Y ) = 0， 则称则称 X 与与 Y 不相关。不相关。4 4、随机向量、随机向量 X 的相关矩阵的相关矩阵)()(),(,)(jijiijppijXDXDXXCovrrR 上

8、页上页 下页下页性质：设性质：设 X、Y 是随机向量，是随机向量，A、B 是常数矩阵，则是常数矩阵，则（2）E (AX) = AE(X)（1）D ( X ) = Cov ( X, X )（3）E(AXB)=AE(X)B（4）D(AX)=AD(X)AT（5）Cov (AX, BY) = ACov (X,Y)BT上页上页 下页下页1、因子载荷矩阵、因子载荷矩阵A的统计意义。的统计意义。mjjijijjiYYaCovYXCov1),(),(由于由于又又 上两式表明，上两式表明，aij 既是第既是第i个变量个变量Xi与第与第j个公共因子个公共因子Yj的的协方差，又是协方差，又是Xi与与Yj的相关系数，

9、的相关系数，aij反映了第反映了第i个变量个变量Xi与与第第j个公共因子个公共因子Yj的相关程度，即的相关程度，即Xi在在Yj上的相对重要性。上的相对重要性。mjijjijjijaYCovYYaCov1),(),(ijjijijiijaYXCovYDXDYXCov),()()(),(上页上页 下页下页 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定义：定义：称称因子载荷矩阵因子载荷矩阵A中中第第i行元素的平方和（行元素的平方和（行方和行方和）iX统计意义统计意义：imimiiFaFaX11两边求方差两边求方差 )()()()(2112imimiiDFDaFDaXDmjiija1221所有

10、的公共因子和特殊因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为的贡献为1 1。如果。如果 非非常靠近常靠近1 1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。因子空间的转化性质好。iXmjija122i。mjijiah122为变量为变量 的共同度的共同度上页上页 下页下页 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义jF 因子载荷矩阵因子载荷矩阵A中各列元素的平方和（中各列元素的平方和（列方和列方和） 称为称为 对对X的全部分量的全部分量X1，X2，,Xp的总贡的总贡献。献。Sj是衡量第是衡量第j

11、j个公共因子相对重要性的一个指标，个公共因子相对重要性的一个指标，Sj j越大，越大，表明表明Yj j对变量对变量X X的贡献也越大。若把矩阵的贡献也越大。若把矩阵A的各列平方和都计的各列平方和都计算出来，使得算出来，使得),(1212jipipiijjFxraS), 1(mjjFmSSS21 据此，可以找出最重要的公共因子，并依次递减，因此，据此，可以找出最重要的公共因子，并依次递减，因此，问题归结为因子载荷矩阵问题归结为因子载荷矩阵A的估计的估计上页上页 下页下页 1 1、原始变量、原始变量X的协方差矩阵的分解的协方差矩阵的分解X- = AF+()( )( )VarVarVarX- = A

12、F A +x = AA +DA是因子模型的系数22212( )(,)pVardiagD D 的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成分越多分越多。上页上页 下页下页 将原始变量将原始变量X 作变换作变换 X*=CX, 这里这里 Cdiag(c1,c2,cn),ci0。)C(X-) =C(AF+CXC+CAF+C*XC+CAF +C*X +A F +则*,FFXCX C ACAC令， 上页上页 下页下页*()( )EEFF0*()()( )EEECC0*( )()VarVarC*cov()cov()()EF ,F,CF C0( )VarC C222

13、12(,)pdiag原始变量变换后的因子也满足条件因子模型的条件原始变量变换后的因子也满足条件因子模型的条件*()( )VarVarFFI上页上页 下页下页 设设T为一个为一个pp的正交矩阵，令的正交矩阵，令A*=AT，F*=TF，则模型可以表示为，则模型可以表示为*X+ATTF+A F +X - = AF + 上页上页 下页下页*()()EEFT F0( )E0*()()( )VarVarVarFT FTF TI22212( )(,)pVardiag*cov()()EF ,F 0新的因子也满足因子模型的条件新的因子也满足因子模型的条件上页上页 下页下页 设随机向量设随机向量 的均值为的均值为

14、，协方差为，协方差为, 为为 的特征根，的特征根， 为对应的为对应的标准化特征向量。标准化特征向量。pxxx,21x021pp21u,u,uUUp21一、基于样本相关矩阵的主成分分解法一、基于样本相关矩阵的主成分分解法上页上页 下页下页 上式给出的上式给出的表达式是精确的，然而它仅有理论上的意表达式是精确的，然而它仅有理论上的意义，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释。考虑义，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释。考虑到后面的特征根均非常小，故略去后面的到后面的特征根均非常小，故略去后面的p-m项的贡献。项的贡献。pp2211uuuuuup21p2uuuuuuppp2112211A

15、A 上页上页 下页下页 1121122mmpm2uuuuuu12mmm1122AAu uu uu u1122mmAuuu上页上页 下页下页 例例1 1 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨，通货膨胀率胀率 ，失业率，失业率 ，相关系数矩阵为，相关系数矩阵为 试用主成分分析法求因子分析模型。试用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x11/51/51/512/51/52/51上页上页 下页下页 特征根为特征根为： 55. 11 85. 02 6 . 03 0.475 1.550.883 0.850.629 1.550.331 0.850.629 1.550.331 0.85A0

16、.4750.88300.6290.3310.7070.6290.3310.707U0.5690.8140.7830.3050.7830.305上页上页 下页下页 可取前两个因子可取前两个因子F1和和F2为公共因子，第一公因子为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对物价就业因子，对X的贡献为的贡献为1.55。第二公因子。第二公因子F2为投资因子，对为投资因子，对X的贡献为的贡献为0.85。211814. 0569. 0FFx2120.7830.305xFF3120.7830.305xFF 上页上页 下页下页 主因子方法是对主成分方法的修正。假定对主因子方法是对主成分方法的修正。假定对X的的相关

17、阵相关阵R=（rij）首先进行标准化变换。则）首先进行标准化变换。则 R=AA+D R*=AA=R-D称称R*为约相关矩阵，为约相关矩阵，R*对角线上的元素是对角线上的元素是 ,而不是而不是1，D =D()。即。即21i上页上页 下页下页2122*2pRRAA)()()()()(DAADAYDAYDXD上页上页 下页下页 我们在前面已经讨论了因子载荷矩阵我们在前面已经讨论了因子载荷矩阵A的列平方和的列平方和是是 piijjaS12), 1(mj上页上页 下页下页 S Sj j是是F Fj j对所有的对所有的X Xi i（i=1i=1，2 2，p)p)的方差的方差贡献，用来衡量贡献，用来衡量F

18、Fj j的相对重要性。因此我们希望的相对重要性。因此我们希望先求出贡献大的因子，然后再依次求出贡献相先求出贡献大的因子，然后再依次求出贡献相对较小的因子。由因子模型可知对较小的因子。由因子模型可知R*=AA,即 为R*=AA中的元素,ai(i=1(i=1，2 2，p)p)是载荷矩阵的第i行。jiijaar*上页上页 下页下页 设使设使S S1 1最大的向量为最大的向量为 ，显，显然向量必须满足然向量必须满足p2个约束条件，个约束条件， 因此这是一个条件极值的问题，用拉格朗日乘数因此这是一个条件极值的问题，用拉格朗日乘数法有目标函数法有目标函数111211pAaaa2*11111()22ppij

19、ijijijTSra a*ijijra a上页上页 下页下页 可以证明，使目标函数可以证明，使目标函数T最大的最大的 S S1 1是是R*=AA的最的最大的特征根，大的特征根，其单位特征向量为其单位特征向量为u1 ，有有 1111111AAuu 即列平方和是第一个最大的特征根。依次类推，在即列平方和是第一个最大的特征根。依次类推，在不同的约束条件下，可以求得载荷矩阵的其他列，依次不同的约束条件下，可以求得载荷矩阵的其他列，依次为按降幂排列的特征根，其列为为按降幂排列的特征根，其列为 。 jju上页上页 下页下页 若若 ， 。而有非零特征。而有非零特征根对应得特征向量分别为根对应得特征向量分别为

20、 m101pmm21u,u,ummA21uuu21mmAuuu2121上页上页 下页下页2112122122212111ppppprrrrRrrR-D 直接求直接求R*的前的前p个特征根和对应的正交特征向量。个特征根和对应的正交特征向量。 得如下的矩阵得如下的矩阵：上页上页 下页下页*1122ppAuuu*1pR特征根：*12,pu uu正交特征向量：上页上页 下页下页21222pRR 当特殊因子当特殊因子 的方差的方差已知，问题非常好解决。已知，问题非常好解决。i*11*221122*ppppuuuuuu上页上页 下页下页*1122mmAuuu2121100phhD221iih 上页上页 下

21、页下页 在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的，可在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的，可以通过一组样本来估计。以通过一组样本来估计。估计的估计的方法有如下几种：方法有如下几种： 首先，求首先，求 的初始估计值，构造出的初始估计值，构造出 2ih*R 1）取取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价；，在这个情况下主因子解与主成分解等价； 12ih上页上页 下页下页 2）取取 ， 为为xi与其他所有的原始变量与其他所有的原始变量xj的复的复相关系数的平方，即相关系数的平方，即xi对其余的对其余的p-1个个xj的回归方程的的回归方程的判定系数，这是因为判定系数，这是因为xi 与公共因子的

22、关系是通过其余与公共因子的关系是通过其余的的p-1个个xj 的线性组合联系起来的；的线性组合联系起来的；22iiRh 2iR 3）取取 , , 这意味着取这意味着取xi与其余的与其余的xj 的简单相关系数的绝对值最大者；的简单相关系数的绝对值最大者；)( |max2ijrhiji 4 4）取）取 ，其中，其中 是是 的对角元素。的对角元素。iiirh/12iir1R上页上页 下页下页 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，通货膨胀率 ，失业率，失业率 ，相关系数矩阵为相关系数矩阵为试用主因子分析法求因子分析模型。假定用试用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的代替初

23、始的 ， 。1x2x3x11/51/51/512/51/52/51)( |max2ijrhiji2ih52,52,51232221hhh*1/51/51/511111/52/52/512251/52/52/5122R上页上页 下页下页 特征根为特征根为： 9123. 010877. 0203 对应的非零特征向量为对应的非零特征向量为：261. 0657. 0261. 0657. 0929. 0369. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0929. 09123. 0369. 0077. 0628. 0077. 0

24、628. 0275. 0352. 0上页上页 下页下页1211275. 0352. 0FFx2212077. 0625. 0FFx3211077. 0682. 0FFx新的共同度为：18129. 0275.352. 02221oh3966. 0077. 0625. 02222h4710. 0077. 0682. 02223h上页上页 下页下页 建立因子分析的目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进建立因子分析的目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进

25、行一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向载荷矩阵每列或行的元素平方值向0 0和和1 1两极分化。有三种主两极分化。有三种主要的正交旋转法：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。要的正交旋转法：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。一、为什么要旋转因子一、为什么要旋转因子上页上页 下页下页2f1f1f2f1f2f图1 因素载荷图图2 坐标轴旋转载荷

26、图直角坐标系由两个因子张成。直角坐标系由两个因子张成。x1x2x5x9x4x3x7x8x10 x6上页上页 下页下页 因素旋转的目的是想通过改变坐标轴的位置，重新分配因素旋转的目的是想通过改变坐标轴的位置，重新分配各个因素所解释变异的比例，使因素结构更为简单，更易于各个因素所解释变异的比例，使因素结构更为简单，更易于解释。因素旋转不会改变模型对数据的拟合程度，也不会改解释。因素旋转不会改变模型对数据的拟合程度，也不会改变每个变量的共通性，但却会改变因素的变异数贡献。所谓变每个变量的共通性，但却会改变因素的变异数贡献。所谓简单的因素结构是指每个变量在尽可能少的因素上有比简单的因素结构是指每个变量

27、在尽可能少的因素上有比较高的负荷。以因素为轴，因素负荷为坐标而作图，则每个较高的负荷。以因素为轴，因素负荷为坐标而作图，则每个变量是该空间中的一个点，该图称为因素负荷图。如图变量是该空间中的一个点，该图称为因素负荷图。如图1和和图图2所示。所示。上页上页 下页下页 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 上页上页 下页下页102. 017. 002. 001. 039. 018. 008. 0

28、09. 007. 0124. 034. 018. 013. 017. 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051. 034. 0142. 035. 0159. 01上页上页 下页下页 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于

29、是考虑旋转因子，得下表 上页上页 下页下页变量共同度0.844*0.1360.156-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0790.72-0.0360.1760.762*0.2170.66-0.0480.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.934*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6

30、X7X8X9X10X上页上页 下页下页 通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑， 跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷， 可以称为短跑速度因子； 铅球， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子； 百米跨栏， 撑杆跳远， 跳远和为 跳高在 上有较大的载荷， 爆发腿力因子； 长跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X上页上页 下页下页设设正交矩阵，作正交变换，B是新的载荷矩阵111211112121222212221212mmmmpppmmmmmaaaaaaaaa BA（二）旋转方法（二）旋转方法()()ijbij ai是A第

31、i行，rj是 的第j列。上页上页 下页下页22211( )()mmiijjjhbijBa 变换后因子的共同度变换后因子的共同度没有没有发生变化！发生变化！1()mj ijjia a1()mjijjia a iia aiia a上页上页 下页下页设设 正交矩阵，作正交变换正交矩阵，作正交变换BA()()ijp mbijBa 22211( )()ppjijiiSbijBa 1pi jiij a a jj A A变换后因子的贡献发生了变化！变换后因子的贡献发生了变化！1pijiija a上页上页 下页下页 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使载方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使载荷

32、矩阵每列的元素向两极（荷矩阵每列的元素向两极（0 0或或1 1）分化，或等价地使载荷）分化，或等价地使载荷矩阵每列的元素平方的方差最大。因为当只有少数几个变矩阵每列的元素平方的方差最大。因为当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。量在某个因子上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。 （1）方差最大法方差最大法3 3、旋转方法、旋转方法上页上页 下页下页2122211211ppaaaaaaA221122212122121111FaFaXFaFaXFaFaXppp上页上页 下页下页cossinsincosTcossinsincosBATA111211121211cossin

33、sincoscossinsincosppppaaaaaaaa111212ppbbbb上页上页 下页下页1,2, ;1,2ijijibdip jh令2211(pjijiddp这是列和）max)()(1212 mjpijijddV简化准则为：2iihh上页上页 下页下页00V令，则可以解出0000cossinsincosT旋转矩阵为：上页上页 下页下页41 2223122/4()/cc cptgcccp11piicu21piic2231()piiicu41piiicu2212iiiiiaauhh1222iiiia ah上页上页 下页下页 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转四次方最大旋

34、转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子解释是最简单的。上又非零的载荷，这是的因子解释是最简单的。 四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。平方的方差达到最大。 (2) (2) 四次方最大旋转四次方最大旋转上页上页 下页下页22111()maxppijijQbp224221111111()(2

35、)ppppijijijijijQbbbppp422111111112ppppppijijijijijbbpp422111111112ppppppijijijijijbbpp 4112ppijijppbpp411pmijijQbMAX最终的简化准则为：4411111ppppijijijijpbbp上页上页 下页下页 等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求Q Q和和V V的加权平均最大。的加权平均最大。 权数权数 等于等于m/2，与因子数有关。，与因子数有关。(3) (3) 等量最大法等量最大法 最终的简化规则为：最终的简化规则为：42 211

36、11() /ppmmijijijjiEbbpMAX上页上页 下页下页 当公共因子数当公共因子数m2时，我们可以逐次对每两个公共因子时，我们可以逐次对每两个公共因子进行上述的旋转，一轮两列配对，旋转共进行上述的旋转，一轮两列配对，旋转共m(m-1)/2次，记旋次，记旋转矩阵为转矩阵为T1。然后进行第二轮，记旋转矩阵为。然后进行第二轮，记旋转矩阵为T2。如此类推如此类推记下第记下第s轮的因子旋转矩阵，如果记轮的因子旋转矩阵，如果记Vs是每轮的各列元素平是每轮的各列元素平方的相对方差之和，则必然有，方的相对方差之和，则必然有， V1 V2 Vs1 当当Vs 收敛了，或稳定了，则旋转停止了。旋转矩阵收

37、敛了，或稳定了，则旋转停止了。旋转矩阵则则是这矩阵是这矩阵T1， T2， Ts1和和 Ts 的乘积。的乘积。上页上页 下页下页( ),111cos( )sin( )sin( )cos( )11ki jijmT第第 i 列和第列和第 j 列的旋转矩阵列的旋转矩阵上页上页 下页下页 1 1、因子得分的概念、因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子作其他的研观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子作其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进究，比如把得到的因子作为自变

38、量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。公共因子的值。上页上页 下页下页 人均要素变量因子分析。对我国人均要素变量因子分析。对我国3131个省市自治区的要素状个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：况作因子分析。指标体系中有如下指标：X1 X1 ：人口（万人）：人口（万人） X2 X2 ：面积（万平方公里）：面积（万平方公里）X3 X3 ：GDPGDP（亿元）（亿元） X4 X4 ：人均水资源（立方米：人均水资源（立方米/ /人）人）X5X5：人均生物量（吨：人均生物量（吨/

39、/人）人） X6X6：万人拥有的大学生数（人）：万人拥有的大学生数（人）X7X7：万人拥有科学家、工程师数（人）：万人拥有科学家、工程师数（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.1

40、1041 0.97851 -0.07246上页上页 下页下页 高载荷指标 因子命名 因子1X2；面积（万平方公里）X4:人均水资源（立方米/人）X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子 因子2X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有的科学家、工程师数（人） 人力资源因子 因子3 X1;人口（万人）X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556

41、F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3上页上页 下页下页 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419

42、 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1-0.09901

43、X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7上页上页 下页下页REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0

44、.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三个因子得分前三个因子得分上页上页 下页下页 因子分析的数学模型为因子分析的数学模型为： 1111211221222212mmppppmmXFXFXF 原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷

45、矩阵旋转之原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原标量的线性组合。把公共因子表示为原标量的线性组合。 因子得分函数： pjpjjXXF11mj, 1 可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于由于pm，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。上页上页 下页下页巴特莱特因子得分计算方法的思想巴特莱特因子得分计算方法的思想 ：把把 看作因变量；看作因变量；把因子

46、载荷矩阵把因子载荷矩阵 看成自变量的观测；看成自变量的观测；把某个个案的得分把某个个案的得分 看着最小二乘法需要求的系数看着最小二乘法需要求的系数 。iixpmppmm212222111211ijF上页上页 下页下页mmpmpppipmmimmifafafaxfafafaxfafafax221122222121221121211111 由于特殊因子的方差相异，所以用加权最小二乘法求得分。由于特殊因子的方差相异，所以用加权最小二乘法求得分。min/)()(1222211pjimimiiiijfafafax上页上页 下页下页 用矩阵表达：用矩阵表达：x- = AF +1()()minx-AF Dx

47、-AF满足上式的满足上式的F F是相应个案的因子得分。是相应个案的因子得分。2112200D其中上页上页 下页下页111D (x-) = D AF+D 1-1-1AD (x-) = AD AF+AD -1-1A D (x-) = A D AF1-1-1A D AA D (x-) = F1()()0 x-AF Dx-AFF12()0A Dx-AF1( )0A D上页上页 下页下页111121112212222212mmppppmmnXFXFXFpjpjjXbXbF11mj, 1mmpmmppbbbbbbbbbbbb212122221112111) 1) 思想思想上页上页 下页下页)(jiFxij

48、FXEji)(11pjpjiXbXbXEipjpijbb11jpjjipiibbbrrr2121 则，我们有如下的方程组则，我们有如下的方程组：上页上页 下页下页pjjjjpjjppppppaaabbb2121212222111211j=1,2,m矩阵为原始变量的相关系数pppppp212222111211上页上页 下页下页个因子得分函数的系数为第 jbbbjpjj21列为载荷矩阵的第 jaaapjjj21上页上页 下页下页111212122212ppmmmpbbbbbbbbbB112mFFFFBXR XRB = A上页上页 下页下页 (1)(1) 在因子模型中，假设在因子模型中，假设 服从（

49、服从（m+p) )元的元的正态分布，有正态分布，有F( )( )EEE FF0 xxVE FFFx-xx-上页上页 下页下页()()()EEEEFFF x- x- Fx- x-()()IEEF x-x- F()()IEEF AF+AF+ FIAA上页上页 下页下页()E-1-12F/x-A +A x21xx这是一个对于给定的的多元回归模型。1()A x122()(E-1-11122212222x / x - )+ x则1FA(AA +D) (x-)可见1111222122Varxx因为上页上页 下页下页 国家发展的最终目标，是为了全面提高全体国民的生活国家发展的最终目标，是为了全面提高全体国民

50、的生活质量，满足广大国民日益增长的物质和文化的合理需求。在质量，满足广大国民日益增长的物质和文化的合理需求。在可持续发展消费的统一理念下，增加社会财富，创自更多的可持续发展消费的统一理念下，增加社会财富，创自更多的物质文明和精神文明，保持人类的健康延续和生生不息，在物质文明和精神文明，保持人类的健康延续和生生不息，在人类与自然协同进化的基础上，维系人类与自然的平衡，达人类与自然协同进化的基础上，维系人类与自然的平衡，达到完整的代际公平和区际公平到完整的代际公平和区际公平( (即时间过程的最大合理性与即时间过程的最大合理性与空间分布的最大合理化空间分布的最大合理化) )。 从从19901990年

51、开始，联合国开发计划署年开始，联合国开发计划署(UYNP)(UYNP)首次采用首次采用“人文人文发展系数发展系数”指标对于国民生活质量进行测度。人文发展系数指标对于国民生活质量进行测度。人文发展系数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的健康状况利用三类内涵丰富的指标组合，即人的健康状况( (使用出生使用出生时的人均预期寿命表达时的人均预期寿命表达) )、人的智力程度、人的智力程度( (使用组合的教育成使用组合的教育成就表达就表达) )、人的福利水平、人的福利水平( (使用人均国民收入或人均使用人均国民收入或人均GDPGDP表达表达) )，并且特别强调三类指标组合的整体表达内涵，去衡量一个国并且特别

52、强调三类指标组合的整体表达内涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。例例1、国民生活质量的因素分析、国民生活质量的因素分析上页上页 下页下页在这个指标体系中有如下的指标：在这个指标体系中有如下的指标：X X1 1预期寿命预期寿命X X2 2成人识字率成人识字率X X3 3综合入学率综合入学率X X4 4人均人均GDPGDP（美圆）（美圆）X X5 5预期寿命指数预期寿命指数X X6 6教育成就指数教育成就指数X X7 7人均人均GDPGDP指数指数上页上页 下页下页 旋转后的因子结构旋转后的因子结构 Rotated

53、 Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 0.81714 X2 0.12166 0.84828 0.45981 X3 0.64803 0.61822 0.22398 X4 0.90410 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 0.80848 X6 0.28207 0.85325 0.43289 X7 0.90091 0.20612 0.35052 FACTOR1为经济发展因子为经济发展因子 FACTOR2为教育成就因子为教育成就因子 FACTOR3为健康水平因子为健康水平因子上页上页 下

54、页下页 被每个因子解释的方差和共同度被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates: Total = 6.725507 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 上页上页 下页下页 Standardized Scoring Coefficients标准化得分系数标准

55、化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 *6*5*4*3*2*109230. 017918. 05399. 035462. 024109. 018875. 01xxxxxxf*6*5*4*3*2*162258. 031604. 017336. 050232. 060335. 034397. 02xxxxxxf*6*5*4*3*2*124876. 081490. 010335. 059895. 010234. 085077. 03xxxxxxf上页上页 下页下页 生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，进行多元回归分析，最终结果