第一章离散时间信号及系统

1、离散时间信号与系统离散时间信号与系统Discrete Time Signals and Systems本章主要内容TopicsTopicsn离散时间信号离散时间信号n采样采样n离散信号的傅氏变换与离散信号的傅氏变换与Z变换变换n离散时间系统离散时间系统n系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1.1 离散时间信号(1)单位脉冲序列0, 00, 1)(nnn单位脉冲序列functionf,k=impseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);Impseq(0,-5,5)(2)单位阶跃序列0, 00, 1)(nnnu单位阶跃序列functionf,

2、k=stepseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);stepseq(0,-5,5)(3)矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n(4)实指数序列)()(nuanxnfunctionf,k=expseq(a);k=0:10;f=a.k;stem(k,f);指数序列expseq(0.9）(5)正弦序列x(n) = sin（n0）functionf,k=sinseq(a);k=0:39;f=sin(a.*k);stem(k,f);正弦序列sinseq(pi/6);(6)复指数序列0()00( )(cossin)jnnx nAe

3、Aenjn 当当0时时x(n)的实部和虚部的实部和虚部分别是余弦和正弦序列分别是余弦和正弦序列。 x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).序列的运算1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(绝对可和序列xBnx)(有界序列 序列的运算序列的运算序列的运算序列的运算5、实序列的偶部和奇部)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo6、序列的单位脉冲序列表示)()()(mnmxnxm1.2 采样

4、对信号进行时间上的离散化，这是对信号作对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。数字化处理的第一个环节。研究内容：研究内容：n信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）n信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）信号、如何不失真地还原信号）n由离散信号恢复连续信号的条件由离散信号恢复连续信号的条件1.采样过程 采样的这些性质对离散信号和系统的分采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。样过程。 采样器一般

5、由电子开关组成，开关每隔采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。现一次采样。 连续时间信号的采样采样器)(txa)(txpP(t)TTfs1T为采样周期，为采样周期，fs为采样频率为采样频率如开关每次闭合如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复秒，则采样器的输出是一串重复周期为周期为T，宽度为，宽度为的脉冲，的脉冲，(如图如图)脉冲的幅度是这段脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度时间内信号的幅度(如图如图)，这一采样过程可看作是一，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串

6、周期为T、宽度为、宽度为的的矩形脉冲矩形脉冲，以，以P(t)表示表示,调制信号是输入的连续信号调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为则采样输出为 一般一般很小很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tptxtxap采样过程2. 理想采样 开关闭合时间开关闭合时间0时，为理想采样。时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬

7、间的幅度。确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：即：理想采样理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，表示这个冲激载波，用M(t)表示nnTttM)()(则有则有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()(1.61.71.8理想采样 实际情况下，实际情况下，0 0达不到，但达不到，但T(35) (35) maxmax。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤

8、波器（抗混叠滤波），阻止高于性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于 S S/2/2频率分量进入。频率分量进入。3-5倍倍4采样的恢复（恢复模拟信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有有202)()(ssaajXjXmsaajmjXTjX)(1)()(1)(jXTjXaa S/2 将采样信号将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率 S/2，

9、特性如图特性如图)(txa202)(ssTjGG(j)g(t)G(j) T xa(t) y(t)=xa(t) 0 S/2 采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： )()(jGjXjYa)(jXa)( jXjYa由于在由于在| | |=0部分）进行变换部分）进行变换的的z变换，其定义为变换，其定义为单边单边z变换只在少数情况下与双边变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边变换看成是双边z变变换的一种特例，即因果序列情况下的双边换的一种特例，即因果序列

10、情况下的双边z变换。变换。0)()(nnznxzX三、 z变换的收敛域 一般，序列的一般，序列的Z变换变换 并不一定对任何并不一定对任何z值值都收敛，都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面平面的收敛域应满足的收敛域应满足 因为对于实数序列，因为对于实数序列， nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()(因此，因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为个范围一般表示为 Rx-

11、|z|Rx+ 这就是这就是收敛域收敛域，一个以，一个以Rx-和和Rx+为半径的两个圆所围为半径的两个圆所围成的环形区域，成的环形区域，Rx-和和Rx+称为称为收敛半径收敛半径，Rx-和和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为为Rx-等于等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。圆。1.22 z变换的收敛域变换的收敛域 jImzRx+Rx-Rez0例例1.求求x1(n)=anu(n)和和x2(n)=-anu(-n-1)的的z变换变换解：解：azazzazXazazzazXnnnnnn11210111

12、)(11)(RezRezjImzjImz这里主要讨论以下四种序列：这里主要讨论以下四种序列：(1) (1) 有限长序列有限长序列序列序列 ( (序列序列x(n)x(n)只在有限长度只在有限长度n n1 1nn2 2 内有值，其余为零内有值，其余为零) )其其Z Z变换变换X X（z z）是）是有限项的级数和，只要级数每一项有界有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，有限项和也有界，所以有限长序列，所以有限长序列z z变换的收敛域取决于变换的收敛域取决于|z|z|-n-n，n1nn2n1nn2。 显然显然 |z| |z| 在整个开域（在整个开域（0 0，）都能满足以上条件，因此有限）

13、都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除长序列的收敛域是除 0 0 及及 nnnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX1.230 0|z|z|如果对如果对n1n1，n2n2加以一定的限制，如加以一定的限制，如n10n10或或n20n20，则根据，则根据条件条件|z|z|-n-n（n1nn2n1nn2），收敛域可进一步扩大为包），收敛域可进一步扩大为包括括0 0点或点或点的半开域：点的半开域： 0|00021nznz 例例 序列序列x x（n n）=（n n）解：解： 由于由于n1=n2=0n1=n2=0，其收敛域为整个闭域，其收敛域为整个闭域 z z 平面，平面，0|Z

14、|0|Z|，nnzznzX11)()(0例例 矩形序列矩形序列x x（n n）= =R RN N（n n）解解 等比级数求和等比级数求和 10)1(2111)()(NnNnnnNzzzzznRzX|0,11)(1zzzzXN(2) 右边序列右边序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nn1时，x（n）=0 收敛域：|z|Rx- ,为收敛半径Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX1.24右边序列中最重要的一种序列是右边序列中最重要的一种序列是 “ “因果序列因果序列” ” ，即即n1 0n1 0的右边序列，因果序列只在的右边序列，因果序列只在n0n0有值，有值，n0nn2时，x（n）=0

15、 收敛域： |Z|Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域: Rx-|z|Rx-如果Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛.1.261.27z变换小结nZ 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x（n）=（n）的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。 nZ 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）四、逆z变换 已知函数已知函数X(z)X(z)及其收敛域，反过来求序列及其收敛域，反过来求序列x(n)x(n)的变换称为的变换称为逆逆

16、z z变换变换，常用，常用Z Z-1-1x(z)x(z)表示。表示。若若 则逆则逆z z变换为：变换为： 逆逆z z变换是一个对变换是一个对X X（z z）z zn-1n-1进行的围线积分，积分路径进行的围线积分，积分路径C C是一条在是一条在X X（z z）收敛环域（）收敛环域（Rx-Rx-，Rx+Rx+）以内）以内反时针方向绕原点一周的单围线反时针方向绕原点一周的单围线。xxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc1.291.30围线积分路径证： 设积分路径设积分路径C在半径为在半径为R的圆上，即的圆上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，则，则 m

17、cmncnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(21nmkkkdeRdjeRjdzzjjkkcjkjkck,00012Re2121)1(11这个公式称为这个公式称为柯西积分定理柯西积分定理。因此因此 或或 mcmnnxdzzjmx)(21)(1)(),()()(211xxcnRRcnxdzzzXj直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z z反变反变换，求解逆换，求解逆z z变换的常用方法有：变换的常用方法有：幂级数幂级数留数定律法留数定律法部分分式法部分分式法常用序列常用序列z z变换（可直接使用）变换（可直接

18、使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNN五、z变换的性质z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到 、 njnjenxeX)()(njnezenxzXj)()(六、DTFT与z变换1.331.32一个序列一个序列x(n)x(n)的的z z变换为变换为1.31nnznxzX)()(而而x(n)x(n)的的DTFTDTFT为为则(1.31)式为,e令zj 也就是说，采样序列单位圆上的也就是说，采样序列单位圆上的z z变换就等于变换就等于该采样序列的该采样序列的DTFTDTFT七、Parseval定理z变换的重要性质之一若有两序列若有两序列 x（n），），y

19、（n），且），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z|Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z|Ry+ 它们的收敛域满足条件：它们的收敛域满足条件： Rx- Ry-1， Rx+Ry+1则则 其中，其中，C 所在收敛域为所在收敛域为 X(v) 和和 Y*(1/v*) 两者收敛区域的重两者收敛区域的重迭部分迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -ncdvvvYvXjnynx1*)/1(*)(21)(*)(1.34证：令证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性利用复共轭和复卷积特性(p21表表1.3，第，第7和第和第10)：则则 由于假设

20、条件中已规定收敛域满足：由于假设条件中已规定收敛域满足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此，因此， |z|=1 在收敛域内，即在收敛域内，即w（z）在单位圆上收敛，）在单位圆上收敛，w（z）|z=1存在，存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1(又因又因 因此因此 证毕证毕nznnnynxznynxW)(*)()(*)() 1 (1cndvvvYvXnynx1*1*)(21)(*)(1.351.36如果如果 X（v）、）、Y（v）在单位

21、圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时）在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时 ,Parseval 定理的一个定理的一个重要应用重要应用是计算序列能量：是计算序列能量：一个序列值的平方总和一个序列值的平方总和 称为称为“序列能量序列能量” 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。deYeXnynxjjn*)(21)(*)(nnx2)(deXeXnxnxnxjjnn*2)(21*)()()(deXj2| )(|21jev 1.381.37例例3 3 验证序列验证序列x(n)=ex(n)=e-n-nu(n)u(n)满足满足Parseva

22、lParseval定理定理解解11011)(zezezXnnn时域时域2020211| )(|eenxnnn频域频域211111111*11,11111Re1111121)/1()(21eevvevesdvvvevedvvvXvXcC时域和频域中求得的能量均为时域和频域中求得的能量均为211e1.4 离散时间系统 一个离散时间系统在数学上的定义是将输入一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列序列x(n)x(n)映射成输出序列映射成输出序列y(n)y(n)的唯一性变换或运的唯一性变换或运算。算。 y(n)= Tx(n)它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其它的输入是一个序列，输出也是一个序列

23、，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。1.391.39T离散时间系统模型离散时间系统模型 x (n) y(n)对算子对算子TT表示变换，对表示变换，对TT加以种种约束加以种种约束, ,可定义出各类离散时间系统。由于线性时不变系可定义出各类离散时间系统。由于线性时不变系统在数字上容易表征，且它们可以实现多种信号统在数字上容易表征，且它们可以实现多种信号处理功能处理功能 ，因此，将着重讲讨论这类系统。，因此，将着重讲讨论这类系统。T . 满足迭加原理的系统具有满足迭加原理的系统具有线性特性线性特性 即若对两个激励即若对两个激励x1(n)和和x2(n

24、)有有 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 式中，式中，a,b为任意常数。为任意常数。 不满足上述关系的为不满足上述关系的为非线性系统非线性系统。 1. 线性系统1.401.40例例 判断判断y(n)=T(x(n)=7x2(n-1)?解：解：T(ax(n)=7aT(ax(n)=7a2 2x x2 2(n-1)(n-1) aT(x(n)=7ax aT(x(n)=7ax2 2(n-1)(n-1) 而而 T(ax(n)aT(ax(n)T(ax(n)aT(ax(n) 所以系统是非线性的。所以系统是非线性的。例例: : 设一系统的输入输出关系为设一系统的输入输出关系为y(n)=

25、3x(n)+4 y(n)=3x(n)+4 试判断系统是否为线性？试判断系统是否为线性？解：解：TaxTax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)=3ax(n)=3ax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)+4(n)+4 aTx aTx1 1(n)+bTx(n)+bTx2 2(n)(n) =3ax =3ax1 1(n)+4a+3bx(n)+4a+3bx2 2(n)+4b(n)+4b =3ax =3ax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(x)+4(a+b)(x)+4(a+b) 两者不相等，故系统不满足线性系统的的定义，所两者不相等，故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。以系

26、统是非线性系统。如果如果 Tx(n)=y(n)，则则 Tx(n-n0)=y(n-n0)( n0为任意整数为任意整数)即系统的特性不随时间而变化。即系统的特性不随时间而变化。2. 时不变系统又称移不变系统又称移不变系统1.411.41例例 证证y(n)=3x(n)+4是时不变系统是时不变系统证：证： Tx(n-nTx(n-n0 0)=3x(n-n)=3x(n-n0 0)+4)+4 y(n-n y(n-n0 0)=3x(n-n)=3x(n-n0 0)+4)+4 由于二者相等，故是时不变系统由于二者相等，故是时不变系统?)792()()(. 2?)()(. 1nSinnxnymxnynm线性时不变系

27、统线性时不变系统既满足迭加原理又具有时不变性的既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和加权和 如令如令h(n)h(n)为系统对单位脉冲序列的响应，为系统对单位脉冲序列的响应， h(n)=T(n)h(n)=T(n)则系统对任一输入序列则系统对任一输入序列x x（n n）的响应为）的响应为 mmnmxnx)()()(3. 线性时不变系统1.411.41mmnmxTnxTny)()()()(由于系统是线性的，满足迭加定

28、理由于系统是线性的，满足迭加定理mmnTmxny)()()(1.421.42又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。应等于单位脉冲响应的移位。 注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示表示)()(mnhmnTmnhnxmnhmxny)(*)()()()(1.431.43 上式表明：对任何线性时不变系统，可完全上式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应通过其单位脉冲响应h（n）来表示。这个公式和）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线模拟系统的

29、卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。性卷积。 F:/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8D%B7%E7%A7%AF/Page1.htm： 对对 h（ k）绕纵轴折叠，得）绕纵轴折叠，得h（-k）；）； 对对 h（-k）移位得）移位得 h（n-k）；）； 将将 x(k)和和 h(n-k)所有对应项相乘之后相加，所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果得离散卷积结果 y（n）。）。令令k=n-k，做变量代换，则卷积公式变为，做变量代换，则卷积公式变为因此，因此，x(k)与与h(n-k)的位置可对调。（即输入的位置可对调。（即输入为为x（n）、单位脉冲响应为）、单位脉冲响应为h（n）的线

30、性时不）的线性时不变系统与输入为变系统与输入为h（n）、单位脉冲响应为）、单位脉冲响应为x（n）的线性时不变系统具有同样的输出）的线性时不变系统具有同样的输出）离散卷积也称为离散卷积也称为“线性卷积线性卷积”或或“直接卷积直接卷积”，以区别其他种类的卷积。，以区别其他种类的卷积。kknxnhkhknxknhkxny)(*)()()()()()(1.441.44例例6 6 用用MatlabMatlab计算序列计算序列-2 0 1 -1 3-2 0 1 -1 3和序列和序列1 1 2 0 -12 0 -1的离散卷积。的离散卷积。解：解：MatlabMatlab程序如下：程序如下：a=-2 0 1

31、-1 3;b=1 2 0 -1;c=conv(a,b);M=length(c)-1;n=0:1:M;stem(n,c);xlabel(n);ylabel(幅度幅度);-2-413151-34 4、系统的稳定性与因果性、系统的稳定性与因果性线性和时不变两个约束条件定义了一类可用线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。要的限制。稳定系统稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。界输出的系统为稳定系统。当且仅当当且仅当 (充要条件充要条件) 时，该线性时不变系统是

32、稳定的。时，该线性时不变系统是稳定的。kkhs)(1.451.45 因果系统因果系统： 系统的输出系统的输出y（n）只取决于此）只取决于此时，以及此时以前的输入，即时，以及此时以前的输入，即x（n）,x（n-1），），x（n-2）。 非因果系统非因果系统：如果系统的输出：如果系统的输出y（n）不仅）不仅取决于现在和过去的输入，而且还取决于未取决于现在和过去的输入，而且还取决于未来的输入，如来的输入，如x（n+1），），x（n+2），），这，这在时间上就违背了因果规律，因而它是非因在时间上就违背了因果规律，因而它是非因果系统，也即不现实的系统，（不可实现）果系统，也即不现实的系统，（不可实现）

33、因果系统的充要条件因果系统的充要条件：h（n）0，n0（可从可从y（n）=x（n）*h（n）导出）导出）1.461.46例：例： 分析单位脉冲响应为分析单位脉冲响应为h h（n n）= =a an nu u（n n）的线）的线性时不变系统的因果性和稳定性。性时不变系统的因果性和稳定性。解解 既然，既然，n0n0时，时，h h（n n）=0=0，系统是，系统是因果因果的的如果如果 | |a a|1, |1, 则则 如如 | |a a|1 , |1 , 则则s s ，级数发散。，级数发散。故系统仅在故系统仅在| |a a|1|1时才是时才是稳定稳定的。的。kkkakhs| )(|11as例例 设某

34、线性时不变系统，其单位抽样响应设某线性时不变系统，其单位抽样响应为为 h(n)=-anu(-n-1)的因果性和稳定性的因果性和稳定性解解 (1)因果性因果性 n0 时，时，h(n)0 故非因果关系故非因果关系 (2)稳定性稳定性1|1|1|1|11|1|1|)(|11aaaaaaanhnnnnn 稳定的因果系统稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即即 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是

35、最主要的系统。种系统是最主要的系统。nnhnnnhnh|)(|000)()(因果因果稳定稳定 注意：在许多重要系统中，也有非因果的系统，例注意：在许多重要系统中，也有非因果的系统，例如理想低通滤波器。如果考虑到数字信号处理可以非实时如理想低通滤波器。如果考虑到数字信号处理可以非实时的，即使要求实时处理，往往也容许的一定的延时，这时的，即使要求实时处理，往往也容许的一定的延时，这时对于某一个输出对于某一个输出y(n)来说，可以将大量的输入数据来说，可以将大量的输入数据x(n+1),x(n+2),存储在存储器中延迟一段时间后再被调存储在存储器中延迟一段时间后再被调用，从而可以很接近于非因果系统。也

36、就是说，可以具有用，从而可以很接近于非因果系统。也就是说，可以具有一定延迟的因果系统去逼近非因果系统，这也是数字系统一定延迟的因果系统去逼近非因果系统，这也是数字系统优于模拟系统，可以获得接近于理想性的原因。优于模拟系统，可以获得接近于理想性的原因。 5.系统的差分方程描述 一个线性的连续时间系统总可以用线性微一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。映其输入输出序列之间的运算关系。 N阶线性常系数差分方程的

37、一般形式：阶线性常系数差分方程的一般形式：NiMiiiinxainyb00)()(1.471.47 其中其中 ai、bi都是常数。都是常数。一般来说，这类系统不必是因果的。例如，研究如一般来说，这类系统不必是因果的。例如，研究如下的一阶差分方程下的一阶差分方程 y(n)-ay(n-1)=x(n)可以根据上述差分方程引出不同的单位脉冲响应，可以根据上述差分方程引出不同的单位脉冲响应，写成递推关系式写成递推关系式 y(n)=ay(n-1)+x(n)令令x(n)=(n),且假设且假设n0n0时，时，y(n)=0,y(n)=0,令令m=n-1,n=m+1,m=n-1,n=m+1,代入代入（1.481.

38、48）式，得）式，得 y(m+1)=ay(m)+x(m+1)y(m+1)=ay(m)+x(m+1)再用再用n n表示，得表示，得)1() 1(1)(nxnyany1.49a1.49a)1()()()1(1)(.)1()1(1)2()0()0(1)1(0)1()1(1)0(21nuanynhanyanyaxyayaxyayxyaynn1.49b1.49b离散系统差分方程表示法有两个主要用途：离散系统差分方程表示法有两个主要用途： 由差分方程得到系统结构；由差分方程得到系统结构； 求解系统的瞬态响应；求解系统的瞬态响应；X(n)X(n)X(n)Y(n)aT x(n)+y(n) a x(n) x(n

39、-1)运算结构运算结构例：用途一，由一阶差分方程画网络结构例：用途一，由一阶差分方程画网络结构 y（n）=ay（n-1）+x（n） 由此得到它的网络结构如图由此得到它的网络结构如图Ta网络结构网络结构)( nx()yn用途二用途二在给定输入和给定初始条件下，用递推的在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解方法求系统瞬态解例，一阶差分方程系统：例，一阶差分方程系统：其输入为其输入为)1(21)(5 .1)(nynxny0001)()(nnnnx解：初始条件为解：初始条件为 y（n）=0，n0 n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从从n=0求起

40、，由差分方程、初始条件和输入，得：求起，由差分方程、初始条件和输入，得： 依次递推依次递推 稳定、因果系统稳定、因果系统5 . 1) 1(21)0(5 . 1)0(yxy75.0)0(21)1(5.1)1(yxy375. 0215 . 1)0(21)2(5 . 1)2(2yxy)(215 .1)()(nunhnyn输入相同，但初始条件改为输入相同，但初始条件改为 n0，y（n）=0将上述差分方程将上述差分方程 改写成改写成 y（n-1）=2 y（n）-1.5x（n） 此时此时 y（0）=2 y（1）-1.5x(1) =0 依此类推，得到依此类推，得到 非因果、不稳定系统非因果、不稳定系统 、两

41、式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方、两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。的输入和输出关系。) 1(21)(5 . 1)(nynxny1215.1)0(5.1)0(2)1(xyy2215.1)1(5.1)1(2)2(xyy)1(215.1)()(nunhnyn解解 MATLAB程序如下：N=41;a=0.8 -0.44

42、 0.36 0.22;b=1 0.7 -0.45 -0.6;x=1 zeros(1,N-1);k=0:1:N-1;y=filter(a,b,x);stem(k,y)xlabel(n);ylabel(幅度)0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用用MATLAB计算差分方程输出计算差分方程输出1.5 系统的频率响应与系统函数 一、一、 定义定义 在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来来表示一个线性时不变离散系统的输入输出关系，表示一个线性时不变离散系统的输入输出关系， y（n）=x（n）*h（n） 两边同时做两边同时做DTFT,得得1

43、.501.50)()()()()()()()()()()(jjjjjnknjkkjnkjnjeXeYeHeHeXeknhekxeknhkxeY -系统的频率响应系统的频率响应如果对（如果对（1.501.50）作）作Z Z变换变换取取z z变换变换 Y Y( (z z)=)=X X( (z z) )H H( (z z) ) 1.511.511.521.521.531.53则则 定义为定义为系统函数系统函数1）它是单位脉冲响应的）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位变换。所以可以用单位脉冲响应的脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。变换来描述线性时不变离散系统。 2）单位圆上的系统函数就是

44、系统的频率响应）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 可以证明，它是单位脉冲响应可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的的DTFT。 )()()(zXzYzHjez )()()(jjjeXeYeH 当系统可用一线性常系统差分方程表示，系当系统可用一线性常系统差分方程表示，系统函数就是两个多项式之比。统函数就是两个多项式之比。 考虑一个考虑一个N阶差分方程阶差分方程 两边取两边取z变换：变换： NiMiiiinxainyb00)()(NiMiiiiizXzazYzb00)()(1.541.54NiiMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(NiiiMiiizbzazXzYzH00)()()(于

45、是于是 上式也可用因子的形式来表示上式也可用因子的形式来表示 式中式中ci、 di是是H（z）在）在z平面上的零点和极点，平面上的零点和极点， A为比为比例常数。例常数。 整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。1.551.551.561.56 用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。种有效的求系统频率响应的几何方法。 一个一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为阶的系统函数可用它的零极点表示为111111()1( )1MMiiiiNNiiiiMNc zzcH

46、 zAAd zzdAAz系统的频响为系统的频响为: 11MjijiNjiiecHeAed 1.571.57 在在z平面上平面上,ej-ci可用一根由零点可用一根由零点ci指向单位圆上指向单位圆上ej点的点的向量向量 来表示，而来表示，而ej-di可用极点可用极点di指向指向ej的向量的向量 表示表示于是于是 令令分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ej点的点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率来确定，当频率由由02时，这些向量的终点沿单位圆反时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。icidNiiNiijdcAeH11)()(jjjeeHeH1.581.58 其基本原理是，当单位圆上的其基本原理是