折叠与剪拼-学而思培优

1、第五节与剪拼课标导航能利用轴对栋解决相K间典运用叫连感的WiH解决相关间即核心纲要FE作(3)常规做法折叠后的图形与原图形全等，利用全等可以得到对应角相等和对应边相等2)四边形平行四边形：过对角线交点普通四边形：如下图所示EF中点0(或中位线中点O)方法一：先用折线等分面积,AC的平行线EF交BC于点梯形：取上下底中点一条直线；1.折叠(1)图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴.(2)思路：图形的折叠问题分为两类题型一是考察图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等BD,取BD中点E,连接再利用等积变换.连接F,则AF为所求；结合勾股定理的有关知识解决问

2、题.2.分割(1)把图形分割成面积相等的几部分(等面积)1)三角形：任意一边的中线D方法二：先将四边形转化成三角形，连接AG过点D作DE/AC交BC延长线于点E,连接AE取BE中点F,连接AF,AF为所求.（2）把图形分割成形状相同的几部分.（3）把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）（4）把图形分割成满足特定要求的几部分，如：把一个三角形分割成两个三角形.只有符合下列条件之一的三角形才能被分割成两个等腰三角形：一个角等于90;一个角是另一个角的2倍（三个角为x,2x,180：-3x,x<45：）;一个角是另一个角的3倍.如下图所示:3.剪拼图形剪拼是一种常见的几何活

3、动，“剪”就是将整体的图形分割为几个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形.思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可.本节重点讲解：三大问题三、全能突破基础演练1 .将一张正方形纸片ABCDK图18-5-1所示的方式连续折叠三次，折叠后再按图中所示沿MN剪裁，则可得到（）.图18-5-1.四个相同的正方形D.两个相同的正方形A,多个等腰直角三角形BC.-个等腰直角三角形和一个正方形2 .如图18-5-2所示，在梯形纸片ABCD,/B=60o,将纸片沿着对角线AC折叠，折叠后点D刚好落在AB边上的点E处，小明认为：如果E是AB的中点，则梯形ABC皿等腰梯形；小亮认为：如果

4、梯形ABCD是等腰梯形，则E是AB的中点，对于他们两人的说法，你认为（）.A.两人都正确B.小明正确，但小亮不正确C.小明不正确，但小亮正确D.两人都不正确FRIB523 .同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个"V'字型的动作.我们将宽为2cm的长方形按图18-5-3所示图18-5-3进行翻折，便可得到一个漂亮的“V',如果7所成的锐角为60：那么折痕PQ的长是4 .如图18-5-4所示，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：(1)用直线分割；(2)每个部分内各有一个景点；(3)各部分的面积相等.(可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法)图

5、18-S-5匚-口一_月LEC(A)(b)图1S-5-6能力提升7.如图18-5-7所示，平行四边形ABOD43,AC与BD相交十点所在直线翻折到同一平面内，若点B的落点记为B1则DB/9E,/AEB=45：BD=2,将ABC沿AC的长为6.我们通常可以对一些图形进行剪切，并利用图形的轴对称、平移、旋转等进行图案设计，如图18-5-6(a)中，可以沿线段AE剪切矩形ABCD再将ABE通过变换与梯形AEC或接成等腰梯形.请按下列要求进行图案设计：(1)把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图18-5-6(b)中画出剪切线，再画出拼接示意图；(2)把矩形剪切1次拼接成一个菱形，请在图18-5-6(c)

6、中画出剪切线，再画出拼接示意图，5 .如图18-55所示，已知五边形ABODES.AB/ED/A=/B=90°,则可以将该五边形ABCD吩成面积相等的两部分的直线有条，满足条件的直线可以这样确定.fl()图18-5-78.如图18-5-8所示，在矩形ABCM,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积为9.如图18-5-9所示，矩形纸片ABCM,AB=J6,BC=J10.第一次将纸片折叠，使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1；设O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点。2；设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，

7、折痕与BD交于点O3,.按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点0n，则BO1=,BOn=D'¥185H10.如图18-5-10所示，将边长为42的菱形ABCD氏片放置在平面直角坐标系中，已知/B=45：画出边AB沿y轴对折后的对应线段人能/4匕/与边CD交于点E;(2)线段CB，的长为(3)点E的坐标是MIB-510图I&-5-1111 .如图18-5-11所示，正方形纸片ABCD43,E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后,得折痕MN设才I!形ADM曲面积为S,梯形BCMN勺面积是T,求S:T的值，12 .图18-5-12所示是一个等边三角形，

8、按下列要求分割图形13.（b）图13-5-12(1)用1条线段把图(a澎割成2个全等三角形图形(2)用3条线段把图(b)分割成3个全等三角形图形(3)用3条线段把图(c)分割成4个全等三角形图形如图18-5-13所示，给出了5个拼图版，从中选择四个拼图板，可以拼成一个矩形.图ie-513(1)请你写出你选择的四个拼图板的代码；(2)请你画出拼出的这个矩形，在拼出的矩形中，标出拼图板的编号，画出拼图板上凹凸的部分.14.如图18-5-14(a)所示，一张矩形纸片ABCD其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折，点C落在点C/的位置，BC，交AD于点G.(1)求证：AG=C，G;(2)如

9、图18-5-14(b)所示，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长.15.如图18-5-15所示，在AEF中，/EAF=45：,AG_LEF于点G,现将AEG沿AE折叠得到AEB,将4AFG沿AF折叠得到4AFD延长BE和DF相交于点C.(1)求证：四边形ABCD正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点MN,将ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，彳#到4ADH试判断线段MNNDDH之间的数量关系，并说明理由.若EG=4,GF=6,BM=3衣，求AGMN的长.16 .用尺规三等分任意角是数学中的一大难题，但我们可以用“折纸法”把一个直角三等分.请你想出折法

10、并证明，17 .如图18-5-16所示，把一个等腰直角ABC沿斜边上的中线CD(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A/BCD,如示意图18-5-16(a)和证明)所示.(以下有画图要求的，工具不限，不必写画法(1)猜一猜：四边形A/BCD一定是；(2)试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图出示意图.探究在等腰直角ABC中，请你沿一条中位线(裁剪线)(1)想一想：你能拼得的特殊四边形分别是(2)画一画：请分别在图18-5-16(c)、图拓展在等腰直角ABC中，请你沿一条与中线、特殊四边形.(1)变一变：你确定的裁剪线是(2)拼一拼：请在图18-5-16(e)18-5-16(a)不同

11、的四边形，并在图18-5-16(b)中画剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.;(写出两种)18-5-16(d)中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个,(写出一种)拼得的特殊四边形是中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.中考链接18 .(2012.衢州)课本中，把长与宽之比为J2的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:将一张标准纸ABCD(AB<BC)寸开，如图18-5-17(a)所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸吗？请给予证明.图18-5-17(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC®

12、行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图18-5-17(b)甲所示)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG侬图18-5-17(b)乙所示)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线D晰叠(如图18-5-17(b)丙所示)，此时点G恰好与N点重合.请你探究：矩形纸片ABC虚否是一张标准纸？请说明理由.(3)不难发现：将一弓标准纸按图18-5-18所示，一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=J2,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的

13、周长.海口次第J整3次时开图18-5-1B19 .(2012.威海)如图18-5-19(a)所示，平行四边形ABCD勺对角线AGBD交于点0,直线EF过点0,分别交ARBC于点E、F.求证：AE=CF.(2)如图18-5-19(b)所示，将平彳T四边形ABCD(纸片)沿过又线交点0的直线EF折叠，点A落在点A处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G,AB1分别交CDDE于点HI.20.图185-19(b)(2011.河池)如图18-5-20(a)所示，在ABO中，/0人8=90：/人08=30：08=8.以03为边,(2)(3)如图18-5-20(b)所示，将图求0G的长.G在OAB外作等边

14、三角形OBCD是OB的中点，连接AD并延长交OCTE.求点B的坐标；求证：四边形ABC比平行四边形；18-5-20(a)中的四边形ABC斯叠，使点C与点A重合，折痕为FG图1852021.(2011.威海)如图18-5-21所示，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD勺边AB上取一点M在CD上取一点N将纸片沿MN折叠，使MBWDN交于点K,得到MNK图18-5-21若/1=70：求/MKN勺度数;1-(2)MNK的面积能否小于1?若能，求出此时/1的度数；若不能，试说明理由；2如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值.巅峰突破22.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)如果由信纸折成的长方形纸条(如图18-5-22(a)所示)长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题:为了保证能折成图18-5-22(d)的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围；(2)如果不但要折成图18-5-22(d)的形