投资的收益和风险问题线性规划分析

1、投资的收益和风险问题线性规划分析1问题的提出市场上有n种资产（如股票、债券、）S（i=1,，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S的平均收益率为并预测出购买S的风险损失率为qi.考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S中最大的一个风险来度量.购买S要付交易费，费率为pi,并且当购买额不超过给定值Ui时，交易费按购买Ui计算（不买当然无须付费）.另外，假定同期银行存款利率是P0,且既无交易费又无风险.（ro=5%）已知n=4时的相关数据如下：n

2、的相关数据S门（%）q(%)P(%)Ui（元）s282.51.0103&211.52.0198S3235.54.552&252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小.2模型的建立模型1.总体风险用所投资S中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是k,即要求总体风险Q（x）限制在风险k以内：Q（x）wk则模型可转化为：maxRxs.t.Q（x）<k,F（x户M,x>0模型2.假设投资的盈利水平是h,即要求净收益总额R（x）不少于h:R（x）>h,则模型可转化为:mi

3、nQxs.t.R(x)之hF(x)=Mx>0模型3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重.因此，假定投资者对风险一一收益的相对偏好参数为p(>0),则模型可转化为：minPQ(x)?(1?P)R(x)s.t.F(x尸Mx>03.模型的化简与求解由于交易费Ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解.但注意到总投资额M相当大,一旦投资资产S,其投资额xi一股都会超过u,于是交易费Ci(xi)可简化为线性函数G3)=RK.从而，资金约束简化为nnF(x)=

4、fi(xi)='(1Pi)xi=Mi=0i=0净收益总额简化为nnnR(x户Ri(xJ=rxi-q(xi)=(ri-pjxi=0i=0i=0在实际进行计算时，可设M=1,此时Vi=(1+Pi)x401广，n)可视作投资S的比例.以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1)模型1的求解模型1的约束条件Q(x)&k即q(x)=maxQi(K)=max(qiX)外，所以此约束条件可转化为qiXi<k(巨0,1，,n)这时模型1可化简为如下的线性规划问题：nmax'(ri-r)xi0s.t.qx<k,i=1,2,，nn%(1Pi)Xi=1,x_0i=0具体

5、到n=4的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：Max0.05xo+0.27xi+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t.0.025x1<k,0.015x20k,0.055x30k,0.026x40k,x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,xi>0(i=0,1,，4)利用MATLAB7.0ft1"g型1,以k=0.005为例：输出结果是0.177638,x0-0.158192,x1-0.2,x2-0.333333,x3-0.0909091,x4一0.192308这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.

6、333333,0.0909091,0.192308)时，可以获得总体风险不超过0.005的最大收益是0.177638M.当k取不同的值(00.03),风险与收益的关系见下图：0.30.05L/0.250.20.150.10.0050.020.010.015风险a0.025模型1风险与收益的关系图输出结果列表如下:模型1的结果风险k净收益RXoXix2x3x400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20

7、190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.0298039000.0260.26732700.

8、9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000从表3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2,然后是S和3,总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r-p）较大的S和这些与人们的经验是致的，这里给出了定量的结果.2）模型2的求解模型2本来是极小极大规划：minmax(qixi)0<i：<ni"ns.t.x(ri-p)Xi-hi=0nE(1Pix)=1x-0i=0但是，可以引进变量xn+1=max(qxi),将它改写为如下的线性规戈U：0gm

9、s.t.min-)qiXi<Xn.1,i=0,1,2,n,iz0”(ri-Pi)xi,-h、(1«)为=1,x0i=0具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据，模型为:Minx5s.t.0.025x1<x5,0.015x2x5,0.055x3x5,0.026x4<x5,0.05x0+0.27Xi+0.19x2+0.185x3+0.185x4>h,x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,xi>0(i=0,1,，5)利用MATLAB7.0M林g型2,当h取不同的值(0.040.26),我们计算最小风险和最优

10、决策，结果如表3所示，风险和收益的关系见图2所示模型2中风险与收益的关系图净收益水平h风险Qxoxix2x3x4模型2的结果表30.060.0003917330.9340470.01566930.02611550.007122410.01506660.080.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.0

11、03525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.1657330.180.005092530.1426150.2037010.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.08862280

12、0从表3.3中我们可以推出和模型1类似的结果.3)模型3的求解类似模型2的求解，我们同样引进变量Xn+i=max(qjXi),将它改写为如下的0厘.线性规划：nminPa书-(1-P)£(n口)为i=0ns.t.qiXiEXn+,i=0,1,2,，n£(1+«)为=1x之0i=0具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据，模型为：minpX5-(1-p)(0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4)s.t.0.025x1<X5,0.015X20X5,0.055X30X5,0.026x40X5,X0+1.01X1

13、+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,Xi>0(i=0,1,，5)利用MATLAB7.0ftt林g型3,当p取不同的值(0.70.98),我们计算最小风险和最优决策，风险和收益的关系见图3输出结果列表如下：表4模型3的结果偏好系数P风险QX0XiX2X3X40.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.0059396