误差理论与测量平差基础习习题集3

1、第七章间接平差§7-1间接平差原理 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关误差方程和法方程的个数是多少 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪个少，为什么 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（HA=，P1，P2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：h1= ,S1=2km，h2 =，S2 = 2km,h3 = - ,S3 = lkm。试用间接平差法求各髙差的平差值。 在三角形(图7-2)中，以不等精度测得 =78º

2、23´12"，P=1; = 85º30 '06 "，Pß =2; =16º06'32"，P=1; =343º53'24", P=1； 试用间接平差法求各内角的平差值。 7. 设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA，HB，路线长为S1，S2，观测高差为h1 h2，试用间接平差法写出P点高程平差值的公式。 7. 在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值:L1=32º25'18", L2 =61º14'

3、;36",L3=94º09'40",L4 172010'17"L5=93º39'48", L6=155º24'20"已知A方向方位角A =21º10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。§7-2误差方程 在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要函数独立 能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数 . 10在平面控制网中，应如何选取参数 . 11条件方程和误差方程有何异同 误差方程有哪些特点 . 1

4、3图7-5中,A,B为已知点，P1 P5为待定点，P1, P5两点间的边长为已知，L1L6为角度观测值，S1S6为边长观测值，试确定图中独立参数的个数。 在图7-6中， A,B已知点，P1 P3为未知点，观测角度L1L11，若设角度观测值为参数独立参数有哪些角 试列出图7-7中各图形的误差方程式(常数项用字母表示) (I)A,B,C,D为已知点，P1 、P5为未知点.观测高差h1h5，设h2，h4为参数; (2)A,B为已知点，P1 P3为未知点，观侧高差h1h7，设P1点高程、高差h3，h5为参数;(3) P1 P4为未知点，观测高差h1h6，设P1 P3点的高程为参数 在直角三角形(图7-

5、8)中，测得三边之长为L1 L2和L3若设参数X=X1X2T=L1L3T，试列出该图形的误差方程式。 . 17为确定某一直线方y=ax+b，在Xi(i=1,2,5)处(设xi无误差)观侧了5个观侧值yixi/cm12345yi/cm试列出确定该直线的误差方程。 7. 2. 18。在待定点P上,向已知点A,B,C进行方向观测。如图7-9所示,设ZP为零方向定向角平差值, Li( i=1，2，3)为方向观测值，A,B,C点的坐标及P点的近似坐标均列于表中，试列出全部观侧值的误差方程。点号X/mY/m观测值（º´"）AZP21 03 42BL125 18 38CL271

6、 28 54PL3102 22 367. 2. 19在图7-10中,A ,B ,C为已知点，今在其间加测一点P，其近似坐标为XP0 =, YP0465. 844m. 已知起算数据和观测值列十表中，试列出全部观测点号坐标X/mY/mABC734. 058 角号1234观测值79º51'20"53º35'50"66º50'10"63º00'43" 图7-ll中，A,B,C为已知点，P为待定点，网中观测了3条边长L1L3，起算数据及观测数据均列于表中，现选待定点的坐标平差值为参数，其坐标近

7、似值为XP0=57 , YP0=70 998. 26m，试列出各观测边长的误差方程式点号坐标X/mY/mABC58 51 74 300. 08673 编号L1L2L3观测值/m有边角网如图7-12所示，A，B，C为已知点，P1P2为待定点，角度观测值为点号近似坐标X0/mY0/mP1P2L1L7，边长观测值为S，已知点坐标和观测数据均列于表中，若设待定点坐标为参数，试列出全部误差方程。点号坐标X/mY/mABC角号观测值角号观测值L133º24´10"L534º04´45"L270º44´46"L664&

8、#186;30´22"L332º23´52"L731º49´18"L436º09´48" 有一中心在原点的椭圆，为了确定其方程，观测了10组数据(xi，yi)(i=1，2，10)，已知xi无误差、试列出该椭圆的误差方程。为确定某一抛物线方程y2 =ax，观测了6组数据(xi，yi) (i=1,2,.，6)，已知xi无误差，yi为互相独立的等精度观测值，试列出该抛物线的误差方程。 某一平差问题列有以下条件方程:V1-V2+V3 +5=0,V3-V4-V5 -2=0,V5-V6-V7 +3

9、=0,V1+V4+V7 +4=0, 试将其改写成误差方程。 某一平差问题列有以下误差方程:V1 =-X1+3，V1 =-X2-1，V1 =-X1+2，V1 =-X2+1，V1 =-X1+ X2-5， 试将其改写成条件方程。§7-3精度评定 对控制网进行间接平差，可否在观侧前根据布设的网形和拟定的观测方案来估算网中待定点的精度，为什么 在间谈平差中，计算VTPV有哪几种途径简述其推导过程。 为什么要求参数函数的协因数Q 如何求Q 7. 3. 29已知某平差问题的误差方程为V1 =-x1,V2 =-x1+2,V3 =x2-1,V4 =-x2,V5 =-x1+x2-3,观测值的权阵为： ，

10、 试求参数及协因数阵。 7. 已知某平差问题的误差方程为:V1 =x1+2,V2 =-x1+x2-3,V3 =x2 - 1,V4 =-x1 + 6,V5 =-x2 + 5, 观测值的权阵为单位阵，试根据误差方程求单位权中误差估值。 如图7-13所示的水准网中，A,B为已知点P1 P3为待定点，观测高差h1 h5，相应的路线长度分别为4km,2km,2km,2km,4km，若已知平差后每千米观测高差中误差的估值认km =3mm.试P2点平差后高程的中误差。对某水准网列出如下误差方程x,已知QLL =I,试按间接平差法求:(1)未知参数X的协因数阵;(2)未知数函数=X1-X2的权设由同精度独立观

11、测值列出的误差方程为试按间接平差法求QX ，QLX， QLV， QL。 . 34在间接平差中，X与L、L与V是否相关试证明之。 如图所示的水准网中，A为已知水准点，B,C,D为待定高程点，观测了6段高差h1h6,线路长度S1 =S2 =S3 =S4=1km, S5 =S6=2km，如果在平差中舍去第6段线路的高差h,，问平差后D点高程的权较平差时不舍去h6时所得的权缩小了百分之几 7. 如图7-15所示的水准网中，A，B为已知点，P1P3为待定点，独立观测了8段路线的高差h1h8，路线长度S1 =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7 =1km,S8=2km,试问平差后哪一点高程精度最高，

12、相对于精度最低的点的精度之比是多少 在图7-16所示的三角形中，A,B为已知点，C为待定点。A,B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长列于图中(均以km为单位)，试按间接平整法求C点坐标的权倒数和相关权倒数(设"=2x105,参数以m为单位)。某一平差问题按间接平差法求解，已列出法方程为8x12x2+=0，-2x1+7x2-=0， 试计算函数的=-x1+x2权。XDx1 在三角网(如图所示)中，A,B,C为已知点，D为待定点，观测了6个角度L1 L6,设D点坐标为X=XDXDT参数，已列出其至已知点同的方位角误差方程:DA= - 4. 22xD+ 1. 04yD,DB

13、=xPyDDA xD + yD,试写出角BDC平差后的权函数式。 7. 有水准网如图7-18所示，A,B,C,D为已知点，P1、P2为未知点，观测高差h1- h5，路线长度为S1 =S2 =S5 =6km,S3 =8km,S4 =4km，若要求平差后网中最弱点平差后高程中误差5mm，试估算该网每千米观测高差中误差应为多少。 在图7-19的大地四边形中，A,B为已知点，C,D为未知点，L1L8为角度观测值，若设未知点的坐标为参数，试写出求CD边长平差值中误差的权函数式。§7-4水准网平差示例7. 4. 42 在水准网平差中，定权式为Pi=CSi，Si以km为单位，当令c=2时，经平差计

14、算求得的单位权中误差0代表什么量的中误差在令c=1和c=2两种情况下，经平差分别求得的V, L，0以及PVV相同吗” 在图7-20所示的水准网中，A,B为已知点HA=10. 210m,HB=,观测各点间的高差为: h1 =, h2=, h3=0. 235m, h4=-2. 311 m, h5=0. 150m, h6 =,h7 = ,h8 =-2. 166m 设观测值的权阵为单位阵(各路线长度相同)，试按间接平差法求待定点C,D,E最或是高程及其中误差。 7. 4. 44水准网(如图7-21所示)中，A,B为已知点，HA =, HB = ,观测高差和各路线长度为:h1 =1. 157m, S1

15、=2km,h2=, S2 =2km,h3 =, S3 =2km,h4=0. 663m, S4 =2km,h5 =, S5 =4km, 试按间接平差法求 (1)待定点C,D最或是高程;(2)平差后C,D间高差的协因数Q 及中误差 (3)在令c=2和c=4两种情况下，经平差分别求得的Q，是否相同为什么 有水准网如图7-22所示，A,B为已知点，HA=21. 400m，HB =23. 810m，各路线观侧离差为： h1 =, h2 = , h3=0. 446m, h4 = -3, 668m, h5=1. 250m, h6= h7 = 设观测高差为等权独立观测值.试按间接平差法求P1 P2 P3等待定

16、点平差后的高程及中误差。在图7-22所示的水准网中，加测了两条水准路线8,9（如图7-23所示),h8 =,h9=，其余观测高差见题。设观侧高差的权为单位阵， (1)增加了两条水准路线后，单位权中误差是否有所变化 (2)增加了两条水准路线后，待定点P1 P2 P3平差后高差的权较之未增加两条水准路线时有何变化§7-5间接平差特例直接平差有附合水准路线(图7-24),P为待定点，A,B为已知点其高程为HA HB ，观测高差为h1， h2，相应的路线长度为S1 km, S2 km，试求P点平差后高程的权PX。 7. 5. 48在如图7-25所示的水准网中已知高程HA =53 m, HB

17、= m,测得高差(设每条线路长度相等) h1 = mh2 = mh3= mh4 = m 试求: (I)P点高程的平差值; (2)P点平差后高程的权倒数。 在如图7-26所示的水准网中，A,B,C为已知点，P为待定高程点，已知HA =, HB = 22. 870 m, HC = ，观测高差及相应的路线长度为: h1 = h2 =, h3= , S1 =2km, S2 =6km, S3 =3km, 试求;(1)P点的最或是高程; (2)P点平差后高程的权(当c=1时) 按不同的测回数观测某角，其结果如下:观测值测回数78º18´05"5095088147156103设

18、以5测回为单位权观测试求(1) 该角的最或是值及其中误差(2)一测回的中误差§7-6三角网坐标平差 在图7-27所示的测角网中，,C为已知点，P点为待定点。已知点坐标和P点的近似坐标为: XA =4 728. 008 m,YA=227. 880 m; XB =4 m, YB=; XC =4 750. 191 m, YC=;XP0=4 881. 27m, YP0=346. 86m。 角度同精度观测值:L1= 94º29'32", L2=44º20'36. 3", L3=47º19'43. 3",L, =

19、85º59'51. 6", 设P点的坐标平差值为未知参数, X=XPYPT，试按间接平差法， (1)列出误差方程及法方程; (2)计算P点坐标平差值及协因数阵QX， 在三角形ABC中(如图7-28所示)A,B为已知点， C点为待定点，已知点坐标为: XA=1km, YA=1km, XB=1km, YB=6km, C点的近似坐标为: XC0=, YC0=., 近似边长：SAC0=，SBC0=5. 0km L1，L2，L3，是同精度角度观测值。试按间接平差法求C点坐标的权倒数及相关权倒数。 在图7-29所示的三角网中A,B为已知点， P1 ，P2为待定点，已知点坐标为X

20、A=867. 156m, XA=252. 080m,X8 =638. 267m,Y, =,待定点近似坐标为:XP10=，YP10=，XP20=，YP10=，同精度角度观测值为:L2=94º15'21", L2=43º22'42", L2=38º26'00",L2=102º35'52", L2=38º58'01", L2=42º21'43"设P1 ，P2点坐标平差值为参数=XP1YP1XP2YP2T，试按坐标平差法求 (1 ) P

21、1 ，P2点坐标平差值及点位中误差;(2)观测值的平差值L . 54在图7-30所示的测角网中，A,B,C为已知点，P1 ，P2为待定点，L1L10为角度观测值已，知点坐标与待定点 近似坐标为点号坐标X/mY/mABC近似坐标/mX0/mY0/m点号编号观测值（º ´ "）155 28 297 41 393 02 444 03 550 42 659 57 769 19 899 56 929 05 1050 57 29.同精度角度观侧值为 试按坐标平差法求 (1)误差方程及法方程; (2)待定点最或是坐标及点位中误差; (3)观测值改正数及平差值。 有三角网如图7-

22、31所示，已知BH边的方位角为BH= 284º57'29. 5",A , B为已知点，其坐标为;XA=97 689. 562mYA=31 970. 853mXB =102 344. 255 m,YB=34 194. 167 m,C,D,E点为待定点、观测角值为角号观测值角号观测值角号观测值160º05´"466º40´"765º23´"256º30´"549º21´"860º34´"363

23、º24´"663º57´"954º02´"1054º14´"试求:(1)待定点坐标平差值:(2)CE边的相对中误差。§7-7测边网坐标平差 在图7-32所示的直角三角形ABC中，边长观测值L1= 278. 61 m, L2=431. 52m, L1=,0L=I,若选AB及AC距离为未知参数X1，X2。并令X10= L3 ，X20= L1，试按间接平差法: (1)列出误差方程; (2)求改正数V及边长平差值L (3)列出BC边边长平差值的未知数函教式，并计算其权。 在

24、图7-33所示的侧边网中A,B,C为已知点，P为待定点，已知点坐标为: XA=8 879. 256m，YA=2 mXB=8 597. 934m，YB=2 XC=8 ,YC=2 540. 460 mP点近似坐标为:XP0=, YP0= 332. 800 m同精度测得边长观测值为:S1= m, S1=168. 415 m, S1=试按坐标平差法求:(1)误差方程;(2)法方程;(3)坐标平差值及协因数阵。补(4)观侧值的改正数X及平差值几在图7-34所示的测边网中，A,B,C为已知点，P1，P2为待定点，观测了7条边长，观测精度为Si=Si(cm) (Si的单位为m)，设100m长度的观测精度为单

25、位权中误差，观测值及各观测值的权为:编号边观测值/m1234567已知坐标和近似坐标为点号已知坐标/mX/mY/mABC点号近似坐标/mX/mY/mP1P2 设待定点坐标平差值为参数，试(1)列出误差方程及法方程试2)求出待定点坐标平差值及点位中误差;(3)求观测值改正数及平差值。7. 8. 59如图7-35所示的单一附合导线,A,B为已知点P1 ，P2 ，P3为待定点，观测角中 误差=3",观测边中误差为。Si=52+(5×Si(km)×10-6)2（mm） 已知数据和观测值为:点号已知坐标已知方位角X/ mY/m A6 556. 9474 49º30

26、'"B8 748. 1556 角号观测角边号观测边/mº ´ "1291 45 27. 8S11 2275 16 S21 3I28 49 32. 3S31 4274 57 S41 511. 1855289 10 点号角度边长/mº ´ " B(1)230 32 372180 00 423I70 39 22C(4)236 48 37按间接平差法计算PPP,点的坐标平差值。在图7-36的单一附合导线上观翻了4个角度和3条边长。已知数据为XB=203 020. 348m, YB=59 049. 801m,XC=203 05

27、9. 503 m., YC=59 .AB=226º44'59",CD =324º46'03",观侧值为：已知测角中误差=5"，测边中误差Si=Si (mm)，试按间接平差法求: (1)导线点2、3点的坐标平差值; (2)观测值的改正数和平差值。 7. 8. 61有一个节点的导线网如图7-37所示，A,B,C为已知点，P1 ，P2，P3，P4为待定点，观测了9个角度和6条边长。已知测角中误差。 =10",测边中误差Si=Si (mm) (i= 1,2, , Si以m为单位)，已知起算数据和待定点近似坐标为已知坐标/m至点

28、已知方位角点近似坐标/mABCXYP1 P2 P3XYDEF202 42 313 57 29. 2130 57 20. 1观测值为编号角观测值º ´ "编号边观测值/m1128 07 02. 112233 13 23100 09 34212 00 45138 15 56110 30 46. 36 7210 04 8226 08 9149 19 设待定点坐标为参数，试按间接平差法求: (l误差方程; (2)单位权方差; (3)待定点坐标平差值、协因数阵及点位中误差。 7. 有导线网如图7-38所示，A,B,C,D为已知点，P1P6为待定点，观测了14个角度和9条边长

29、。已知测角中误差，=10",测边中误差Si=Si (mm)(i= 1,2, .,9), Si 以m为单位，已知点数据和待定点近似坐标为： 图 7-38点号坐标点号近似坐标 X/m Y/mP X/m Y/mABCD871.1893632.2173840.9400 123456825.810740.107(2) 观测数据为：编号角度观测值 ° 编号角度观测值 ° 编号 边长观测值/m1234567 301 36 203 22 94 41 224 17 95 05 318 16 53 51 891011121314 145 58 125 09 118 35 131 18

30、 68 22 146 19 139 09 123456789102设待定点坐标为参数，试按间接平差法求：（1） 误差方程；（2） 待定点坐标平差值及点位中误差。§7-9 GPS 网平差 图7-39为一个GPS网，G01、G02为已知点，G03、G04为待定点，已知点的三维坐标为： /m/m/m12-2 411 0-2 411 4-4 733 7-4 733 53 519 03 518 7待定点的三维坐标为： /m /m/m34-2 486 5-2 418 6-4 731 5-4 732 3 518 63 515 8用GPS接收机测得5条基线，每一条基线向量中3个坐标差观测值相关，各基线向量互相独立，观测数据为：基线号 /m /m /m 基线方差阵1 2 3 4 5 设待定点坐标平差值参数,= 。 试按间接平差的法求：（1） 误差方程及法方程；（2） 参数改正数；（3） 待定点坐标平差值及精度。§7-10 综合练习题现观测高差h1 h8，相应的路线长度为：S1= S2 =S3=S4=S5= S6=2km，S7=S8=1km，若设2km观测高差为单位权观测值，经平差计算后的=(mm),试计算网中3个待定点平差后高程的中误差。 有大地四边形如图7-41所示，,为已知点，、为待定点