量子力学_1.1波函数的统计诠释

1、第1章波函数与波函数与SchrdingerSchrdinger方程方程 1E h,h p并称之为物质波并称之为物质波.E与动量为与动量为 和能量为和能量为 的粒子相应的波的波长的粒子相应的波的波长 和频率和频率 为为p1.1.1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性0m 在在Planck-Einstein的光量子论（光具有的光量子论（光具有波粒二波粒二象性象性）的启发下，面对）的启发下，面对Bohr的原子的量子论取得的的原子的量子论取得的成功和碰到的困难，成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒提出了实物粒子（静质量子（静质量 的粒子，例如电子），也具有波的粒子，例如电子），

2、也具有波粒二象性粒二象性（wave-particle duality）的假设的假设.即即 为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验的结果的结果。 粒子的双缝干涉是最直观地展现粒子的双缝干涉是最直观地展现波粒二象性的实验波粒二象性的实验,也是量子力学中也是量子力学中最难理解的现象最难理解的现象.We can not explain how it works; We will just tell yo

3、u how it works.1.3(a)图图 中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当当只开缝只开缝 时，靶子上子弹的密度分布为时，靶子上子弹的密度分布为 . 1.3 a 1x1 当双缝齐开时，经过缝当双缝齐开时，经过缝 的子弹与经过缝的子弹与经过缝 的子的子弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子弹密度的分布简单地等于两个密度和弹密度的分布简单地等于两个密度和21 1212xxx子弹经过缝子弹经过缝 的运动轨道的

4、运动轨道, 与缝与缝 存在与否，存在与否，并无关系并无关系. 1 2 2 1 2x2当只开缝当只开缝 时时,靶上子弹的密度分布为靶上子弹的密度分布为 ；结论结论1.3(b)图图 给出声波的双缝干涉图像给出声波的双缝干涉图像. 表示一个具有表示一个具有稳定频率稳定频率 的声源的声源,声波经过一个具有双缝的隔音板声波经过一个具有双缝的隔音板,在它后面有一个在它后面有一个“吸音板吸音板”,到达板上的声波将被吸到达板上的声波将被吸收收,并把声波强度分布表示出来并把声波强度分布表示出来. 1.3 bS1212III当只开缝当只开缝 时，显示出声波强度分布用时，显示出声波强度分布用 描述描述.当当只开缝只

5、开缝 时时,强度分布用强度分布用 描述描述.当双缝齐开时，当双缝齐开时，强度分布用强度分布用 描述描述.1 1Ix 2Ix2 12IxBA当只开一条缝时声音很强的地方（例如当只开一条缝时声音很强的地方（例如 点和点和 点）点）,在双缝齐开时在双缝齐开时,声音可能变得很弱声音可能变得很弱.实验表明实验表明原因是由于出现了声波的干涉现象原因是由于出现了声波的干涉现象.下面通过对其干涉项的研究下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典来具体找出经典和量子的区别和量子的区别! 22121221h xhxh x hxhx hx 21212Ixh xhx 1212IxIxIxIx干涉项 2由于干涉项的影响，

6、经典波的强度分布与经典粒由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同子的密度分布大不相同. i22ethx设分别打开缝设分别打开缝 和缝和缝 时的声波用时的声波用 和和 描述，双缝齐开时的声音则用描述，双缝齐开时的声音则用 描述描述 ，因此声波强度分布，因此声波强度分布为为1 i21ethx2 i212eth xhx波的相干叠加性波的相干叠加性人们可以设想，如在图人们可以设想，如在图 所示实验中，用所示实验中，用 分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应该没有什么差异该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的但此时波的强度是代表被

7、测到的 60C 分子的计数单位时间 1.3 b60C人们应如何理解在干涉实验中人们应如何理解在干涉实验中 分子所展现出的这种波粒二象分子所展现出的这种波粒二象性呢性呢？60C 人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的争论，包括波动力学创始人场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrdinger, de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性等在内的一些人，对于物质粒子波动性的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空电子波理解为电子的某种实际结构，即看

8、成三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度速度即电子的运动速度.1.1.2 波粒二象性的分析波粒二象性的分析 522dd0ddgvkkm2= k2m=2k 3稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。例如，在例如，在非相对论情况非相对论情况下，自由粒子能量下，自由粒子能量 利用利用de Broglie关系，可得关系，可得2E= p2mddgvkk mp mv 4所以波包的群速度（见附录所以波包

9、的群速度（见附录 ）为）为A1即经典例子的速度即经典例子的速度.但由于但由于 依赖于依赖于gvk自由粒子的物质波包必然要扩散自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包即使原来的波包很窄很窄,在经历一段时间后在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中也会扩散到很大的空间中去去;或者形象地说或者形象地说,随时间的推移随时间的推移,粒子将越来越粒子将越来越“胖胖”.这与实验是矛盾的这与实验是矛盾的.物质波包的观点显然夸大了波动性一面物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际而实际上抹杀了粒子性的一面上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的是带有片面性的。与物质波相反的另一种看法是与物质波相反的另一种看法

10、是:波动性是由于大波动性是由于大量电子分布于空间形成的疏密波量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气它类似于空气振动出现的纵波振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形即由于分子密度疏密相间而形成的一种分布成的一种分布.这种看法也与实验矛盾这种看法也与实验矛盾. 实际上可以通过做这样的电子衍射实验实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射让入射电子流极其微弱电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器电子几乎一个一个地通过仪器.但但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明这表明电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时电子的波动性并不是很多电子在空

11、间聚集在一起时才呈现的现象才呈现的现象.单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性.事实上事实上,正是正是由于单个点在具有波动性由于单个点在具有波动性,才能理解氢原子（只含一才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象样一些量子现象. 因此因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成把波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一它夸大了粒子性的一面面,而实际上抹杀了粒子波动性一面而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性也带有片面性. 然而电子究竟是什么东西

12、？是粒子？还是波？然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？“电子既不是粒子电子既不是粒子,也不是波也不是波”.更确切地说更确切地说,它既不是它既不是经典例子经典例子,也不是经典的波也不是经典的波.我们也可以说我们也可以说,电子既是粒电子既是粒子子,也是波也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但但这个波不再是经典概念下的波这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念粒子也不是经典概念中的粒子中的粒子.在经典概念下在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体粒子与波的确是难以统一到同一客体上去上去然而究竟应该怎样理解波然而究竟应该怎样理解波粒二象性呢？粒

13、二象性呢？ 把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的微观粒子的“原子性原子性”与波的与波的“相干叠加性相干叠加性”统统一起来的一起来的是是M.Born(1926)提出的概率波提出的概率波. 仔细分析一下实验可以看出，仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的子性，只是经典粒子概念中的“原子性原子性”或或“颗粒颗粒型型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体出现在实验中，但并不与出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道粒子有确切的轨道”的的概念有必然的联系概念有必然的

14、联系.而而电子呈现的波动性，也只不过电子呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西是波动最本质的东西波的相干叠加性，波的相干叠加性，但并不但并不一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起.1.1.3 概率波，多粒子体系的波函数概率波，多粒子体系的波函数 现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子流很微弱，流很微弱，电子几乎是一个一个地经过双缝电子几乎是一个一个地经过双缝，然后，然后在感光底片上被记录下来在感光底片上被记录下来.起初，当感光时间较短时，起初，当感光时间较短时，底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有

15、什么底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有什么规律规律.当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没与点子与点子.最后，底片上的感光点子的密度分布将构成最后，底片上的感光点子的密度分布将构成一个有规律的花样，与一个有规律的花样，与X光衍射中出现的花样完全相光衍射中出现的花样完全相似似，就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强，就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强波）是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不波）是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不同同.这种现象应怎

16、样理解呢？这种现象应怎样理解呢？原来，在底片原来，在底片 点附近干涉花样的强度点附近干涉花样的强度r在在 点附近感光点子的数目点附近感光点子的数目r在在 点附近出现电子的数目点附近出现电子的数目r设干涉波波幅用设干涉波波幅用 描述，与光学中相似，干涉花描述，与光学中相似，干涉花样的强度在空间的分布则用样的强度在空间的分布则用 来描述来描述.但这里干但这里干涉强度涉强度 的意义与经典波根本不同，它是刻画电的意义与经典波根本不同，它是刻画电子出现在子出现在 附近的概率大小的一个量附近的概率大小的一个量. 2 x 2rr r电子出现在电子出现在 附近的概率附近的概率r更确切的说，更确切的说， 表示在

17、表示在 点处的体积元点处的体积元 中找到中找到粒子的概率粒子的概率.这就是这就是Born提出的波函数的提出的波函数的概率诠释概率诠释. 2xx y z rx y z 23d1r全r3dd d drx y z 6这称为这称为波函数的归一化条件波函数的归一化条件.但应该强调，对于但应该强调，对于概率分布来说，重要的是概率分布来说，重要的是相对概率分布相对概率分布.根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为为 ，即要求波函数，即要求波函数 满足下列条件满足下列条件. r1 221122

18、CCrrrr 7不难看出，不难看出， 与与 （ 为常数）所描述的相对概为常数）所描述的相对概率分布是完全相同的。因此在空间任意两点率分布是完全相同的。因此在空间任意两点 和和 处，处， 描述的粒子相对概率为描述的粒子相对概率为1r CrC2r r Cr r与与 描述的相对概率完全相同描述的相对概率完全相同.换言之，换言之， 与与 描述的是同一个概率波描述的是同一个概率波.所以，波函数有一个所以，波函数有一个常数因常数因子不定性子不定性.在这一点上，在这一点上，概率波概率波与与经典波经典波有本质的差有本质的差别别.一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动的一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动

19、的能量将为原来的能量将为原来的4倍，因而代表完全倍，因而代表完全 r Cr不同的波动状态不同的波动状态.正因为如此，正因为如此，经典波根本谈不上经典波根本谈不上“归一化归一化”，而概率波则可以进行归一化，而概率波则可以进行归一化.因为，因为，假设假设则显然有则显然有但但 与与 描述的同一个概率波描述的同一个概率波. 没有归一没有归一化，而化，而 是归一化的是归一化的. 称为称为归一化因子归一化因子. -1 2Ar r-1 2A -1 2Ar r 23d0rA全实常数r平方可积 8 9 231d1rA全r 波函数归一化与否，波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化并不影响概率分布有何变化. 还

20、应提到，即使加上归一化条件，波函数仍然还应提到，即使加上归一化条件，波函数仍然有一个模为有一个模为1的相因子的不定性，或者说，相位不定的相因子的不定性，或者说，相位不定性性.因为，假设因为，假设 是归一化的波函数，则是归一化的波函数，则 （为常实数）也是归一化的，而（为常实数）也是归一化的，而 与与 描述描述的是同一概率波的是同一概率波. ra r eiar eiar2331212,ddrrr r以上讨论的是单个粒子的波函数以上讨论的是单个粒子的波函数.设一个体系包含设一个体系包含两个粒子，波函数用两个粒子，波函数用 表示，其物理意义是表示，其物理意义是12,r r1012,Nr rr注意注意

21、表示测得粒子表示测得粒子 1 在空间体积元在空间体积元 中、同时粒中、同时粒子子 2 在空间体积元在空间体积元 中的概率中的概率.111,dr rr222,dr rr 描述的不是描述的不是 维空间中某种实在维空间中某种实在物理量的波动，而是物理量的波动，而是 维空间中的概率波维空间中的概率波.这个这个 维维空间只不过是标记一个具有空间只不过是标记一个具有 个自由度的体系的坐个自由度的体系的坐标的抽象空间标的抽象空间. 3612,r r66对于对于 个粒子组成的体系，它的波函数表示为个粒子组成的体系，它的波函数表示为N其中其中 分别分别表示各粒子的空间坐标表示各粒子的空间坐标.此时此时1111x

22、 ,y ,z,r2222,xyzr,NNNNrxyz23331212,dddNNrrrr rr表示表示 粒子粒子1出现在出现在 中，中，111,dr rr 同时粒子同时粒子 2 出现在出现在 中，中，222,dr rr同时粒子同时粒子N出现在出现在 中，中，,dNNNrrr23331212ddd=1NN, ,rrr全r rr2d=d 全全，11归一化条件表示为归一化条件表示为以后，为了表述方便，引进符号以后，为了表述方便，引进符号其中其中 代表对体系的全部坐标空间进行积分代表对体系的全部坐标空间进行积分.d全所以所以 描述的是抽象的描述的是抽象的 维维位形空间位形空间（configuratio

23、n space)中的中的概率波概率波.3N12,Nr rrd =dx全111d=ddddddNNNxyzxyz全,1 12d =d d dx y z全这样，这样，归一化条件归一化条件就可以简单表示为就可以简单表示为对于一维粒子对于一维粒子对于三维粒子对于三维粒子对于对于N维粒子组成的体系维粒子组成的体系按照已为衍射实验证实的按照已为衍射实验证实的de Broglie关系，若关系，若 为一个平面单色波（波长为一个平面单色波（波长 ，频率，频率 ），则相应的），则相应的粒子动量为粒子动量为 ，能量为，能量为 .在一般情况下，在一般情况下， 是一个是一个波包波包，有许多平面单色波叠加而成，即含，有许

24、多平面单色波叠加而成，即含有各种波长（频率）的有各种波长（频率）的分波分波.因而相应的粒子动量因而相应的粒子动量（能量）有一个分布，与测量的位置相似，也可（能量）有一个分布，与测量的位置相似，也可以设计某种实验装置来测量粒子的动量，晶体衍以设计某种实验装置来测量粒子的动量，晶体衍射实验就是其中的一种射实验就是其中的一种.=p=E h不难想象，与不难想象，与 表示粒子在坐标空间中的概率表示粒子在坐标空间中的概率密度相似，密度相似， 表示粒子的表示粒子的动量分布动量分布的概率密度的概率密度. 2p 2r1.1.4 动量分布概率动量分布概率 i33 21ed2pp rrp13 i33 21ed2rp

25、 rpr14这里这里 是是 按平面波展开（按平面波展开（Fourier展开）的展开）的波幅，即波幅，即 r p其逆表示为其逆表示为注意注意 代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，所以粒的成分，所以粒子动量为子动量为 的概率与的概率与 成比例是自然的，即粒成比例是自然的，即粒子动量在子动量在 范围中的概率为范围中的概率为 . 2p 2p riep r 23d ppp, +dp pp不难证明不难证明 2233dd1prpr15 3d ppp 33d drrrrrr i33331dd de2prrpr rrr 23d1rr16因为利用公式因为利用公式 及及Fourier积分公式，可得积分公式，

26、可得1417sin,nnnhapa=1,2,3,n1.4下面来分析电子衍射实验（图下面来分析电子衍射实验（图 ）.设电子（动设电子（动量为量为 ）沿垂直方向射到单晶表面，即入射波具）沿垂直方向射到单晶表面，即入射波具有一定波长有一定波长 的平面波，则衍射波将沿一定的平面波，则衍射波将沿一定的角度的角度 出射，出射， 由下式（由下式（Bragg公式）决定公式）决定n=h ppn17式式 给出了衍射角给出了衍射角 （特别是（特别是 ）与入射粒子动）与入射粒子动量量 的确定关系的确定关系.如果入射波是一个如果入射波是一个波包波包，它的，它的每一个每一个Fourier分波（平面波）将各自按照一定的分波

27、（平面波）将各自按照一定的角分布角分布 出射出射.p1nn沿沿 角出射的波的幅度角出射的波的幅度 正比于入射波包中相正比于入射波包中相应的应的Fourier分波的幅度，因而沿分波的幅度，因而沿 方向的衍射方向的衍射波强度波强度 .在衍射过程中，波长未在衍射过程中，波长未改变，即粒子动量的值未改变（虽然方向改变改变，即粒子动量的值未改变（虽然方向改变了）了）.所以，对于一个例子，它在所以，对于一个例子，它在 方向被测到的方向被测到的概 率概 率 ， 即 粒 子 动 量 为即 粒 子 动 量 为 的 概 率的 概 率 f 22fpp 22fp 2p1616 Born对波函数的统计诠释，把波粒二象性

28、统对波函数的统计诠释，把波粒二象性统一到概率波的概念上一到概率波的概念上.在此概念中，经典波的概念在此概念中，经典波的概念只是部分地（只是部分地（波的叠加性波的叠加性）被保留下来，而另一部）被保留下来，而另一部分内容则被摒弃分内容则被摒弃.所以经典粒子运动的图像和概念所以经典粒子运动的图像和概念对于微观粒子不可能全盘适对于微观粒子不可能全盘适.Heisenberg的不确定的不确定关系（关系（uncertainty relation）对此做了做集中和）对此做了做集中和最形象的概括最形象的概括.不确定关系不确定关系Heisenberg于于1927年根年根据逆向思维，并对一些理想实验进行分析和利用据

29、逆向思维，并对一些理想实验进行分析和利用De-Broglie关系而得出的关系而得出的.1.1.5 不确定关系不确定关系不确定关系表明，微观粒子的位置（坐标）和动量不确定关系表明，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是波粒二象性的反不能同时具有完全确定的值，这是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照映，在物理上可以如下理解：按照de Broglie关关系系 ，由于波长，由于波长 是描述波在空间变化快慢是描述波在空间变化快慢的量，是与整个波动关系联系的量，因此正如的量，是与整个波动关系联系的量，因此正如“在在空间某一点空间某一点 的波长的波长”的提法是没有意义一样，的提法

30、是没有意义一样，“微粒子在空间某一点微粒子在空间某一点 的动量的动量”的提法也同样的提法也同样没有意义没有意义.这样，这样，粒子运动轨道的概念就没有意义粒子运动轨道的概念就没有意义. xx=p h与经典不与经典不同！同！18 2+3-=dxxrr19 2+3-=dVVrrr粒子处于波函数粒子处于波函数 所描述的状态下，虽然不是所描述的状态下，虽然不是所有力学量都具有确定的值，但它们都有所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的确定的分布分布，因而有确定的，因而有确定的平均值平均值.例如位置例如位置 的平均值的平均值为为 rx这里假定了波函数已归一化这里假定了波函数已归一化.又例如势能又例如势能

31、 的平的平均值为均值为 V r1.1.6 力学量的平均值与算符的引进力学量的平均值与算符的引进 23dprprr20 33 21 ed2irp rpr21前面已提到，由于前面已提到，由于波粒二象性波粒二象性，“粒子在空间某粒子在空间某一点的动量一点的动量”的提法是没有意义的的提法是没有意义的.因此不能像求因此不能像求势能平均值那样来求动量平均值，即势能平均值那样来求动量平均值，即我们必须换一种方法来处理这问题我们必须换一种方法来处理这问题.按前面所述，给定波函数按前面所述，给定波函数 之后，测得粒子之后，测得粒子动量在动量在 中的概率为中的概率为 ，其中，其中, +dp pp r 23d pp

32、 33i 3 21d die2rp p rrp 33i 3 21d de2prp rrpp 233=ddpppppppp 3=dir rr22注注意意因此可以借助因此可以借助 来间接计算动量的平均值（利用式来间接计算动量的平均值（利用式 （13）和）和 （14）p 这样，我们就找到了用这样，我们就找到了用 来直接计算动量来直接计算动量平均值的公式，而不必借助于平均值的公式，而不必借助于 的的Fourier变换变换 来间接计算（见式来间接计算（见式 ， ）.但只是就出现了但只是就出现了一种新的数学工具一种新的数学工具 .算符算符21 p r r22令令=-i p23则式则式 可表成可表成22 3

33、= d rprpr24 称为称为动量算符动量算符. p 上式表明，动量平均值与波函数上式表明，动量平均值与波函数 的梯度密的梯度密切相关切相关.这是可以理解的，因为按照这是可以理解的，因为按照de Broglie关关系，动量与波长的倒数（波数）成比例，所以系，动量与波长的倒数（波数）成比例，所以波波函数的梯度愈大函数的梯度愈大，即波长愈短（波数愈大），即波长愈短（波数愈大），动动量平均值也就愈大量平均值也就愈大. r 3= d ,TTrrr2522=-2Tm（动能算符（动能算符） 动能动能 和角动量和角动量 的平均值也可的平均值也可类似求出类似求出2=2Tpm= l rp 3= d , rlr

34、lr26（角动量算符）（角动量算符）= l rpxizylypzpyzzy yixzlzpxpzxxz ziyxlxpypxyyx 27 是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为l 3 d,AArArr2928=,AA 一般来说，粒子的力学量一般来说，粒子的力学量 的的平均值平均值可如可如下求出下求出:A 是力学量是力学量 相应的算符相应的算符.如波函数未归一化，如波函数未归一化，则则AA 统计诠释统计诠释赋予了波函数确切的物理含义赋予了波函数确切的物理含义.根据根据统计诠释统计诠释（a）根据统计诠释，要求）根据统计诠释，要求 取有限值似取有限值似乎是必要的，即要求乎是必要的，即要求 取有限值，但应注取有限值，但应注意，意， 只是表示概率密度，而在物理上只要只是表示概率密度，而在物理上只要求